Aposta média resolvida por lançamento no craps

Introdução

Suponha que você queira apostar muito dinheiro em uma máquina de dados eletrônica com custo e variância mínimos. Essas máquinas geram pontos apenas nas apostas resolvidas. Esta página examina a aposta média resolvida por lançamento, considerando apenas as apostas de linha, de acordo com o lado, as probabilidades escolhidas e a pontuação máxima coberta.

As seguintes apostas com múltiplos de odds são consideradas. Lembre-se que, ao apostar contra odds, você pode apostar de acordo com o que resultaria em uma vitória dentro do múltiplo permitido.

• 0X: Nenhuma aposta com odds foi realizada. Isso pode ser apropriado se as apostas com odds não renderem pontos.
• 1X: Aposta com odds iguais às apostas "pass" ou "come" feitas se um ponto for estabelecido. Após um "don't pass" ou "don't come", o jogador aposta 2x em um 4 ou 10, 1,5x em um 5 ou 9 e 1,2x em um 5 ou 6.
• 2X: Aposta com odds iguais a 2x as apostas "pass" ou "come" feitas se um ponto for estabelecido. Após um "don't pass" ou "don't come", o jogador aposta 4x em um 4 ou 10, 3x em um 5 ou 9 e 2,4x em um 5 ou 6.
• 3X-4X-5X: Em uma aposta "pass" ou "come", a aposta de odds é igual a 3x após um 4 ou 10, 4x após um 5 ou 9 e 5x após um 6 ou 8. Após um "don't pass" ou "don't come", o jogador aposta 6x após qualquer ponto.

O jogo leva em consideração as seguintes estratégias:

• O jogador estabelece apenas um ponto. Em outras palavras, o jogador nunca faz apostas "don't pass" ou "don't come".
• O jogador estabelece apenas dois pontos. Isso seria uma aposta de passe/não passe mais uma aposta de chegada/não chegada.
• O jogador estabelece apenas dois pontos. Isso seria uma aposta pass/don't pass mais duas apostas come/don't come. Isso é comumente conhecido como "Three Point Molly".
• O jogador busca acumular a pontuação máxima possível. Isso é feito através de uma aposta em cada rodada.

A tabela a seguir mostra a média de apostas resolvidas por rodada caso o jogador não faça apostas de probabilidade, de acordo com o número máximo de pontos apostados.

A tabela a seguir mostra as apostas médias resolvidas por rodada se o jogador apostar 1X o valor da aposta na linha de odds*, de acordo com o número máximo de pontos apostados.

A tabela a seguir mostra as apostas médias resolvidas por rodada se o jogador apostar 2 vezes o valor da aposta na linha de odds*, de acordo com o número máximo de pontos apostados.

A tabela a seguir mostra as apostas médias resolvidas por rodada se o jogador apostar 3, 4 ou 5 vezes o valor da aposta na linha de odds*, de acordo com o número máximo de pontos apostados.

Nota de rodapé:
*: No craps, a aposta máxima que o jogador pode fazer após uma aposta "don't pass" ou "don't come" é relativa ao ganho. Por exemplo, se forem permitidas apostas de 2x, o jogador pode apostar 4x em um 4 ou 10, 3x em um 5 ou 9 e 2,4x em um 6 ou 8. Observe que o ganho corresponde a 2x o valor da aposta "don't pass" ou "don't come".

Exemplo

Suponha que o jogador queira apostar US$ 100.000 em um jogo eletrônico de dados. A máquina contabiliza todas as apostas (incluindo as odds), mas somente após a resolução de uma aposta. O jogador faz apostas de linha de US$ 25, reforça-as com odds de 2x e joga o Three Point Molly (máximo de três apostas de linha) no lado "don't".

A tabela 2X mostra que a média de unidades resolvidas por lançamento é 1,599641. Portanto, o jogador precisaria fazer, em média, 100.000/25*1,599641 = 2.501 apostas para atingir seu objetivo.

Metodologia

Qual é o número médio de lançamentos de dados para resolver uma aposta de linha? Sempre haverá um lançamento inicial.

Há uma probabilidade de 6/36 = 1/6 de que o primeiro lançamento seja um 4 ou um 10. Após um 4 ou um 10, serão necessários 9 lançamentos para resolver o resultado, resultando em uma probabilidade de 9/36 = 1/4. O número esperado de lançamentos para que isso aconteça é de 4 lançamentos.

Há uma probabilidade de 8/36 = 2/9 de que o primeiro lançamento seja um 5 ou um 9. Após um 5 ou um 9, 10 lançamentos serão necessários para resolver o resultado, resultando em uma probabilidade de 10/36 = 5/18. O número esperado de lançamentos para que isso aconteça é de 18/5 = 3,6 lançamentos.

Há uma probabilidade de 10/36 = 5/18 de que o primeiro lançamento seja um 6 ou um 8. Após um 6 ou um 8, 11 lançamentos serão necessários para resolver o resultado, resultando em uma probabilidade de 11/36. O número esperado de lançamentos para que isso aconteça é 36/11 = 3,272727... lançamentos.

Somando tudo, o número esperado de lançamentos para resolver uma aposta de linha é 1 + (1/6)*4 + (2/9)*3,6 + (5/18)*(36/11) = 557/165 =~ 3,375758 lançamentos.

Vamos analisar primeiro o caso de probabilidades 0X.

Por um lado, mostramos que são necessárias, em média, 557/165 jogadas para resolver uma aposta de passe. Assim, o número esperado de apostas resolvidas por jogada é o inverso disso, 165/557 ≈ 0,296230.

Para dois pontos, considere a frequência com que o jogador terá duas apostas na mesa. Ele fará isso, exceto nos lançamentos iniciais após um 7. Em média, são necessários 3/2 lançamentos para estabelecer um ponto e, em seguida, 6 lançamentos para tirar um 7, totalizando 7,5 lançamentos entre os setes. Destes, 1,5/7,5 = 80% são lançamentos iniciais. Portanto, as apostas aumentam 80% em comparação com o jogador de um ponto. Assim, a aposta média é 1,8 * 165/557 = 0,533214.

Para três pontos, considere com que frequência o jogador terá três apostas na mesa. Isso ocorrerá, exceto após uma rodada inicial (come out roll), quando dois pontos diferentes forem obtidos. Com que frequência isso acontece? Digamos que o ponto seja um 4 ou 10. A probabilidade de estabelecer outro ponto na próxima rodada é (24-3)/(36-6-3) = 21/27. Se o ponto for um 5 ou 9, essa probabilidade é 20/26. Se o ponto for um 6 ou 8, essa probabilidade é 19/25. Uma média ponderada da probabilidade de obter outro ponto é (6/24)*(21/27) + (8/24)*(20/26) + (10/24)*(19/25) = ~ 0,767521. Já estabelecemos que em 80% das vezes o jogador terá apenas uma aposta na mesa. A proporção de vezes que o jogador fará uma aposta para um terceiro ponto é 0,8 * 0,767521 = 0,614017. Portanto, a aposta total esperada por lançamento é 0,8 + 0,614017 a mais do que o jogador que fizer apenas um ponto. Isso é 0,296230 * (1+0,8+0,614017) = 0,715104.

Para obter a pontuação máxima, ou seja, uma aposta a cada lançamento de dados, a resposta é simplesmente a média de uma unidade apostada por lançamento.

Para o caso de odds de 1x no lado do "do", observe que em 2/3 das vezes o jogador fará um ponto e, portanto, fará uma aposta de odds. A aposta final média por lançamento inicial é, portanto, 1 + (2/3) = 5/3. Ao longo das 3,375758 lançamentos médios por lançamento inicial, a aposta média por lançamento é (5/3)/3,375758 = 0,493716. Para fazer dois pontos, multiplique esse valor por 1,8, assim como no caso de odds de 0x: 0,493716 * 1,8 = 0,888689. Para fazer três pontos, multiplique o valor de uma aposta por 1 + 0,8 + 0,614017 = 2,414017, pelo mesmo motivo das odds de 0x, que é 2,414017 * 0,493716 = 1,191840. Para obter a pontuação máxima, a aposta média por rodada será 1+(2/3)*1 = 5/3.

Para o caso de odds de 2x no lado do passe, observe que a aposta média por linha de passe é 1 + (2/3) * 2 = 7/3. Assim, a aposta média por rodada é (7/3) / 3,375758 = 0,691203. Para 2 e 3 pontos, multiplique isso pelos mesmos fatores 1,8 e 2,414017 mostrados para odds de 0x e 1x. Para a pontuação máxima, a aposta média por rodada será 1 + (2/3) * 2 = 7/3.

A lógica é a mesma para apostas com odds mais altas. A aposta média no "não passe" por lançamento é a mesma que no "passe", 0,296230. Para odds de 1x, a aposta média é 1 + (6/36) * 2 + (8/36) * 1,5 + (10/36) * 1,2 = 2. A aposta média por lançamento é, portanto, 2/3,375758 = 0,592460. Para odds de 2x, a aposta média é 1 + (6/36) * 4 + (8/36) * 3 + (10/36) * 2,4 = 3. A aposta média por lançamento é, portanto, 3/3,375758 = 0,888689. Para odds de 3x, 4x e 5x, a aposta média é 1 + (2/3) * 6 = 5. A aposta média por lançamento é, portanto, 5/3,375758 = 1,481149.Para apostas acima de dois e três pontos, multiplique pelos mesmos fatores 1,8 e 2,414017.

Para a pontuação máxima apostando nas probabilidades, a aposta média por rodada é 1 com probabilidades de 0x. Para probabilidades de 1x, é 1+(6/36)*2 + (8/36)*1,5 + (10/36)*1,2 = 2. Para probabilidades de 2x, é 1+(6/36)*4 + (8/36)*3 + (10/36)*2,4 = 3. Para probabilidades de 3x, 4x ou 5x, é 1+(2/3)*6 = 5.

Reconhecimento

Gostaria de agradecer ao Ace2 pela ajuda com os cálculos desta página. Ele discute o assunto no meu fórum, Wizard of Vegas .

Escrito por: Michael Shackleford