Apostas combinadas no mesmo jogo: a matemática da correlação

Matemática tradicional de apostas combinadas (eventos independentes)

Para apostas combinadas tradicionais com eventos independentes, a matemática é simples. Se você tem n apostas com probabilidades individuais p₁ , p₂ , ..., pₙ , a probabilidade de todas as apostas serem vencedoras é simplesmente o produto das probabilidades individuais:

Esta fórmula baseia-se na regra fundamental da probabilidade para eventos independentes. Dois eventos A e B são independentes se o conhecimento de que A ocorreu não fornece nenhuma informação sobre se B ocorreu (formalmente: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)).

Exemplo: Aposta combinada tradicional de 3 pernas

Suponha que você combine três apostas de jogos diferentes (garantindo a independência):

• A equipe A tem um spread de -110 (probabilidade implícita ≈ 52,4%)
• A equipe B tem um spread de -110 (probabilidade implícita ≈ 52,4%)
• A equipe C tem um spread de -110 (probabilidade implícita ≈ 52,4%)

Nota sobre probabilidade implícita: Convertemos as probabilidades americanas em probabilidade usando a fórmula do Artigo 1. Para probabilidades de -110:

Probabilidade combinada (assumindo independência):

Cálculo das probabilidades justas: Se a probabilidade real for de 14,4%, as probabilidades justas de pagamento são calculadas como:

Pagamento real: A maioria das casas de apostas paga aproximadamente 6 para 1 (+600) por uma aposta combinada de 3 jogos com odds padrão de -110.

A vantagem da casa de apostas reside em pagar odds ligeiramente inferiores às consideradas justas. Neste caso:

Essa pequena vantagem da casa é típica das apostas combinadas tradicionais. No entanto, esse cálculo pressupõe, crucialmente, independência — que cada resultado não afeta os outros.Para apostas combinadas no mesmo jogo, essa premissa deixa de ser válida.

O problema da correlação em apostas combinadas no mesmo jogo

Quando todas as apostas provêm do mesmo jogo, a independência é violada. Considere esta construção comum de SGP:

• Equipe A para vencer (-140, probabilidade implícita ≈ 58,3%)
• O quarterback do time A lançará para mais de 275,5 jardas (-110, probabilidade implícita ≈ 52,4%)
• Total de pontos da partida para ultrapassar 48,5 (-110, probabilidade implícita ≈ 52,4%)

Esses resultados estão positivamente correlacionados :

• Se a Equipe A vencer, é provável que seu quarterback tenha tido um bom desempenho → correlação positiva entre as etapas 1 e 2.
• Se o quarterback lançou para mais de 275 jardas, é provável que o jogo tenha tido mais pontos → correlação positiva entre as etapas 2 e 3.
• Se a Equipe A vencer, especialmente por uma margem confortável, o total tem maior probabilidade de superar as expectativas → correlação positiva entre as etapas 1 e 3.

Usar a fórmula de independência subestimaria drasticamente a verdadeira probabilidade de os três acertarem juntos.

Estrutura Matemática

Sejam X₁, X₂, X₃ variáveis aleatórias binárias (1 = vitória, 0 = derrota) representando cada etapa da aposta combinada. Precisamos calcular:

Sob o regime de independência:

Com correlação:

A verdadeira probabilidade depende da distribuição de probabilidade conjunta de (X₁, X₂, X₃), que captura como os resultados se movem em conjunto. Não podemos simplesmente multiplicar probabilidades marginais; devemos levar em conta a estrutura de dependência.

Para precificar corretamente essa aposta combinada, as casas de apostas precisam estimar P(X₁=1, X₂=1, X₃=1) diretamente, levando em conta a correlação. O restante deste artigo explora os métodos que elas utilizam.

Matrizes de Correlação: Medindo a Dependência

As casas de apostas estimam a correlação usando dados históricos. Para cada par de tipos de apostas (vitória da equipe com o total de pontos da equipe, jardas do quarterback com o total de pontos do jogo, etc.), elas calculam coeficientes de correlação empíricos a partir de milhares de jogos anteriores.

Coeficiente de correlação de Pearson

Para dois resultados binários X e Y (codificados como 1 para vitória e 0 para derrota), o coeficiente de correlação de Pearson é:

O numerador mede o quanto a probabilidade conjunta difere do que a independência preveria. O denominador normaliza essa diferença para produzir um valor entre -1 e +1.

Interpretação:

• ρ = +1: Correlação positiva perfeita (ambas sempre acontecem juntas)
• ρ = 0: Sem correlação (eventos independentes)
• ρ = -1: Correlação negativa perfeita (quando uma ocorre, a outra nunca ocorre)
• Faixa típica de apostas esportivas: ρ entre -0,4 e +0,6

Exemplo de matriz de correlação

Segue abaixo uma matriz de correlação hipotética derivada de dados históricos de jogos da NFL. Esses valores são ilustrativos, mas representativos das correlações que as casas de apostas observariam:

Esta matriz mostra correlações positivas moderadas. A correlação mais forte (0,42) é entre o quarterback lançar para mais de 275 jardas e o total de pontos da partida ultrapassar essa marca — o que faz sentido intuitivamente, já que um alto número de jardas aéreas geralmente indica uma partida com muitos pontos.

A vitória da equipe está positivamente correlacionada tanto com o desempenho do seu quarterback (0,35) quanto com a duração da partida acima da meta (0,28), embora essas correlações sejam mais fracas. Essa estrutura é típica: as correlações existem, mas raramente são extremas em qualquer direção.

Nota importante: As matrizes de correlação variam significativamente dependendo do contexto do jogo (favorito vs. azarão, jogo em casa vs. fora, jogos com totais altos vs. jogos com totais baixos, etc.). Casas de apostas sofisticadas mantêm matrizes separadas para diferentes situações de jogo.

Método da Cópula Gaussiana para Precificação de SGPs

Uma abordagem sofisticada usada pelas casas de apostas esportivas é a cópula gaussiana , que modela probabilidades conjuntas, preservando as probabilidades marginais de cada aposta individual. Esse método separa o comportamento marginal (com que frequência cada aposta é vencedora individualmente) da estrutura de dependência (como as apostas se comportam em conjunto).

A Metodologia

1. Transformar em variáveis normais: Converter cada resultado binário em uma variável latente contínua normal usando a função de distribuição cumulativa normal inversa (CDF):
   Z₁ = Φ⁻¹(p₁), Z₂ = Φ⁻¹(p₂), Z₃ = Φ⁻¹(p₃)

   onde Φ⁻¹ é a função de distribuição cumulativa (CDF) normal padrão inversa e p₁, p₂, p₃ são as probabilidades marginais.

2. Aplicar estrutura de correlação: Modelar (Z₁, Z₂, Z₃) como uma distribuição normal multivariada com matriz de correlação R :
   (Z₁, Z₂, Z₃) ~ MVN(0, R)

   onde R contém os coeficientes de correlação par a par da matriz de correlação.

3. Calcule a probabilidade conjunta: A probabilidade de que todas as três apostas sejam vencedoras é:
   P(todos vencem) = P(Z₁ > c₁, Z₂ > c₂, Z₃ > c₃)

   onde c₁, c₂, c₃ são os valores críticos correspondentes a cada aposta não vencedora (ou seja, cᵢ = Φ⁻¹(1 - pᵢ)).

Essa integral sobre a distribuição normal multivariada é normalmente calculada usando simulação de Monte Carlo ou métodos de integração numérica.

Exemplo prático

Utilizando a aposta combinada de três pernas mencionada anteriormente com a matriz de correlação mostrada acima:

• P(A equipe A vence) = 0,583
• P(QB acima de 275 jardas) = 0,524
• P(Total acima de 48,5) = 0,524

Sob o regime de independência:

Com correlação (usando cópula gaussiana com a matriz acima):

A correlação aumenta a probabilidade conjunta em aproximadamente 33% em comparação com a suposição de independência. Esta é a percepção crucial: a correlação positiva torna a aposta combinada mais provável de ser bem-sucedida do que a independência sugeriria, o que significa que a casa de apostas deve oferecer odds menores (pagamento menor) do que uma aposta combinada tradicional proporcionaria.

Se a casa de apostas pagasse as odds tradicionais de uma aposta combinada de 3 seleções (em torno de +600) quando a probabilidade real é de 21,2%, estaria oferecendo:

Isso seria desastroso para a casa de apostas. (Para uma revisão dos cálculos de valor esperado, consulte o Artigo 2. ) Em vez disso, eles poderiam oferecer +350, o que resulta em:

O apostador agora enfrenta uma vantagem da casa de 4,6%, semelhante a uma aposta simples.

Método de Frequência Empírica

Uma abordagem mais simples e direta consiste em contar a frequência com que combinações específicas de apostas são vencedoras em dados históricos. Esse método não requer suposições sobre a forma da correlação (ao contrário da cópula gaussiana) e utiliza simplesmente as frequências observadas.

O Processo

1. Identificar jogos históricos comparáveis: Encontrar todos os jogos anteriores que correspondam ao cenário atual (disparidades de pontos semelhantes, totais semelhantes, força das equipes semelhante).
2. Registre os resultados: Para cada jogo histórico, registre se cada aposta teria sido vencedora.
3. Calcule a frequência das articulações: conte quantas vezes todas as pernas se tocam juntas.
4. Ajuste para o tamanho da amostra: Aplique ajustes estatísticos (como intervalos de confiança) para compensar a quantidade limitada de dados.
5. Adicionar vantagem da casa: Converter a frequência em probabilidades com a margem de lucro desejada já incorporada.

Exemplo de cálculo

De 500 jogos históricos da NFL em que uma equipe era favorita por 3 a 7 pontos, com um total de pontos previsto entre 45 e 51:

Comparação com a independência:

Essa abordagem empírica confirma o que a cópula gaussiana previu: a correlação aumenta substancialmente a probabilidade conjunta. A casa de apostas usa esse valor de 20,4% (possivelmente com ajustes para as especificidades do jogo em questão) para definir suas probabilidades.

Vantagens do método empírico:

• Não são necessárias suposições distributivas.
• Captura correlações do mundo real exatamente como elas ocorrem.
• Fácil de implementar com dados históricos suficientes.

Desvantagens:

• Requer grandes conjuntos de dados para cada combinação específica.
• Não se generaliza bem a novas combinações.
• Pode gerar ruído em tipos de apostas raras ou contextos de jogo incomuns.

As casas de apostas esportivas mais sofisticadas utilizam uma abordagem híbrida : frequências empíricas onde os dados são abundantes, cópulas gaussianas ou outros modelos para preencher lacunas e suavizar as estimativas.

Como as casas de apostas calculam as probabilidades do SGP: Processo completo

Aqui está o fluxo de trabalho completo que uma casa de apostas usa para precificar uma aposta combinada no mesmo jogo:

Etapa 1: Estimar as probabilidades marginais

Para cada perna individual, determine a probabilidade real (antes do vigorish). As casas de apostas obtêm essas probabilidades a partir de seus modelos preditivos e algoritmos de criação de mercado:

• Equipe A para vencer: probabilidade real de 56% → oferecida a -130 (probabilidade implícita de 56,5% com taxa)
• QB com mais de 275 jardas: probabilidade real de 48% → oferecido a -110 (probabilidade implícita de 52,4% com taxa de corretagem)
• Total acima de 48,5: probabilidade real de 52% → oferecido a -110 (probabilidade implícita de 52,4% com margem)

Etapa 2: Aplicar o ajuste de correlação

Utilizando métodos de cópula ou frequências empíricas (ou ambos), calcule a verdadeira probabilidade conjunta. Para este exemplo, suponha que a análise deles resulte em:

Compare com a hipótese de independência:

Neste caso, a correlação aumenta a probabilidade conjunta em 35%.

Passo 3: Adicione Vigorish

Converter a probabilidade real em probabilidades oferecidas com a vantagem da casa desejada já incorporada:

Essa vantagem da casa de 14,9% é substancialmente maior do que a vantagem típica de 4 a 5% em uma aposta simples. Esse é um dos motivos pelos quais as casas de apostas estão ansiosas para promover os SGPs (Sports Gained Premiers - Prêmios de Melhoria de Aposta).

Passo 4: Arredondar para os pagamentos padrão de apostas múltiplas

Muitas casas de apostas arredondam os valores para incrementos padrão de apostas múltiplas (+300, +350, +400, +450, +500, etc.) para simplificar as operações e melhorar a experiência do usuário. Esse arredondamento pode aumentar ou diminuir ligeiramente a vantagem da casa, dependendo da direção do arredondamento.

Neste caso, +350 já é um incremento padrão, portanto não é necessário arredondamento adicional.

Etapa 5: Ajustes dinâmicos

Livros sofisticados também fazem ajustes em tempo real com base em:

• Desequilíbrio de apostas: Se muitos apostadores estiverem escolhendo uma combinação específica, as probabilidades podem ser reduzidas ainda mais.
• Indicadores de apostadores experientes: Se apostadores experientes conhecidos estiverem evitando certos SGPs (Short-Gold and Play), a casa de apostas pode oferecer odds ligeiramente melhores para atrair mais apostas.
• Incerteza de correlação: Para combinações incomuns onde a correlação é difícil de estimar, os livros geralmente adicionam uma margem extra de segurança.

Implicações práticas para apostadores

A compreensão da matemática dos SGPs leva a diversas conclusões práticas:

1. Os SGPs geralmente apresentam um custo-benefício ruim.

A vantagem da casa em apostas combinadas (SGPs) é normalmente de 3 a 5 vezes maior do que em apostas simples. A menos que você tenha fortes razões para acreditar que uma aposta combinada específica esteja com preço incorreto, é melhor fazer apostas individuais ou evitar apostas combinadas por completo.

2. Evite combinações altamente correlacionadas

As combinações que "parecem" mais inteligentes (Vitória do Time + Mais de 100 pontos do QB + Fim de Jogo) são exatamente aquelas em que as casas de apostas têm mais dados e os melhores modelos de precificação. É improvável que você encontre valor aqui.

3. Considere a correlação negativa

Se você precisa apostar em SGPs, procure combinações com correlação negativa, onde a casa de apostas pode oferecer pagamentos desproporcionalmente altos. Isso pode parecer contraintuitivo, mas pode oferecer um valor matemático melhor.

4. Requisitos de tamanho da amostra

Para criar suas próprias estimativas de correlação, você precisaria de centenas ou milhares de jogos históricos relevantes. Para a maioria dos apostadores, isso é impraticável. Reconheça que as casas de apostas esportivas possuem dados e capacidades de modelagem muito superiores.

5. Estratégia Alternativa: Apostas Simples

Se você acredita que o Time A vai ganhar, que o quarterback dele vai ultrapassar a marca de jardas e que o jogo vai ultrapassar o total previsto, você tem três apostas com valor esperado positivo (na sua opinião). Por que combiná-las em um SGP com vantagem da casa de 15-25% quando você poderia fazer três apostas separadas com vantagem de 4-5% cada? (Discutimos o tamanho ideal para apostas múltiplas no Artigo 3. )

O SGP custa aproximadamente 7 vezes mais em valor esperado do que as três apostas individuais, mesmo que ambas as estratégias arrisquem os mesmos US$ 10 por combinação. Isso pressupõe que suas estimativas de probabilidade estejam corretas, o que nos leva de volta ao Artigo 2 sobre cálculos de valor esperado.