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Gestão de variância e banca para apostas em jogadores
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Introdução
A Matemática dos Adereços de Jogador - Artigo 3 de 5
Navegação da série:
- Artigo 1: Entendendo a matemática por trás das linhas
- Artigo 2: Valor Esperado em Apostas em Jogadores Especiais
- Artigo 3: Variância e Gestão de Banca para Apostas Prop (Você está aqui)
- Artigo 4: Apostas combinadas no mesmo jogo: A matemática da correlação
- Artigo 5: Falácias comuns na análise de apostas em jogadores
A matemática do dimensionamento de apostas, o risco de ruína e a teoria do portfólio.
Introdução
Aviso: Este artigo tem fins meramente educativos e não constitui aconselhamento de apostas. Os exemplos são hipotéticos e ilustrativos. A gestão de banca não elimina o risco nem garante lucros. O objetivo é compreender os princípios matemáticos da definição do tamanho das apostas em situações de incerteza.
No Artigo 1 , aprendemos a ler as linhas de apostas e a extrair informações de probabilidade. No Artigo 2 , aprendemos a calcular o valor esperado e a identificar apostas potencialmente lucrativas. Juntos, esses artigos nos ensinaram quais apostas fazer.
Mas identificar uma aposta com valor esperado positivo (+EV) é apenas metade da batalha. A outra metade é: quanto você deve apostar?
Apostar demais pode arruinar suas chances, mesmo com um valor esperado positivo. Apostar de menos impede que você aproveite sua vantagem. A matemática do dimensionamento ideal de apostas, formalizada pelo Critério de Kelly, fornece respostas rigorosas para essa questão.
Este artigo aborda:
- Entendendo a variância nas apostas em jogadores.
- Desvio padrão e seu impacto nas oscilações de banca
- O Critério de Kelly: dedução matemática e aplicação
- Kelly fracionário e dimensionamento de apostas conservador.
- Cálculos de risco de ruína
- Efeitos do portfólio ao apostar em múltiplas opções
Ao final, você entenderá como dimensionar suas apostas matematicamente para maximizar o crescimento da sua banca a longo prazo, controlando o risco de ficar sem dinheiro.
Entendendo a variância nas apostas em proposições
Mesmo com um valor esperado positivo, os resultados a curto prazo flutuam devido à variância. Uma taxa de acerto de 60% (excelente em apostas esportivas) ainda significa que você perde 4 em cada 10 apostas. Compreender a variância matematicamente ajuda a estabelecer expectativas realistas.
Desvio padrão para resultados binários
As apostas em jogadores geralmente têm resultados binários: você ganha ou perde. Para uma única aposta com probabilidade de vitória p, o desvio padrão dos resultados é:
Isso mede a incerteza do resultado de uma aposta simples. Para uma aposta com 60% de probabilidade:
O desvio padrão é de 0,49, o que é bastante alto em relação ao valor esperado de 0,20 (se apostar, digamos, com odds de +100 e uma taxa de acerto de 60%).
Desvio padrão em múltiplas apostas
Se você fizer n apostas independentes com as mesmas características, o desvio padrão do total de resultados será:
Uma observação crucial: o desvio padrão aumenta com a raiz quadrada do número de apostas. Se você fizer 100 apostas em vez de 1, seu desvio padrão aumenta em √100 = 10 vezes, mas seu valor esperado aumenta em 100 vezes. É por isso que os jogadores profissionais querem fazer o máximo possível de apostas com valor esperado positivo (+EV) — o valor esperado cresce mais rápido do que a incerteza.
Coeficiente de Variação
Uma métrica útil é o coeficiente de variação (CV), que mede a incerteza relativa:
Onde μ é o valor esperado. Em n apostas:
O coeficiente de variação (CV) diminui com √n, o que significa que a incerteza relativa diminui à medida que você faz mais apostas.Este é o fundamento matemático da lei dos grandes números: dado um número suficiente de repetições, os resultados reais convergem para o valor esperado.
Exemplo prático: Variância em 100 apostas
Suponha que você tenha identificado uma aposta prop com as seguintes características:
- Probabilidade: -110 (decimal 1,909)
- Sua probabilidade estimada de vitória: 55%
- Valor da aposta: $100 por aposta
- Número de apostas: 100
Passo 1: Calcular o Valor Esperado por Aposta
(Caso precise relembrar como converter odds de -110 em valores de lucro, consulte o Artigo 1 , onde abordamos a conversão de odds em detalhes.)
Etapa 2: Calcular o lucro total esperado
Etapa 3: Calcular o desvio padrão
Para cada aposta, os resultados possíveis são: ganhar $90,90 ou perder $100. Precisamos calcular o desvio padrão do lucro/prejuízo.
Resultado em caso de perda = -$100
Resultado esperado = $5,00
Variância = p(ganho - EV)² + (1-p)(perda - EV)²
= 0,55(90,90 - 5)² + 0,45(-100 - 5)²
= 0,55(85,90)² + 0,45(-105)²
= 0,55(7.378,81) + 0,45(11.025)
= 4.058,35 + 4.961,25
= 9.019,60
σ = √9.019,60 = $95,00 por aposta
Etapa 4: Desvio padrão em 100 apostas
Etapa 5: Interpretar os resultados
Mais de 100 apostas:
- Lucro esperado: US$ 500
- Desvio padrão: US$ 950
Usando a aproximação normal, podemos estimar intervalos de probabilidade:
Intervalo de confiança de 95%: $500 ± (1,96 × $950) = [-$1.362, +$2.362]
Análise crítica: Mesmo com um valor esperado positivo e 100 apostas, há aproximadamente 30% de chance de você ficar no prejuízo (dentro do intervalo de confiança de 68% que inclui resultados negativos). Há ainda cerca de 16% de chance de você perder US$ 450 ou mais após 100 apostas. A variância é real e substancial, mesmo para apostadores profissionais.
Critério de Kelly: Dimensionamento ideal de apostas
O Critério de Kelly, desenvolvido por John Kelly em 1956, fornece uma fórmula matemática para o dimensionamento ideal de apostas que maximiza o crescimento da banca a longo prazo, controlando o risco de ruína.
A fórmula
Para uma aposta com probabilidade de vitória p e odds b (lucro por dólar apostado em caso de vitória), a fração ideal da sua banca para apostar é:
Onde:
- f* = fração ideal da banca para apostar
- b = probabilidades decimais - 1 (lucro por dólar em caso de vitória)
- p = probabilidade real de ganhar
- q = 1 - p (probabilidade de perder)
Derivação (Simplificada)
Kelly chegou a essa conclusão maximizando o logaritmo esperado da riqueza. Se você apostar uma fração f da sua banca B:
- Se você ganhar (probabilidade p): Novo saldo = B(1 + fb)
- Se você perder (probabilidade q): Novo saldo = B(1 - f)
Riqueza logarítmica esperada:
Para maximizar, calcule a derivada em relação a f e iguale a zero:
Resolvendo para f, obtemos:
Esta fórmula maximiza a taxa de crescimento geométrico do seu saldo bancário ao longo do tempo.
Exemplo prático: Aplicação do Critério de Kelly
Exemplo 1: Borda Moderada em -110
Você identificou uma aposta prop com odds de -110 (decimal 1,909) onde você estima uma probabilidade real de 55%.
p = 0,55
q = 0,45
f* = (bp - q) / b
= (0,909 × 0,55 - 0,45) / 0,909
= (0,500 - 0,45) / 0,909
= 0,050 / 0,909
= 0,055 = 5,5%
Kelly recomenda apostar 5,5% da sua banca.
Se você tiver um saldo de $1.000, Kelly recomenda apostar $55.
Exemplo 2: Borda maior em +150
Você encontrou uma aposta com odds de +150 (decimal 2,50) onde estima uma probabilidade real de 50% (o mercado está subestimando significativamente esse jogador).
p = 0,50
q = 0,50
f* = (bp - q) / b
= (1,50 × 0,50 - 0,50) / 1,50
= (0,75 - 0,50) / 1,50
= 0,25 / 1,50
= 0,167 = 16,7%
Kelly recomenda apostar 16,7% da sua banca.
Essa é uma aposta muito maior porque você tem uma vantagem substancial (o mercado indica 40%, mas você estima 50%).
Exemplo 3: Valor esperado negativo (Verificação de sanidade)
Suponha que você esteja considerando uma aposta de -110 com apenas 50% de probabilidade real (sem vantagem).
p = 0,50
q = 0,50
f* = (0,909 × 0,50 - 0,50) / 0,909
= (0,455 - 0,50) / 0,909
= -0,045 / 0,909
= -0,049 = -4,9%
Kelly recomenda apostar em -4,9% , o que significa não apostar (uma porcentagem negativa significa apostar no outro lado, mas como estamos analisando apenas um lado, significa simplesmente passar).
Este teste de bom senso funciona: Kelly diz para você não apostar quando não tiver vantagem.
Kelly Fracionário: A Abordagem Conservadora
A estratégia de apostas com o sistema Kelly completo maximiza o crescimento a longo prazo, mas pode resultar em volatilidade significativa da banca. A maioria dos apostadores mais experientes utiliza o sistema Kelly fracionário para reduzir a variância, mesmo que isso signifique um crescimento mais lento.
Frações comuns
- Kelly completo (1,0x): Crescimento máximo, alta variância
- Meio Kelly (0,5x): 75% da taxa de crescimento, 50% da variância
- Quarter Kelly (0,25x): 50% da taxa de crescimento, 25% da variância
A fórmula para Kelly fracionária:
Por que usar o Kelly fracionário?
- Erro de estimativa: Se sua estimativa de probabilidade estiver errada, o método de Kelly completo pode ser muito agressivo. O método de Kelly fracionário oferece uma margem de segurança.
- Volatilidade reduzida: A estratégia Half Kelly reduz drasticamente as oscilações de banca, mantendo a maior parte do crescimento.
- Conforto psicológico: Apostas menores são mais fáceis de manter durante sequências de derrotas.
- Apostas múltiplas simultâneas: Se você estiver apostando em várias opções simultaneamente, o método de Kelly fracionário leva em consideração o risco da carteira.
Exemplo: Meia Kelly vs. Kelly Completa
Do nosso exemplo anterior, com -110 e 55% de probabilidade de vitória:
Meio Kelly = 2,75% da banca
Quarter Kelly = 1,375% da banca
Com uma banca de US$ 1.000:
- Kelly Completo: US$ 55 por aposta
- Meia aposta Kelly: US$ 27,50 por aposta
- Quarter Kelly: US$ 13,75 por aposta
A maioria dos apostadores profissionais usa entre um quarto e meio Kelly exatamente por esses motivos.
Risco de Ruína: Entendendo a Sobrevivência Bancária
O risco de ruína é a probabilidade de seu saldo cair para zero (ou algum limite mínimo) antes de se recuperar. Mesmo com um valor esperado positivo, sempre existe algum risco de ruína se você apostar de forma muito agressiva.
A fórmula simplificada
Para apostas repetidas com valor esperado positivo, uma aproximação do risco de ruína é:
Onde:
- EV = valor esperado por aposta (em dólares)
- N = tamanho da banca (em dólares)
- σ² = variância por aposta
A Fórmula da Ruína do Jogador (Discreta)
Para um cálculo mais preciso com valores de aposta fixos, se você começar com uma banca inicial B e um valor de aposta b:
Risco de ruína ≈ (q/p)^(B/b)
Esta é a aproximação padrão para a ruína do jogador com valor esperado positivo (p > q). Ela estima a probabilidade de perder toda a sua banca antes que sua vantagem se manifeste.
Exemplo prático
Suponha:
- Saldo bancário: US$ 1.000
- Valor da aposta: $50 (5% da banca)
- Probabilidade de vitória: 55%
- Probabilidades: -110 (ganho de $45,45, perda de $50)
Número de apostas perdidas para falir: $1.000 / $50 = 20
= (0,818)^20
= 0,0196
= 1,96%
Existe aproximadamente 2% de chance de falir antes que sua vantagem se manifeste, mesmo com uma aposta de 5% do tamanho da aposta de Kelly e um valor esperado positivo.
Como Kelly minimiza o risco de ruína
A beleza do sistema de apostas Kelly reside no fato de que ele ajusta automaticamente o tamanho da aposta ao saldo disponível. À medida que seu saldo aumenta, o tamanho da sua aposta também aumenta. À medida que seu saldo diminui, o tamanho da sua aposta também diminui.Esse ajuste dinâmico significa que você nunca se coloca em uma situação sem saída.
Com a estratégia de apostas de Kelly (ajustando continuamente o tamanho da aposta), o risco de ruína se aproxima de zero ao longo do tempo (embora nunca seja exatamente zero em um período finito). É por isso que a estratégia de Kelly é matematicamente ótima: ela maximiza o crescimento e, essencialmente, elimina o risco de ruína para apostadores de longo prazo.
Critério de Kelly: Sensibilidade ao Erro de Estimação
A maior fraqueza do Critério de Kelly: ele é extremamente sensível a erros de estimativa de probabilidade. Se você superestimar sua probabilidade de vitória, o Critério de Kelly indica que você deve apostar demais, o que pode ser desastroso.
Exemplo do impacto do erro de estimativa
Situação real: Apostar em -110 com 52% de probabilidade real (vantagem muito ligeira)
Mas você estimou erroneamente uma probabilidade de 55%:
Você está apostando quase 8 vezes mais do que o ideal devido a um erro de estimativa de 3 pontos percentuais!
A matemática das apostas excessivas
Se você apostar o dobro do valor ideal de Kelly, sua taxa de crescimento a longo prazo será zero . Se apostar mais de 2 vezes o valor de Kelly, terá crescimento negativo — você perderá dinheiro a longo prazo, mesmo com um valor esperado positivo.
É por isso que a estimativa fracionária de Kelly é tão importante: ela oferece uma margem de segurança contra erros de estimativa. Se você usar metade da estimativa de Kelly e superestimar em 3 pontos percentuais, estará apostando 4 vezes mais do que o necessário, em vez de 8 vezes — ainda ruim, mas menos catastrófico.
Estimativas de probabilidade conservadoras
Dada essa sensibilidade, é prudente:
- Use estimativas de probabilidade conservadoras (tendência à probabilidade de mercado).
- Aposte apenas quando tiver alta confiança na sua estimativa.
- Use a escala Kelly fracionária (de um quarto a metade) em vez da escala Kelly completa.
- Acompanhe os resultados para calibrar a precisão da sua estimativa de probabilidade (consulte o Artigo 5 para obter mais informações sobre calibração e como evitar erros de estimativa).
Efeitos do Portfólio: Apostando em Múltiplas Opções
Na prática, você não apostará apenas em uma opção por vez. Você terá várias apostas ativas simultaneamente. Isso cria efeitos de portfólio que impactam o tamanho ideal das apostas.
Adereços independentes de diferentes jogos
Se você apostar em resultados específicos de diferentes jogos (times diferentes, esportes diferentes), essas apostas são aproximadamente independentes. A teoria de portfólio nos diz que a variância do portfólio é:
Para n apostas idênticas:
Isso significa que, se você fizer 4 apostas simultâneas do tamanho de Kelly em eventos independentes, seu saldo sofrerá o dobro do desvio padrão de uma única aposta. Para manter o mesmo nível de risco, você deve reduzir cada aposta para metade do tamanho de Kelly.
Regra geral para apostas independentes
Se você planeja ter, em média, n apostas independentes simultâneas ativas:
Exemplos:
- 1 aposta por vez → 1,0x Kelly
- 4 apostas simultâneas → 0,5x Kelly (meio Kelly)
- 9 apostas simultâneas → 0,33x Kelly (um terço de Kelly)
- 16 apostas simultâneas → 0,25x Kelly (um quarto de Kelly)
Adereços correlacionados do mesmo jogo
As apostas em um mesmo jogo estão correlacionadas, como discutimos no Artigo 4. Se você apostar em várias apostas do mesmo jogo, estará assumindo um risco adicional, pois é provável que elas ganhem ou percam juntas.
Para apostas correlacionadas, reduza ainda mais o valor da aposta. Uma orientação geral:
- Baixa correlação (ρ < 0,2): Tratar como independentes
- Correlação moderada (ρ = 0,2-0,5): Reduza o tamanho da aposta em 25-50%.
- Alta correlação (ρ > 0,5): Reduza o valor da aposta em 50% ou mais, ou evite apostas múltiplas no mesmo jogo.
A matemática exata das apostas de Kelly correlacionadas é complexa e está além do escopo deste artigo, mas o princípio é claro: a correlação aumenta o risco, exigindo apostas menores.
Estrutura prática de gestão bancária
Sintetizando tudo em uma estrutura prática:
Passo 1: Defina seu orçamento
Seu saldo para apostas deve ser:
- Dinheiro que você pode se dar ao luxo de perder
- Separado das despesas de moradia
- Não é necessário para outros fins.
- Suficientemente grande para suportar a variação (recomenda-se um mínimo de US$ 1.000 para tamanhos de apostas típicos).
Passo 2: Calcule a Base de Kelly para cada aposta.
Para cada item que você considerar:
Etapa 3: Aplicar a redução fracionária de Kelly
Reduzir para um quarto de Kelly ou meia Kelly:
Etapa 4: Ajuste para o Portfólio
Se você normalmente tem n apostas ativas simultaneamente em opções independentes:
Passo 5: Aplicar o limite máximo de aposta
Mesmo após todos os ajustes, limite qualquer aposta individual a 2-3% do seu saldo máximo como medida de segurança contra erros de estimativa catastróficos.
Etapa 6: Recalcular regularmente
Atualize seu saldo semanalmente ou mensalmente. À medida que seu saldo aumenta, o tamanho das suas apostas também aumenta proporcionalmente. À medida que diminui, o tamanho das apostas também diminui, protegendo você da ruína.
Exemplo de aplicação
Saldo bancário: US$ 2.000
O tamanho da aposta de Kelly em -110 com 55% de probabilidade de vitória: 5,5%
Aposta base: $110
Ajustes:
- Use meia Kelly: $110 × 0,5 = $55
- Normalmente, 4 apostas simultâneas: $55 / √4 = $27,50
- Valor final da aposta: US$ 27,50 (1,375% da banca)
Essa abordagem é conservadora, mas sustentável. Com o tempo, à medida que você acumula dados sobre a precisão das suas apostas, pode ajustar os fatores fracionários de Kelly, se necessário.
Erros comuns na gestão de banca
1. Apostar demais após as vitórias
"Acabei de acertar três jogos seguidos, vou aumentar o valor da minha aposta!"
Problema: Isso viola os princípios de Kelly. Você só deve aumentar o valor das apostas à medida que seu saldo aumenta, e não porque teve uma sequência de vitórias. Três vitórias podem ser sorte, e não comprovação de habilidade.
2. Apostar muito pouco após as perdas
"Perdi cinco seguidas, devo apostar pouco até me recuperar."
Problema: Se sua vantagem for genuína, as sequências de derrotas são o momento ideal para manter as apostas de acordo com a estratégia de Kelly. Reduzir o tamanho da aposta abaixo do nível de Kelly devido a uma sequência de derrotas significa perder o crescimento esperado. (No entanto, reduzir para uma fração da estratégia de Kelly por conforto psicológico é aceitável.)
3. Usando dinheiro assustado
"Vou apostar 10 dólares em cada aposta porque estou preocupado com meu saldo bancário."
Problema: Se você tem medo de apostar quantias adequadas, seu saldo é muito pequeno ou você não tem vantagem alguma. Ou aumente seu saldo ou não aposte.
4. Ignorando os efeitos do portfólio
"Aposto 5% na Kelly em 10 apostas diferentes simultaneamente."
Problema: Na verdade, você está assumindo √10 ≈ 3,16 vezes mais risco do que imagina. Sua posição combinada é como apostar 15,8% de Kelly em uma única aposta — muito agressivo.
5. Nunca recalcular
"Comecei com US$ 1.000 e sempre aposto US$ 50 por aposta."
Problema: Se sua banca cair para US$ 500, apostar US$ 50 (10% da banca atual) é imprudente. Se ela subir para US$ 2.000, apostar US$ 50 (2,5%) é muito conservador. Ajuste o tamanho das apostas conforme sua banca muda.
6. Superestimar a borda
"Tenho 60% de certeza de que vou ganhar esta aposta, então vou apostar alto."
Problema: Conforme discutido no Artigo 2, as estimativas de probabilidade têm incerteza. Ter "certeza" de que você tem 60% de chance de acerto quando, na verdade, tem 53%, leva a apostas excessivas. Use estimativas conservadoras e o método de Kelly fracionário.
Quando Kelly diz: Não aposte
O Critério de Kelly às vezes recomenda não apostar mesmo quando você tem um valor esperado positivo. Isso acontece quando sua vantagem é tão pequena que o valor da aposta recomendada é menor que a aposta mínima viável.
Exemplo
Aposte em -110 com 52,5% de probabilidade real (vantagem mínima):
Com uma banca de US$ 1.000, a estratégia completa de Kelly recomenda apostar US$ 1,70. Com a estratégia parcial de Kelly, a aposta seria de US$ 0,85. Isso é impraticavelmente pouco.
Implicação prática: Não aposte a menos que Kelly (após ajustes de frações e portfólio) recomende pelo menos 0,5% a 1% da sua banca. Pequenas vantagens não compensam o esforço, o risco e os custos de transação.
Conclusão
A gestão de banca é onde a teoria matemática encontra a realidade das apostas. Os principais conceitos que abordamos foram:
- A variância é substancial: mesmo com taxas de acerto de 60%, você enfrentará perdas significativas. O desvio padrão para resultados binários é √[p(1-p)], e ao longo de n apostas ele cresce como √n.
- O Critério de Kelly otimiza o crescimento: a fórmula f* = (bp - q) / b maximiza o crescimento geométrico a longo prazo, controlando o risco de ruína. É matematicamente ideal para apostas repetidas.
- O uso de Kelly fracionário é prudente: aplicar de um quarto a metade do valor de Kelly reduz drasticamente a volatilidade, mantendo a maior parte do crescimento. Isso leva em consideração o erro de estimativa e o conforto psicológico.
- O risco de ruína está sempre presente: mesmo com valor esperado positivo, apostas agressivas criam risco de ruína. O método de apostas de Kelly, com gerenciamento adequado de banca, minimiza esse risco ao longo do tempo.
- Os efeitos do portfólio são importantes: múltiplas apostas simultâneas aumentam a variância. Ajuste apostando (1/√n) do valor máximo da estratégia de Kelly quando tiver n apostas independentes ativas.
- Kelly é sensível a erros de estimativa: superestimar a probabilidade de vitória em 3 pontos percentuais pode fazer com que você aposte de 5 a 10 vezes mais do que o necessário. Use estimativas conservadoras e o método de Kelly fracionário.
A gestão de banca não o tornará um apostador vencedor se você não tiver um valor esperado positivo. Mas garante que, quando você tiver uma vantagem (como discutido no Artigo 2), você a capitalize de forma sustentável sem correr o risco de ruína.
No Artigo 4, exploramos as apostas combinadas no mesmo jogo e a matemática da correlação. No Artigo 5: Falácias Comuns na Análise de Apostas em Jogadores, examinaremos os erros psicológicos e matemáticos que levam os apostadores ao erro: a falácia do apostador, a falácia da mão quente, o viés de recência e outros. Compreender essas armadilhas cognitivas é a peça final para desenvolver uma abordagem rigorosa para apostas em jogadores.
Navegação em Série
A Matemática dos Adereços de Jogador - Artigo 3 de 5
- Artigo 1: Entendendo a matemática por trás das linhas
- Artigo 2: Valor Esperado em Apostas em Jogadores Especiais
- Artigo 3: Variância e Gestão de Banca para Props (Artigo atual)
- Artigo 4: Apostas combinadas no mesmo jogo: A matemática da correlação
- Artigo 5: Falácias comuns na análise de apostas em jogadores
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