Pergunte ao Mago #125

Você tem alguma dica para apostar no lançamento de uma moeda?

anônimo

Sim! Meu conselho é apostar no lado que está virado para cima no início do lançamento. De acordo com o Science News Online, a probabilidade de uma moeda cair com o mesmo lado em que começou é de 51%. O artigo diz que isso acontece porque uma moeda lançada não gira perfeitamente em torno do seu eixo e, às vezes, parece estar girando quando na verdade não está. Essa hipótese só se aplica se a moeda for pega na palma da mão, para que o quique não seja um problema. O artigo também afirma que uma moeda girando cairá com a face "coroa" para cima em 80% das vezes, devido ao lado mais pesado, que representa a "cara", tender a cair primeiro. No entanto, estou cético quanto a isso. Tentei 20 vezes e obtive 11 caras e 9 coroas. A probabilidade de obter 9 ou menos coroas em 20 lançamentos, com uma probabilidade de sucesso de 80%, é de 1 em 1775.

Caro Mago, matematicamente, por que o sistema de cancelamento não funciona? (O sistema também é conhecido por muitos outros nomes. Para deixar claro, refiro-me ao sistema em que você começa com uma sequência de números e aposta o total dos números externos, cancelando-os quando ganha, etc.) Parece que tudo o que você precisa ganhar é 1/3 mais duas das suas apostas para sair no lucro. Na roleta, você tem cerca de 45% de chance de ganhar. Portanto, você deveria ganhar a longo prazo, mas não ganha. Por quê?

Nathan

Como acontece com a maioria dos sistemas de apostas, o sistema de cancelamento geralmente resulta em uma vitória na sessão, ao custo de perdas enormes ocasionais. Quando o sistema de cancelamento falha, os resultados podem ser o seu pior pesadelo. Durante esses períodos em que você parece perder quase o tempo todo, os valores das apostas começam a aumentar exponencialmente, o que pode rapidamente esgotar sua banca se as cartas não estiverem a seu favor.

No jogo Yahtzee, se restar apenas o próprio Yahtzee na cartela, qual é a probabilidade de formá-lo?

anônimo

A tabela a seguir mostra a probabilidade de sucesso na última jogada, de acordo com o número de dados adicionais necessários para formar um Yahtzee.

Probabilidades do Yahtzee da Última Rodada

Necessário	Probabilidade do Sucesso
0	1
1	0,166667
2	0,027778
3	0,00463
4	0,000772

A próxima tabela mostra as probabilidades de melhoria. A coluna da esquerda mostra quantos dados você precisa antes de qualquer lançamento e a coluna superior mostra quantos você precisa depois do lançamento. O corpo da tabela mostra a probabilidade do grau de melhoria indicado.

Probabilidades de melhoria

Precisa antes de rolar	0	1	2	3	4	Total
0	1	0	0	0	0	1
1	0,166667	0,833333	0	0	0	1
2	0,027778	0,277778	0,694444	0	0	1
3	0,00463	0,069444	0,37037	0,555556	0	1
4	0,000772	0,01929	0,192901	0,694444	0,092593	1

A próxima tabela mostra a probabilidade, na jogada inicial, de precisar de 0 a 4 dados adicionais para formar um Yahtzee.

Probabilidades do primeiro lançamento de Yahtzee

Necessário	Probabilidade
0	0,000772
1	0,019290
2	0,192901
3	0,694444
4	0,092593

A próxima tabela mostra a probabilidade de melhoria e, consequentemente, de sucesso, de acordo com o número de dados necessários após a primeira jogada. Por exemplo, se o jogador precisar de mais 3 dados para fazer um Yahtzee, a probabilidade de precisar de apenas 2 dados após a segunda jogada e conseguir o Yahtzee na terceira jogada é de 0,010288066.

Probabilidades de Yahtzee após a primeira jogada, de acordo com o número necessário antes e depois da segunda jogada.

Precisa antes de rolar	0	1	2	3	4	Total
0	1	0	0	0	0	1
1	0,166667	0,138889	0	0	0	0,305556
2	0,027778	0,046296	0,01929	0	0	0,093364
3	0,00463	0,011574	0,010288	0,002572	0	0,029064
4	0,000772	0,003215	0,005358	0,003215	0,000071	0,012631

Para obter a resposta final, calcule o produto escalar do número necessário após a primeira rolagem, duas tabelas acima, e a probabilidade de sucesso final na coluna final, uma tabela acima. Isso resulta em 0,092593*0,012631 + 0,694444*0,029064 + 0,192901*0,093364 + 0,019290*0,305556 + 0,000772*1 = 4,6028643%. Para confirmar esse resultado, realizei uma simulação com 100.000.000 de jogos, e a probabilidade simulada foi de 4,60562%.

Entendo geradores de números aleatórios, paradas virtuais e físicas dos rolos. O que não entendo, e não consigo encontrar informação em lugar nenhum, é como o jogo determina o pagamento para os símbolos selecionados. Por exemplo, em um jogo IGT Red, White, and Blue número SS4335, o jackpot máximo, que corresponde aos símbolos Red Seven, White Seven e Blue Seven, está associado às posições virtuais 044, 043 e 044 dos rolos e às paradas físicas 08, 08 e 08, respectivamente. Cada um dos três rolos possui sete símbolos: Red Seven, White Seven, Blue Seven, Red Bars, White Bars, Blue Bars e Blanks. Isso resulta em 343 combinações de símbolos. Sei que o chip SS não contém uma tabela com todas as combinações e pagamentos possíveis. Ele precisa ser indexado de alguma forma. Como a máquina sabe que as paradas 08, 08 e 08 correspondem aos símbolos Red Seven, White Seven e Blue Seven, e como ela sabe quanto pagar? Espero que você possa responder a esta pergunta. Caso não possa, poderia recomendar algum artigo ou livro que possa ajudar?

anônimo

Existe uma tabela de consulta que mapeia os vários números aleatórios para as posições nos cilindros. No entanto, eu não tinha certeza de como eles chegam a determinar o prêmio do jogador. Então, perguntei a um ex-matemático de máquinas caça-níqueis, que pediu para não ser identificado, sobre isso. Eis o que ele disse: "Sua primeira ideia está correta. A posição em cada cilindro é selecionada independentemente pelo gerador de números aleatórios (RNG). O código então examina os símbolos ao longo de cada linha de pagamento apostada para determinar os resultados vencedores. Os prêmios scatter também podem ser determinados dessa forma. TODOS os principais fabricantes de caça-níqueis de vídeo fazem isso. Você pode ver o algoritmo como uma grande série de instruções 'se-então-senão', mas a implementação real pode ser um pouco mais elegante." Espero que isso ajude.

P.S.: Depois da publicação desta coluna, recebi outro e-mail referente a esta questão. É um pouco extenso, então disponibilizo este link .

Primeiramente, obrigado pelo excelente site. Não faz sentido contar cartas se for um único baralho que é embaralhado novamente após cada mão?

anônimo

De nada, obrigado pelo elogio. Ainda há alguma vantagem, especialmente com a mesa cheia. No entanto, sob as regras típicas de um baralho (o dealer pede carta com 17 suave, sem dobrar após dividir), não acho que seja suficiente para superar a vantagem da casa de 0,19%.

Qual a probabilidade de se obter quatro ases no jogo de quatro cartas?

anônimo

1/combin(52,4) = 1 em 270725.

Prezado Mago, poderia, por favor, me explicar como é calculada a vantagem da casa nas apostas de lugar no craps? Por exemplo, como o pagamento de nove para cinco em uma aposta de lugar quatro/dez resulta em uma vantagem da casa de 6,67% quando as probabilidades reais são de dois para um? Não importa como eu faça, não consigo chegar a esse valor de 6,67%. Isso está me deixando louco. Agradeceria muito uma explicação.

Amanda

Prefiro calcular a vantagem da casa como 1 - (pr(ganho) * pagamento - pr(derrota)). Nesse caso, seria 1 - ((1/3) * 1,8 - (2/3)) = 6,67%. No entanto, se você souber o pagamento justo e o pagamento real, uma fórmula conveniente para a vantagem da casa é (fa)/(f+1), onde f = pagamento justo e a = pagamento real. Nesse caso, (2 - 1,8)/(2+1) = 0,2/3 = 6,67%.

Se você estivesse jogando com uma aposta de $50 por partida, qual escolheria entre estes dois jogos de vídeo pôquer (considerando que ambos os jogos têm as mesmas tabelas de pagamento e que você aposta o máximo de 5 moedas por mão): uma partida simples com aposta de $10 ou dez partidas com aposta de $1 por mão? Agradeço sua atenção e consideração.

anônimo

Matematicamente, é claro que ambos têm o mesmo retorno esperado. No entanto, eu jogaria na opção de 10 rodadas porque a volatilidade é menor e acho que é mais divertido.

Obrigado pelo excelente site. Você mencionou recentemente que um jogador de craps dura em média 8,5 lançamentos. Normalmente, aposto no passe com odds completas, seguido de apostas no come com odds completas. Faz mais sentido parar de fazer apostas no come depois de, digamos, quatro lançamentos, considerando a probabilidade a longo prazo de o jogador tirar um 7 em apenas mais três ou quatro lançamentos?

Fred

De nada, obrigado. Os dados não têm memória, então, com quatro lançamentos, você não chega mais perto de tirar um sete. Você poderia rolar 1000 números diferentes de sete e ainda assim não estaria nem mais perto nem mais longe de um sete do que estava no primeiro lançamento. Não existe um número ideal de apostas "come", faça quantas achar mais divertidas.

Qual a probabilidade de jogar 15 rodadas na roleta europeia, cobrindo oito números, e não acertar nenhum?

anônimo

A probabilidade de perder uma rodada é 1-(8/37) = 78,38%. Portanto, a probabilidade de perder 15 rodadas é 0,7838 ¹⁵ = 2,59%.