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Recomendações do Mago

Pergunte ao Mago #15

Gosto muito do seu site. É muito informativo. Obrigado por compartilhar suas ideias. Notei uma estratégia de apostas para craps sugerida no Crappers Delight chamada "regressão clássica". Nela, ele sugere apostar em um 6 e um 8 depois que um ponto for estabelecido. Em seguida, retirar as apostas assim que um deles for acertado. Ele disse que existem 10 maneiras combinadas de fazer o 6 e o 8, mas apenas 6 maneiras combinadas de fazer o 7. Parece lógico, mas já vi que você consegue demonstrar que o que parece lógico à primeira vista não é tão bom assim quando analisado. O que você acha dessa estratégia e quais seriam as probabilidades reais se você retirasse as apostas depois de um acerto?

Michael

Esta pergunta é semelhante a uma que recebi na semana passada . Sim, é verdade que existem dez maneiras de rolar um 6 ou um 8, e seis maneiras de rolar um 7. No entanto, não se deve olhar apenas para as probabilidades, mas sim compará-las com os pagamentos. A aposta Place no 6 e no 8 paga 7 para 6, enquanto as probabilidades justas pagariam 6 para 5. Ao fazer seis apostas Place de uma unidade no 6 e no 8, e retirar a outra se uma delas ganhar, a probabilidade de ganhar 7 unidades é de 62,5% e a probabilidade de perder 12 unidades é de 37,5%. Se o jogador precisar cobrir tanto o 6 quanto o 8, então a aposta Place é a melhor opção. Essa taxa de retorno não é ruim, mas poderia ser melhor. Para o jogador que prioriza minimizar a vantagem da casa, a melhor estratégia é fazer combinações de apostas Pass, Don't Pass, Come e Don't Come, e sempre aceitar as probabilidades máximas permitidas.

Como posso determinar as probabilidades de estar em vantagem em um jogo como o blackjack, sem contagem de cartas, com uma desvantagem de 0,5% após cerca de 45.000 mãos, apostando sempre no mesmo valor (sem contar cartas, sem progressões, etc.)? Isso é sequer possível?

Kevin

Essa é uma pergunta típica que se pode encontrar em uma aula introdutória de estatística. Como a soma de um grande número de variáveis aleatórias sempre se aproxima de uma curva normal, podemos usar o teorema do limite central para obter a resposta.

Na minha seção sobre a vantagem da casa, descobrimos que o desvio padrão no blackjack é de 1,17. Você não entenderá isso se não tiver estudado estatística, mas a probabilidade de estar em desvantagem no seu exemplo será a estatística Z de 45000*0,005/(45000 1/2 *1,17) ≈ 0,91.

Qualquer livro básico de estatística deve ter uma tabela normal padrão que fornecerá a estatística Z de 0,8186. Portanto, a probabilidade de estar em vantagem no seu exemplo é de cerca de 18%.

Eu estava curioso — tenho certeza de que não consigo obter probabilidades melhores do que as da casa — mas queria testar uma abordagem de jogo modesta: o cenário de parar enquanto estiver ganhando. Digamos que eu comece com $1.000. Em qual porcentagem das vezes eu sairei com $1.200, em vez de sair com $0, supondo que eu tenha que parar assim que atingir um dos dois? Um lucro de 20% em vez de um prejuízo de 100% apostando no jogador no bacará.

Brian de Denver, Colorado

Você omitiu duas informações importantes: o valor da sua aposta e em qual jogo. Vou assumir que você está apostando $1 por vez no Jogador no bacará . A probabilidade de o Jogador vencer, considerando que não haja empate, é de 49,3212%.

Seja a <sub>i </sub> a probabilidade de um jogador com $i atingir $1.200 antes de perder tudo. Seja p a probabilidade de ganhar qualquer aposta dada = 49,3212%.

a 0 = 0

a 1 = p*a 2
a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2

.

a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198
a 1200 = 1

Divida o lado esquerdo em duas partes:

p*a 1 + (1-p)*a 1 = p*a 2
p*a 2 + (1-p)*a 2 = p*a 3 + (1-p)*a 1
p*a 3 + (1-p)*a 3 = p*a 4 + (1-p)*a 2
.
.
.
p*a 1197 + (1-p)*a 1197 = p*a 1198 + (1-p)*a 1196
p*a 1198 + (1-p)*a 1198 = p*a 1199 + (1-p)*a 1197
p*a 1199 + (1-p)*a 1199 = p*a 1200 + (1-p)*a 1198

Reorganize com os termos (1-p) à esquerda e os termos p à direita:

(1-p)*(a 1 ) = p*(a 2 - a 1 )
(1-p)*(a 2 - a 1 ) = p*(a 3 - a 2 )
(1-p)*(a 3 - a 2 ) = p*(a 4 - a 3 )
.
.
.
(1-p)*(a 1197 - a 1196 ) = p*(a 1198 - a 1197 )
(1-p)*(a 1198 - a 1197 ) = p*(a 1199 - a 1198 )

Em seguida, multiplique ambos os lados por 1/p:

(1-p)/p*(a 1 ) = (a 2 - a 1 )
(1-p)/p*(a 2 - a 1 ) = (a 3 - a 2 )
(1-p)/p*(a 3 - a 2 ) = (a 4 - a 3 )
.
.
.
(1-p)/p*(a 1197 - a 1196 ) = (a 1198 - a 1197 )
(1-p)/p*(a 1198 - a 1197 ) = (a 1199 - a 1198 )

Próximos cálculos com telescópios:

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 1199 - a 1198 ) = ((1-p)/p) 1198 *(a 1 )
(a 1200 - a 1199 ) = ((1-p)/p) 1199 *(a 1 )

Em seguida, adicione as equações acima:

(a 1200 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

1 = a 1 * (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = 1 / (1 + ((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 1199 )

a 1 = ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1)

Agora que sabemos o valor de 1, podemos encontrar o valor de 1000 :

(a 2 - a 1 ) = (1-p)/p*(a 1 )
(a 3 - a 2 ) = ((1-p)/p) 2 *(a 1 )
(a 4 - a 3 ) = ((1-p)/p) 3 *(a 1 )
.
.
.
(a 999 - a 18 ) = ((1-p)/p) 9998 *(a 1 )
(a 1000 - a 19 ) = ((1-p)/p) 9999 *(a 1 )

Some as equações acima:

(a 1000 - a 1 ) = a 1 * (((1-p)/p) + ((1-p)/p) 2 + ((1-p)/p) 3 + ... + ((1-p)/p) 999 )
a 1000 = a 1 * (((1-p)/p) 1000 - 1)) / ((1-p)/p - 1))
a 1000 = [ ((1-p)/p - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) ] * [ (((1-p)/p) 1000 - 1) / ((1-p)/p - 1) ]
a 1000 = (((1-p)/p) 1000 - 1) / (((1-p)/p) 1200 - 1) =~ 0,004378132.

Com o tempo, em qualquer jogo de azar, a sorte tende a se voltar contra o jogador, e o saldo diminuirá gradualmente. No entanto, apostar quantias maiores aumenta as chances de sucesso. A seguir, apresentamos as probabilidades de ganhar 20% antes de perder 100% para diferentes valores de aposta.

$5: 0,336507
$ 10: 0,564184
$ 25: 0,731927
$ 50: 0,785049
$100: 0.809914

Para mais detalhes sobre a matemática por trás desse tipo de problema, consulte meu site MathProblems.info , problema 116.

Por que as tabelas de estratégia básica de blackjack são elaboradas com a aparente teoria de que o dealer tem um "10" na mão fechada? Quando, na realidade, acredito que as probabilidades são de 9 para 4 contra a presença de um "10" em qualquer mão. Estou perdendo alguma coisa? Seu site é muito interessante. Muito obrigado.

Eddie de New Orleans, Louisiana

Presumir que o dealer tem um 10 na mão fechada é apenas um recurso de memorização, não tem nada a ver com a forma como a estratégia básica foi construída. Não consigo ficar de fora quando ouço um jogador dizer para o outro: "Você sempre presume que o dealer tem um 10 na mão fechada". Se isso fosse verdade, o jogador deveria pedir carta com um 19 contra um 10, o que certamente seria uma jogada irracional.