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Pergunte ao Mago #158
Olá, obrigado por este site tão interessante e informativo. Tenho uma dúvida que espero que vocês possam me ajudar. Como jogador de Texas Hold'em, presto muita atenção aos pares de mão e tenho um interesse particular em 10-10, JJ ou similares, pois à primeira vista parecem fortes, mas podem ser derrotados facilmente. Minha pergunta é: como calcular a probabilidade de haver pelo menos uma pessoa na mesa com um par de mão maior que o seu?
Os cálculos ficam bastante complexos devido à possibilidade de mais de um jogador ter um par superior, incluindo pares do mesmo tipo. Por exemplo, se você tiver um par de reis, dois jogadores podem ter um par de ases. No entanto, é fácil mostrar o número esperado de jogadores que irão te vencer. Isso seria n*r*(6/1225), onde n é o número de oponentes e r é o número de jogadores com par superior. A tabela a seguir mostra o número médio de jogadores que terão um par superior, de acordo com o seu par (coluna da esquerda), dividido pelo número de oponentes (linha superior).
Número esperado de pares de cartas mais altas por número de oponentes
| Par | 1 Oposto. | 2 Oposto. | 3 Oposto. | 4 Opp. | 5 Opp. | 6 Opp. | 7 Opp. | 8 Opp. | 9 Opp. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2,2 | 0,0588 | 0,1176 | 0,1763 | 0,2351 | 0,2939 | 0,3527 | 0,4114 | 0,4702 | 0,529 |
| 3,3 | 0,0539 | 0,1078 | 0,1616 | 0,2155 | 0,2694 | 0,3233 | 0,3771 | 0,431 | 0,4849 |
| 4,4 | 0,049 | 0,098 | 0,1469 | 0,1959 | 0,2449 | 0,2939 | 0,3429 | 0,3918 | 0,4408 |
| 5,5 | 0,0441 | 0,0882 | 0,1322 | 0,1763 | 0,2204 | 0,2645 | 0,3086 | 0,3527 | 0,3967 |
| 6,6 | 0,0392 | 0,0784 | 0,1176 | 0,1567 | 0,1959 | 0,2351 | 0,2743 | 0,3135 | 0,3527 |
| 7,7 | 0,0343 | 0,0686 | 0,1029 | 0,1371 | 0,1714 | 0,2057 | 0,24 | 0,2743 | 0,3086 |
| 8,8 | 0,0294 | 0,0588 | 0,0882 | 0,1176 | 0,1469 | 0,1763 | 0,2057 | 0,2351 | 0,2645 |
| 9,9 | 0,0245 | 0,049 | 0,0735 | 0,098 | 0,1224 | 0,1469 | 0,1714 | 0,1959 | 0,2204 |
| T,T | 0,0196 | 0,0392 | 0,0588 | 0,0784 | 0,098 | 0,1176 | 0,1371 | 0,1567 | 0,1763 |
| J,J | 0,0147 | 0,0294 | 0,0441 | 0,0588 | 0,0735 | 0,0882 | 0,1029 | 0,1176 | 0,1322 |
| Q,Q | 0,0098 | 0,0196 | 0,0294 | 0,0392 | 0,049 | 0,0588 | 0,0686 | 0,0784 | 0,0882 |
| K,K | 0,0049 | 0,0098 | 0,0147 | 0,0196 | 0,0245 | 0,0294 | 0,0343 | 0,0392 | 0,0441 |
Para obter a probabilidade de pelo menos um jogador vencer você, farei a suposição, não totalmente correta, de que o número de jogadores com um par de cartas maior segue uma variável aleatória de Poisson com média na tabela acima. Considerando essa suposição, a probabilidade de pelo menos um jogador vencer você é 1 - e ^(-µ) , onde µ é a média. Por exemplo, se você tiver um par de damas e houver 9 outros jogadores, o número esperado de jogadores com um par de cartas maior é 0,0882, então a probabilidade de pelo menos um jogador ter um par de cartas maior é 1 - e ^(-0,0882) = 8,44%. A tabela abaixo mostra essas probabilidades.
Probabilidade de um par de cartas maior por número de oponentes — Aproximação do Mago
| Par | 1 Oposto. | 2 Oposto. | 3 Oposto. | 4 Opp. | 5 Opp. | 6 Opp. | 7 Opp. | 8 Opp. | 9 Opp. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2,2 | 5,71% | 11,09% | 16,17% | 20,95% | 25,46% | 29,72% | 33,73% | 37,51% | 41,08% |
| 3,3 | 5,25% | 10,22% | 14,92% | 19,39% | 23,62% | 27,62% | 31,42% | 35,02% | 38,42% |
| 4,4 | 4,78% | 9,33% | 13,67% | 17,79% | 21,72% | 25,46% | 29,03% | 32,42% | 35,65% |
| 5,5 | 4,31% | 8,44% | 12,39% | 16,17% | 19,78% | 23,24% | 26,55% | 29,72% | 32,75% |
| 6,6 | 3,84% | 7,54% | 11,09% | 14,51% | 17,79% | 20,95% | 23,99% | 26,91% | 29,72% |
| 7,7 | 3,37% | 6,63% | 9,77% | 12,82% | 15,75% | 18,59% | 21,34% | 23,99% | 26,55% |
| 8,8 | 2,9% | 5,71% | 8,44% | 11,09% | 13,67% | 16,17% | 18,59% | 20,95% | 23,24% |
| 9,9 | 2,42% | 4,78% | 7,08% | 9,33% | 11,52% | 13,67% | 15,75% | 17,79% | 19,78% |
| 10,10 | 1,94% | 3,84% | 5,71% | 7,54% | 9,33% | 11,09% | 12,82% | 14,51% | 16,17% |
| J,J | 1,46% | 2,9% | 4,31% | 5,71% | 7,08% | 8,44% | 9,77% | 11,09% | 12,39% |
| Q,Q | 0,97% | 1,94% | 2,9% | 3,84% | 4,78% | 5,71% | 6,63% | 7,54% | 8,44% |
| K,K | 0,49% | 0,97% | 1,46% | 1,94% | 2,42% | 2,9% | 3,37% | 3,84% | 4,31% |
Portanto, minha aproximação da probabilidade de pelo menos um par de bolsos superior é 1-e -n*r*(6/1225) .
PS: Depois da publicação desta coluna, um dos meus fãs, Larry B., escreveu um programa combinatório de força bruta para resolver este problema. Aqui estão os resultados dele.
Probabilidade de um par de cartas maior por número de oponentes — Probabilidades exatas de Larry B.
| Par | 1 Oposto. | 2 Oposto. | 3 Oposto. | 4 Opp. | 5 Opp. | 6 Opp. | 7 Opp. | 8 Opp. | 9 Opp. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2,2 | 5,88% | 11,41% | 16,61% | 21,5% | 26,1% | 30,43% | 34,5% | 38,33% | 41,94% |
| 3,3 | 5,39% | 10,48% | 15,3% | 19,87% | 24,18% | 28,26% | 32,12% | 35,77% | 39,22% |
| 4,4 | 4,9% | 9,56% | 13,99% | 18,2% | 22,21% | 26,03% | 29,66% | 33,12% | 36,4% |
| 5,5 | 4,41% | 8,62% | 12,66% | 16,52% | 20,21% | 23,73% | 27,11% | 30,35% | 33,45% |
| 6,6 | 3,92% | 7,69% | 11,31% | 14,8% | 18,15% | 21,38% | 24,48% | 27,47% | 30,34% |
| 7,7 | 3,43% | 6,74% | 9,95% | 13,05% | 16,05% | 18,95% | 21,76% | 24,47% | 27,09% |
| 8,8 | 2,94% | 5,8% | 8,58% | 11,28% | 13,91% | 16,46% | 18,95% | 21,36% | 23,71% |
| 9,9 | 2,45% | 4,84% | 7,19% | 9,47% | 11,71% | 13,9% | 16,04% | 18,13% | 20,17% |
| T,T | 1,96% | 3,89% | 5,78% | 7,64% | 9,47% | 11,27% | 13,04% | 14,77% | 16,48% |
| J,J | 1,47% | 2,92% | 4,36% | 5,78% | 7,18% | 8,57% | 9,93% | 11,29% | 12,63% |
| Q,Q | 0,98% | 1,95% | 2,92% | 3,88% | 4,84% | 5,79% | 6,73% | 7,67% | 8,6% |
| K,K | 0,49% | 0,98% | 1,47% | 1,96% | 2,44% | 2,93% | 3,42% | 3,91% | 4,39% |
Mais tarde, Stephen Z. sugeriu uma aproximação simples. Pegue o número de pares maiores, multiplique pelo número de outros jogadores e divida por 2. Essa é a probabilidade percentual de haver pelo menos um par maior. Por exemplo, com um par de valetes em um jogo de 10 jogadores, a probabilidade de um par maior é 3 * 9 / 2 = 13,5%. Usando essa fórmula, você obtém o seguinte para todas as situações.
Probabilidade de um par de cartas mais alto por número de oponentes — Aproximação de Stephen Z.
| Par | 1 Oposto. | 2 Oposto. | 3 Oposto. | 4 Opp. | 5 Opp. | 6 Opp. | 7 Opp. | 8 Opp. | 9 Opp. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2,2 | 6% | 12% | 18% | 24% | 30% | 36% | 42% | 48% | 54% |
| 3,3 | 5,5% | 11% | 16,5% | 22% | 27,5% | 33% | 38,5% | 44% | 49,5% |
| 4,4 | 5% | 10% | 15% | 20% | 25% | 30% | 35% | 40% | 45% |
| 5,5 | 4,5% | 9% | 13,5% | 18% | 22,5% | 27% | 31,5% | 36% | 40,5% |
| 6,6 | 4% | 8% | 12% | 16% | 20% | 24% | 28% | 32% | 36% |
| 7,7 | 3,5% | 7% | 10,5% | 14% | 17,5% | 21% | 24,5% | 28% | 31,5% |
| 8,8 | 3% | 6% | 9% | 12% | 15% | 18% | 21% | 24% | 27% |
| 9,9 | 2,5% | 5% | 7,5% | 10% | 12,5% | 15% | 17,5% | 20% | 22,5% |
| T,T | 2% | 4% | 6% | 8% | 10% | 12% | 14% | 16% | 18% |
| J,J | 1,5% | 3% | 4,5% | 6% | 7,5% | 9% | 10,5% | 12% | 13,5% |
| Q,Q | 1% | 2% | 3% | 4% | 5% | 6% | 7% | 8% | 9% |
| K,K | 0,5% | 1% | 1,5% | 2% | 2,5% | 3% | 3,5% | 4% | 4,5% |
Parabéns pelo excelente site. Entendo perfeitamente sua indignação com a diferença entre os pagamentos de 6 para 5 no Blackjack, mas estou muito curioso para saber por que os americanos parecem aceitar o 00 na Roleta sem questionar. Essa Roleta é quase criminosa e deveria ser classificada no mesmo nível do Keno e das máquinas caça-níqueis.
Obrigado. Você tem razão. A vantagem da casa no blackjack 6 para 5 é de 1,44% pelas regras normais, enquanto na roleta com duplo zero é de 5,26%. Isso é 3,7 vezes pior. No entanto, aprendi ao longo dos anos que é quase impossível fazer com que os jogadores abandonem um jogo de que gostam, independentemente da vantagem da casa. Então, o melhor que posso fazer é aconselhá-los sobre como jogar o jogo de sua preferência. Para os jogadores de blackjack, ainda há muitas opções de jogos 3 para 2 disponíveis. Jogar 6 para 5 dá ao cassino uma vantagem extra de 0,8% sem motivo algum. Também enfatizo a importância de procurar roleta com um único zero se você for um jogador de roleta. Portanto, não vejo nenhuma inconsistência.
É necessário revelar as cartas se você pagar uma aposta total de um jogador? Já vi isso acontecer várias vezes na televisão, mas posso simplesmente esperar até o final da mão?
Segundo diversas fontes, revelar as cartas é obrigatório em jogos de torneio, mas opcional em jogos a dinheiro.
Estarei em Las Vegas no próximo mês durante o March Madness. Provavelmente levarei alguns milhares de dólares comigo, parte do meu próprio dinheiro e parte para alguns amigos para quem farei apostas nos jogos da NCAA. Não tenho certeza se me sinto confortável carregando essa quantia em dinheiro vivo. Seria possível obter um cartão pré-pago para cassino com alguns milhares de dólares ou eles são normalmente emitidos apenas para grandes apostadores? E posso usá-lo em jogos que não sejam de mesa, como apostas esportivas? Existem custos ou problemas associados à obtenção de um cartão pré-pago (além de ter minhas informações bancárias pessoais em outro banco de dados)? Obrigado pelo excelente site e pelo seu tempo.
Jogadores na sua faixa de preço certamente usam marcadores. Você deve tentar estabelecer um bom relacionamento de crédito com o cassino antes de ir. Como alternativa, você pode transferir dinheiro para o cassino, assim não precisará passar por uma análise de crédito. De qualquer forma, faça isso com pelo menos uma semana de antecedência. O uso de marcadores e transferências bancárias é muito comum em cassinos e, pelo que ouço, o processo geralmente ocorre sem problemas.
Ouvi dizer que os cassinos estão estudando o uso de RFID em fichas para acelerar a contagem, reduzir erros e combater falsificações. O uso dessa nova tecnologia eliminará a possibilidade de usar fichas acidentalmente guardadas em um cassino em outro? Obrigado pelo site e pelo seu tempo.
Para quem não sabe, RFID significa Identificação por Radiofrequência. Não sou especialista no assunto, mas entendo que essa tecnologia será usada para rastrear os padrões de apostas dos jogadores, o que ajudará tanto na distribuição de benefícios quanto na identificação de contadores de cartas. No entanto, a falsificação de fichas parece ser um problema crescente, e isso pode ser outra vantagem. Atualmente, os cassinos gostam quando os clientes saem com fichas e não as trocam por dinheiro. É por isso que criam tantas fichas para ocasiões especiais, na esperança de que colecionadores as guardem. Novamente, não sou especialista, mas não acho que seria economicamente viável criar essas fichas se o custo fosse maior que o valor nominal. Portanto, acredito que você estará seguro guardando suas fichas.
Estou com meu namorado há 2 anos e 8 meses, estamos bem, conversamos sobre o nosso futuro e como queremos passá-lo juntos, mas ultimamente ele tem agido de forma diferente e hoje eu o questionei sobre uma amiga minha. Ela disse que ele conversou com ela, bem, nós sempre contamos um ao outro quando conversamos com alguém do sexo oposto, mas por algum motivo, acho que ele não conversou. Quando perguntei a ele sobre isso, ele simplesmente disse que não falou com ela e ficou muito bravo e na defensiva. O que está acontecendo com ele?
Ele provavelmente está cansado dessa política de ter que te contar sempre que conversa com alguém do sexo oposto. Se vocês não conseguem confiar um no outro para ter uma conversa inocente com alguém do sexo oposto, então o relacionamento está fadado ao fracasso. Por isso, não o culpo por ficar bravo e na defensiva. Acho que você está transformando um probleminha em um problemão por causa disso. Meu conselho é: deixe isso para lá e abandone essa regra ridícula de confissão também.
Na NBA, cada conferência possui três divisões, e oito times por conferência se classificam para os playoffs. Os três primeiros colocados de cada conferência são os campeões de suas respectivas divisões, e os times classificados entre o 4º e o 8º lugar são aqueles que não são campeões de suas divisões e possuem as melhores campanhas. Este ano, dois times da mesma divisão na Conferência Oeste, o San Antonio Spurs e o Dallas Mavericks, têm as melhores campanhas do Oeste. Se essa situação se mantiver, significa que o segundo melhor time da Conferência Oeste ficará com a quarta posição e terá que enfrentar o melhor time da divisão na segunda rodada, caso ambos vençam. Muitos apontam isso como um problema do sistema, enquanto a NBA considera uma anomalia. Na tentativa de explicar que não se trata de uma anomalia, pois poderia acontecer com frequência, um analista da ESPN afirmou recentemente em um blog: "Há 15 times em cada conferência e cinco times em cada uma das três divisões. Isso significa que há uma chance de 4 em 14 de que o time com a segunda melhor campanha seja da mesma divisão que o time com a melhor campanha." Ele está correto ao afirmar que há uma chance de 4 em 14 de isso acontecer em uma conferência específica? Como você chegaria a essa conclusão? Se ele estiver correto, isso aconteceria em pelo menos uma das conferências em 57% das vezes, certo?
Sim, ele está certo. Existem combin(15,2)=105 maneiras de escolher as duas melhores equipes dentre 15. Existem 3* combin (5,3)=30 maneiras de escolhê-las da mesma divisão. Portanto, a probabilidade de as duas melhores equipes serem da mesma divisão é 30/105 = 4/14. A probabilidade de isso acontecer em pelo menos uma conferência é 1-(10/14) 2 = 48,98%.
Um leitor escreveu para expressar seus comentários sobre as suposições que fiz em minha resposta. Aqui está um link para o comentário dele.
No apêndice 10 do blackjack, você explica como as máquinas CSM na verdade diminuem a vantagem da casa, afirmando que, devido à forma como as pessoas jogam o jogo básico, há uma tendência de mais cartas de valor "10" serem compradas. Jogando apenas o básico, sem contar cartas, isso não significaria que, quanto mais perto do final do baralho/sapata, piores seriam as chances, já que haveria uma tendência de os 10 já terem sido retirados, deixando mais cartas de valor menor no final?
Não há um momento específico para esperar as cartas baixas. A última mão em um jogo com carta de corte tem praticamente as mesmas probabilidades que o baralho todo. No entanto, se o crupiê distribuir muito mais mãos do que a média em um jogo com carta de corte, as últimas mãos tendem a ser muito ruins para o jogador. Isso ocorre porque, nas primeiras mãos, os jogadores e o crupiê não pediram muitas cartas, o que, por sua vez, resultou na distribuição de muitas cartas altas, deixando mais cartas baixas para as mãos finais. Portanto, se você perceber que já passou da média de mãos e a carta de corte ainda está longe, provavelmente o baralho está com muitas cartas baixas e seria um bom momento para desistir da aposta ou sair do jogo. Contudo, com outros jogadores entrando e saindo da partida, e com a distribuição inconsistente da carta de corte, a praticidade dessa estratégia é muito pequena.
Terminei recentemente meu relacionamento de 5 anos com meu namorado, pois descobri que ele estava me traindo com uma "amiga". Depois do término, descobri que estou grávida. Por causa dessa nova "amiga", ele não quer ter nada a ver com nosso filho e se recusa a reconhecer minha gravidez. Gostaria que nosso filho conhecesse a família dele. Posso contar para a família dele que estou grávida?
Pela sua versão, esse cara parece um verdadeiro vagabundo. Família é muito mais do que DNA. Se ele não está disposto a assumir suas responsabilidades, então ele não passa de um doador de esperma. Se ele não se importa, o resto da família provavelmente também não se importará. No entanto, ele é obrigado a ajudar a sustentar o filho, e eu o cobraria disso. Se você insistir para que o tribunal faça um teste de paternidade, a família dele vai descobrir de qualquer maneira. Por enquanto, eu acalmaria as coisas e não daria nenhuma informação sem ser solicitada. Envolver outras pessoas nisso só pode aumentar a tensão.