Adendo à coluna 158 do Pergunte ao Mago

Na NBA, cada conferência possui 3 divisões, e 8 times por conferência se classificam para os playoffs. Os 3 melhores colocados de cada conferência são os respectivos campeões de divisão, e os times classificados entre o 4º e o 8º lugar são aqueles que não são campeões de divisão e possuem as melhores campanhas. Este ano, dois times da mesma divisão na Conferência Oeste, o San Antonio Spurs e o Dallas Mavericks, têm as melhores campanhas do Oeste. Se essa situação se mantiver, significa que o segundo melhor time da Conferência Oeste ficará com a quarta posição e terá que enfrentar o melhor time da divisão na segunda rodada, caso ambos vençam. Muitos apontam isso como um problema do sistema, enquanto a NBA considera uma anomalia. Na tentativa de explicar que não se trata de uma anomalia, pois poderia acontecer com frequência, um analista da ESPN afirmou recentemente em um blog: "Há 15 times em cada conferência e cinco times em cada uma das três divisões. Isso significa que há uma chance de 4 em 14 de que o time com a segunda melhor campanha seja da mesma divisão que o time com a melhor campanha." Ele está correto ao afirmar que há uma chance de 4 em 14 de isso acontecer em uma conferência específica? Como você chegaria a essa conclusão? Se ele estiver correto, isso aconteceria em pelo menos uma das conferências em 57% das vezes, certo? — AJ de Huntington Woods, MI

Sim, ele está certo. Existem combin(15,2)=105 maneiras de escolher as duas melhores equipes dentre 15. Existem 3* combin (5,3)=30 maneiras de escolhê-las da mesma divisão. Portanto, a probabilidade de as duas melhores equipes serem da mesma divisão é 30/105 = 4/14. A probabilidade de isso acontecer em pelo menos uma conferência é 1-(10/14) ² = 48,98%.

Um leitor me escreveu com críticas às minhas suposições. Aqui está o e-mail dele, na íntegra .

Olá Mago,

Sou um grande fã do seu site – ele tem muita informação ótima. Ao navegar por algumas das suas páginas antigas de "Pergunte ao Mago", me deparei com uma pergunta que, na minha opinião, foi respondida de forma simplista demais. Há mais coisas a se considerar além da informação usada para resolver o problema. Acho que a resposta que você deu é um pouco mais complexa do que a resposta correta.

A pergunta está na coluna "Pergunte ao Mago" nº 158 e diz respeito à classificação dos times da NBA. A afirmação é que os dois melhores times de uma conferência serão da mesma divisão 4 vezes em 14 jogos. A resposta que você deu parece partir do pressuposto de que cada time tem a mesma probabilidade de terminar em qualquer posição na classificação final da conferência. Embora isso possa ser verdade e seja uma suposição segura para o problema, parece que você assume que cada time dessa lista tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma das 3 divisões. Eu não acredito que seja exatamente esse o caso, e acredito que o motivo seja a forma como a classificação é feita. Ou seja, os jogos são disputados, os pontos são atribuídos e a posição de cada time não é independente da posição dos outros times, nem da divisão em que está.

Não costumo ser bom em explicar as coisas, mas vou tentar explicar o porquê aqui. Acredito que a classificação final é influenciada pelo fato de as equipes jogarem um calendário ligeiramente desequilibrado. Cada equipe joga 16 partidas contra times da sua própria divisão — 4 contra cada time. Mas cada equipe joga apenas 36 partidas contra os outros times da sua conferência — 4 contra 6 times e apenas 3 contra 4 times. Isso faz com que as equipes lutem por pontos contra times da sua própria divisão com mais frequência do que contra times de outras divisões. Como resultado, o time que termina em primeiro lugar na conferência geralmente chega lá somando mais pontos contra times da sua própria divisão do que contra os outros dois vencedores de divisão. Isso significa que o segundo colocado da divisão do vencedor da conferência teve mais dificuldade em acumular pontos e, consequentemente, tem menos chances de terminar em segundo lugar na conferência.

Sei que essa discrepância seria minúscula, e não tenho ideia de como quantificá-la, mas acredito que uma simulação computacional poderia ser escrita (algo muito além das minhas capacidades) para descobrir qual efeito isso poderia ter.

Para tornar isso ainda mais evidente, a NHL utiliza um calendário ainda mais desequilibrado. Cada equipe joga as mesmas 82 partidas que na NBA. Mas cada equipe joga 32 partidas em sua própria divisão — 8 contra cada uma das outras 4 equipes. Depois, joga 40 partidas contra adversários da mesma conferência — 4 contra cada uma das outras 10 equipes da conferência.Assim, neste caso, a equipe líder de uma determinada divisão pode estar tirando muito mais pontos da equipe que ocupa a segunda posição nessa divisão, tornando mais difícil para essa segunda equipe terminar com a segunda maior pontuação geral da conferência.

Finalmente, para dar um exemplo que torne tudo muito mais claro, vamos considerar uma conferência com apenas 4 times — 2 divisões com 2 times cada. Usando a lógica que você usou para chegar à resposta da pergunta original sobre a NBA, a probabilidade de os dois melhores times serem da mesma divisão deve ser de 1 em 3.

Se utilizarmos um calendário equilibrado, digamos que cada equipe enfrente todas as outras uma vez. Se ponderarmos adequadamente os empates na classificação, uma simulação computacional mostra que as duas melhores equipes serão da mesma divisão em 33,33% das vezes, como esperado.

No entanto, se mantivermos um calendário desequilibrado, as coisas mudarão. Digamos que cada equipe jogue duas vezes contra a outra equipe de sua própria divisão, mas apenas uma vez contra cada equipe da divisão oposta. E suponhamos que os dois jogos contra o adversário da mesma divisão aconteçam primeiro. Assim, após cada equipe ter jogado duas partidas, ficará claro que a equipe que estiver em segundo lugar em qualquer uma das divisões estará empatada ou atrás da equipe que estiver em primeiro lugar na divisão oposta. Portanto, terá muito mais dificuldade em recuperar as vitórias nos dois últimos jogos para ultrapassar as equipes necessárias e subir para o segundo lugar geral na conferência. Uma rápida simulação computacional dessas condições, usando esse calendário, mostra que as duas melhores equipes serão da mesma divisão em apenas 27,07% das vezes. Uma redução de cerca de 6,26%.

Bem, isso se aplica apenas a uma conferência com 4 times e um calendário de 4 jogos, onde a proporção de jogos dentro da divisão para jogos entre divisões diferentes é de 2:1. Se ampliarmos para uma conferência com 15 times e um calendário de 82 jogos, onde a proporção de jogos dentro da divisão para jogos entre divisões diferentes é muito mais próxima de 4:3,6, como mencionei antes, eu esperaria que o desvio desse número de 4/14 que você encontrou fosse mínimo. Provavelmente seria bem abaixo de 1% por uma margem muito grande, eu diria. Mas ainda assim existiria, então a resposta não pode ser estritamente 4/14.

Enfim, só queria mencionar isso e também agradecer por me proporcionar um problema interessante para refletir e exercitar minha mente.

Cumprimentos,
Jonathan Bradford