Pergunte ao Mago #261

Para ajudar a responder a essa pergunta, elaborei um gráfico com a média de pontos marcados por semana na NFL, com base em todas as temporadas de 1983 a 2009. O gráfico a seguir mostra os resultados.

Como você pode ver, a linha oscila bastante. A linha preta fina é a linha de melhor ajuste por mínimos quadrados, que mostra uma tendência geral de alta. Portanto, conforme as estações avançam e as temperaturas caem, a média de pontos marcados aumenta ligeiramente, mas isso pode ser facilmente uma variação aleatória.

Isso é o máximo que posso dizer. Para uma opinião geral sobre como o clima afeta as apostas esportivas, recorri ao meu amigo Jason Been, que é especialista no assunto. Eis o que ele disse:

Na maioria dos casos, o vento é o principal fator climático que afeta um jogo; porém, não é o único. No beisebol e em outros esportes ao ar livre, as sombras podem ter um impacto semelhante, especialmente durante os jogos vespertinos do início e do fim da temporada. Chuva ou neve não são fatores tão relevantes no futebol americano quanto a maioria das pessoas pensa, pois geralmente afetam o ataque e a defesa igualmente. Um exemplo seria um defensor contra um recebedor. A chuva e a neve os atrasariam igualmente, não dando vantagem a nenhum dos lados. O vento pode simplesmente eliminar o jogo aéreo no futebol americano, assim como os chutes. Já vi jogos em que um time que priorizava o passe foi forçado a correr com a bola em quase todas as jogadas devido a um forte vento lateral. Não acontece com frequência, mas ocasionalmente o vento é o fator decisivo em uma partida.

Perguntei a um ex-gerente de jogos de mesa de Las Vegas sobre isso. Ele disse que a parte da aposta de odds que excedesse o múltiplo permitido da aposta de linha seria paga com as odds da aposta de lugar. Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site parceiro, Wizard of Vegas .

Com base nas temporadas da NFL de 2000 a 2009, a resposta é 57%.

Este enigma é discutido no programa da BBC "Quite Interesting" . Desça 100 linhas para ver a resposta e a solução.

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Aqui estão as minhas probabilidades de A vencer de acordo com cada alvo inicial. Como você pode ver, a probabilidade de A vencer é maximizada atirando deliberadamente para o ar.

Para a solução, vamos usar a notação Pr(X) para denotar a probabilidade de o grupo X, e somente o grupo X, permanecer após uma rodada. Vamos usar a terminologia Pr(X*) para denotar a probabilidade de o grupo X eventualmente vencer a rodada, após repetições até que o estado do jogo mude devido a alguém ser atingido. Seja Pr(X**) a probabilidade de o jogador X ser o único sobrevivente. Para encontrar as probabilidades finais, vamos analisar primeiro os estados com dois jogadores. É óbvio que cada um atirará no outro.

A vs. B

• Pr(A) = 0,1
  
• Pr(B) = 0,9 × 0,6 = 0,54
  
• Pr(AB) = 0,9 × 0,4 = 0,36

Se ambos sobreviverem, o processo se repetirá até que reste apenas um sobrevivente. Portanto, as probabilidades de ser o último sobrevivente são:

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AB)) = 0,1/0,64 = 0,15625
  
• Pr(B*) = Pr(B)/(1-Pr(AB)) = 0,54/0,64 = 0,84375

A vs. C

• Pr(A) = 0,1
  
• Pr(C) = 0,9×0,9 = 0,81
  
• Pr(AC) = 0,9×0,1 = 0,09

Se ambos sobreviverem, o processo se repetirá até que reste apenas um sobrevivente. Portanto, as probabilidades de ser o último sobrevivente são:

• Pr(A*) = Pr(A)/(1-Pr(AC)) = 0,1/0,91 = 0,10989011
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(AC)) = 0,81/0,91= 0,89010989

B vs. C

• Pr(B) = 0,6
  
• Pr(C) = 0,4 × 0,9 = 0,36
  
• Pr(BC) = 0,$×0,1 = 0,04

Se ambos sobreviverem, o processo se repetirá até que reste apenas um sobrevivente. Portanto, as probabilidades de ser o último sobrevivente são:

• Pr(B*) = Pr(A)/(1-Pr(BC)) = 0,6/0,96 = 0,625
  
• Pr(C*) = Pr(B)/(1-Pr(BC)) = 0,36/0,96= 0,375

Agora estamos prontos para analisar o caso com três jogadores. Vamos considerar a situação em que A tem como alvo B.

Três jogadores — A mira em B

Se A atingir B, então C certamente sobreviverá e poderá ou não atingir A. Portanto, dois resultados possíveis de atingir B são AC e C. Se A errar B, então B mirará na ameaça maior, C. Se B atingir C, então A e B sobreviverão. Se B errar C, então C mirará na ameaça maior, B. Se C errar B, então todos os três sobreviverão. Se C atingir B, então A e C sobreviverão. Portanto, os resultados possíveis são C, AB, AC e ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0.
• Pr(C) = 0,1 × 0,9 = 0,09. Isso é alcançado por A atingindo B e, em seguida, C atingindo A.
• Pr(AB) = 0,9 × 0,6 = 0,54. Isso é conseguido por A não atingir B e, em seguida, B atingir C.
• Pr(AC) = 0,1 × 0,1 + 0,9 × 0,4 × 0,9 = 0,334. Isso pode ser alcançado de duas maneiras. A primeira é A acertando B e, em seguida, C errando A. A segunda é A errando B, B errando C e, em seguida, C acertando B.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,9 × 0,4 × 0,1 = 0,036. Isso é alcançado por todos os três elementos faltantes.

Pela mesma lógica dos casos de dois jogadores, podemos dividir cada resultado por (1-Pr(ABC))=0,964 para encontrar as probabilidades de cada estado, assumindo que o estado do jogo mudou após a rodada.

• Pr(C*) = 0,09/0,964 = 0,093361.
  
• Pr(AB*) = 0,54/0,964 = 0,560166.
  
• Pr(AC*) = 0,334/0,964 = 0,346473.

Nos casos com dois jogadores, sabemos que se restarem apenas A e B, A vencerá com probabilidade de 0,15625 e B com probabilidade de 0,84375. Se restarem apenas A e C, A vencerá com probabilidade de 0,109890 e C com probabilidade de 0,890110.

• Pr(A**) = (0,560165975 × 0,15625) + (0,346473029 × 0,10989011) = 0,125600. A pode ser o vencedor de duas maneiras: (1) chegando ao estado AB e então vencendo, ou (2) chegando ao estado AC e então vencendo.
• Pr(B**) = 0,560166 × 0,84375 = 0,472640. B será o vencedor se chegar ao estado AB, e então B vence.
• Pr(C**) = 0,093361 + (0,346473 × 0,890110) = 0,401760. C pode vencer se A matar B e depois C matar A na primeira rodada, ou se chegar ao estado AC e então C vencer.

Assim, se a estratégia de A for atacar B primeiro, sua probabilidade de ser o único sobrevivente é de 12,56%.

Três jogadores — A mira em C

Se A atingir C, então B certamente sobreviverá e poderá ou não atingir A. Portanto, dois resultados possíveis ao atingir C são AB e B. Se A errar C, então B mirará na ameaça maior, C. Se B atingir C, então A e B sobreviverão. Se B errar C, então C mirará na ameaça maior, B. Se C errar B, então os três sobreviverão. Se C atingir B, então A e C sobreviverão. Assim, os resultados possíveis são B, AB, AC e ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0,1 × 0,6 = 0,06.
• Pr(C) = 0.
• Pr(AB) = (0,1 × 0,4) + (0,9 × 0,6) = 0,04 + 0,54 = 0,58. Isso pode ser obtido de duas maneiras.A primeira situação é A acertando C e, em seguida, B errando A. A segunda situação é A errando B e, em seguida, B acertando C.
• Pr(AC) = 0,9 × 0,4 × 0,9 = 0,324. Isso é alcançado por A errando C, B errando C e C atingindo B.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,9 × 0,4 × 0,1 = 0,036. Isso é alcançado por todos os três elementos faltantes.

Pela mesma lógica dos casos de dois jogadores, podemos dividir cada resultado por (1-Pr(ABC))=0,964 para encontrar as probabilidades de cada estado, assumindo que o estado do jogo mudou após a rodada.

• Pr(B*) = 0,06/0,964 = 0,062241.
  
• Pr(AB*) = 0,58/0,964 = 0,601660.
  
• Pr(AC*) = 0,324/0,964 = 0,336100.

Seguindo a mesma lógica da solução para o caso A visa B:

• Pr(A**) = (0,601660 × 0,15625) + (0,336100 × 0,10989011) = 0,130943.
• Pr(B**) = 0,062241 + 0,601660 × 0,84375 = 0,569891.
• Pr(C**) = 0,336100 × 0,890110 = 0,299166.

Assim, se a estratégia de A for atacar C primeiro, sua probabilidade de ser o único sobrevivente é de 13,09%.

Três jogadores — A erra deliberadamente

Após A errar deliberadamente o alvo, B mirará na ameaça maior, C. Se B acertar C, A e B sobreviverão. Se B errar C, C mirará na ameaça maior, B. Se C errar B, os três sobreviverão. Se C acertar B, A e C sobreviverão. Portanto, os resultados possíveis são AB, AC e ABC.

• Pr(A) = 0.
• Pr(B) = 0.
• Pr(C) = 0.
• Pr(AB) = 0,6. Isso é conseguido quando B atinge C.
• Pr(AC) = 0,4 × 0,9 = 0,36. Isso é conseguido por B errar C e então C atingir B.
• Pr(BC) = 0.
• Pr(ABC) = 0,4 × 0,1 = 0,04. Isso é alcançado por todos os três elementos ausentes.

Pela mesma lógica dos casos de dois jogadores, podemos dividir cada resultado por (1-Pr(ABC))=0,96 para encontrar as probabilidades de cada estado, assumindo que o estado do jogo mudou após a rodada.

• Pr(AB*) = 0,6/0,96 = 0,625.
  
• Pr(AC*) = 0,36/0,96 = 0,375.

Seguindo a mesma lógica da solução para o caso A visa B:

• Pr(A**) = (0,625 × 0,15625) + (0,375 × 0,109890) = 0,138865.
• Pr(B**) = 0,625 × 0,84375 = 0,527344.
• Pr(C**) = 0,375 × 0,890110 = 0,333791.

Assim, se a estratégia de A for atacar C primeiro, sua probabilidade de ser o único sobrevivente é de 13,89%.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .