Pergunte ao Mago #278

Para os pontos de 4 a 6: ((7-p)/(5+p))*(1/(1+o))

Para pontos de 8 a 10: ((p-7)/(19-p))*(1/(1+o))

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

A probabilidade de pelo menos um safety por jogo é de 5,77%, com base na experiência histórica.

O número esperado de safeties por jogo seria -ln(1-0,0577) = 0,0594.

O número esperado por trimestre por equipe seria de 0,0594/8 = 0,0074.

A probabilidade de exatamente dois safeties da mesma equipe em um único quarto seria e ^-0,0074 ×0,0074 ² /fact(2) = 1 em 36.505.

Em uma temporada da NFL, há 267 jogos e 267 × 8 = 2.136 quartos de equipe. Portanto, de acordo com minha estimativa, isso ocorrerá em média uma vez a cada 36.505/2.136 = 17,1 anos.

Isso deve ser considerado apenas um palpite aproximado. Existem fatores no jogo que não estou levando em conta, em prol da simplicidade.

O fato de uma rolagem ser considerada válida ou não depende do local. O regulamento de jogos de Nova Jersey 19:47-1.9(a) afirma:

Um lançamento de dados será inválido sempre que um ou ambos os dados saírem da mesa ou sempre que um dado parar sobre o outro. -- NJ 19:47-1.9(a)

A Pensilvânia possui exatamente a mesma regulamentação, Seção 537.9(a) :

Um lançamento de dados será inválido sempre que um ou ambos os dados saírem da mesa ou sempre que um dado parar sobre o outro. -- PA 537.9(a)

Perguntei a um crupiê de dados de Las Vegas, que me disse que lá seria considerado um lançamento válido, desde que fosse um lançamento correto. Embora ele nunca tenha visto isso acontecer, disse que, se acontecesse, os crupiês simplesmente moveriam o dado de cima para ver em que número o dado de baixo pararia. No entanto, é possível determinar o resultado do dado de baixo sem tocar ou olhar através do dado de cima. Veja como fazer. Primeiro, observando os quatro lados, você pode reduzir as possibilidades do dado de cima a duas. Veja como determinar o resultado com base nessas três possibilidades.

• 1 ou 6: Procure o 3. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 5, o 1 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 2, o 6 está em cima.
• 2 ou 5: Procure o 3. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 6, o 2 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 1, o 5 está em cima.
• 3 ou 4: Procure o 2. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 6, o 3 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 1, o 4 está em cima.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Esta pergunta foi feita no TwoPlusTwo.com e respondida corretamente por BruceZ . A solução a seguir utiliza o mesmo método que BruceZ, a quem todo o crédito é devido. É uma resposta complexa, portanto, preste atenção.

1. Primeiro, considere o número esperado de lançamentos para obter um total de dois. A probabilidade de sair um dois é de 1/36, então seriam necessários, em média, 36 lançamentos para obter os primeiros 2.

2. Em seguida, considere o número esperado de lançamentos para obter um dois e um três. Já sabemos que serão necessários, em média, 36 lançamentos para obter o dois. Se o três for obtido enquanto se espera pelo dois, não serão necessários lançamentos adicionais para obtê-lo. No entanto, caso contrário, os dados precisarão ser lançados mais vezes para se obter o três.

   A probabilidade de sair um três é 1/18, então seriam necessárias, em média, 18 jogadas adicionais para obter o três, caso o dois saísse primeiro. Dado que há 1 maneira de sair o dois e 2 maneiras de sair o três, a probabilidade de o dois sair primeiro é 1/(1+2) = 1/3.

   Portanto, há 1/3 de chance de precisarmos das 18 jogadas extras para conseguirmos o três. Assim, o número esperado de jogadas para conseguirmos um dois e um três é 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Em seguida, considere quantas jogadas a mais você precisará para tirar um quatro. Se, ao jogar o dois e o três, você ainda não tiver tirado um quatro, precisará jogar os dados mais 12 vezes, em média, para conseguir um. Isso ocorre porque a probabilidade de sair um quatro é de 1/12.

   Qual é a probabilidade de obter o quatro antes de obter o dois e o três? Primeiro, vamos revisar uma regra comum de probabilidade para quando A e B não são mutuamente exclusivos:

   pr(A ou B) = pr(A) + pr(B) - pr(A e B)

   Você subtrai pr(A e B) porque essa contingência é contada duas vezes em pr(A) + pr(B). Portanto,

   pr(4 antes de 2 ou 3) = pr(4 antes de 2) + pr(4 antes de 3) - pr(4 antes de 2 e 3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0,85.

   A probabilidade de não obter o quatro no caminho para o dois e o três é 1,0 - 0,85 = 0,15. Portanto, há 15% de chance de precisar das 12 jogadas extras. Assim, o número esperado de jogadas para obter um dois, um três e um quatro é 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Em seguida, considere quantas jogadas a mais você precisará para tirar um cinco. Se, ao jogar os dados de dois a quatro, você ainda não tiver tirado um cinco, precisará jogar os dados mais 9 vezes, em média, para conseguir um, pois a probabilidade de sair um cinco é 4/36 = 1/9.

   Qual a probabilidade de se obter o cinco antes de se obter o dois, o três ou o quatro? A regra geral é:

   pr(A ou B ou C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A e B) - pr(A e C) - pr(B e C) + pr(A, B e C)

   Portanto, pr(5 antes de 2 ou 3 ou 4) = pr(5 antes de 2) + pr(5 antes de 3) + pr(5 antes de 4) - pr(5 antes de 2 e 3) - pr(5 antes de 2 e 4) - pr(5 antes de 3 e 4) + pr(5 antes de 2, 3 e 4) = (4/5) + (4/6) + (4/7) - (4/7) - (4/8) - (4/9) + (4/10) = 83/90. A probabilidade de não obter o quatro no caminho para o dois até o quatro é 1 - 83/90 = 7/90. Assim, há uma chance de 7,78% de precisar das 7,2 jogadas extras. Portanto, o número esperado de jogadas para obter um dois, três, quatro e cinco é 43,8 + (7/90)*9 = 44,5.

5. Continue com a mesma lógica para totais de seis a doze. O número de cálculos necessários para encontrar a probabilidade de obter o próximo número antes que ele seja necessário como o último número dobra aproximadamente a cada vez. Quando você chegar ao doze, terá que fazer 1.023 cálculos.

   Eis a regra geral para pr(A ou B ou C ou ... ou Z)

   pr(A ou B ou C ou ... ou Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr(A e B) - pr(A e C) - ... - pr(Y e Z) Subtraia a probabilidade de cada combinação de dois eventos
   + pr(A e B e C) + pr(A e B e D) + ... + pr(X e Y e Z) Some a probabilidade de cada combinação de três eventos
   - pr(A e B e C e D) - pr(A e B e C e E) - ... - pr(W e X e Y e Z) Subtraia a probabilidade de cada combinação de quatro eventos

   Em seguida, continue repetindo o processo, lembrando-se de somar a probabilidade para eventos com número ímpar de eventos e subtrair a probabilidade para eventos com número par de eventos. Obviamente, isso se torna tedioso para um grande número de eventos possíveis, praticamente exigindo uma planilha ou um programa de computador.

A tabela a seguir mostra o número esperado para cada etapa do processo. Por exemplo, 36 para obter um dois, 42 para obter um dois e um três. A célula inferior direita mostra que o número esperado de lançamentos para obter todos os 11 totais é 61,217385.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .