Pergunte ao Mago #319

A tabela a seguir mostra as linhas de dinheirodo Vegas Insider para ambas as equipes em cada jogo. A coluna da linha de dinheiro justa para o jogo fora de casa divide a comissão ao meio entre as duas equipes. A coluna de probabilidade mostra a probabilidade da equipe visitante vencer, com base nessa linha justa.

Ao multiplicar a probabilidade de vitória da equipe visitante em cada jogo, obtemos 0,00422, que arredondando resulta em 1 em 237.

Uma aposta Martingale para o time da casa, com o objetivo de ganhar $100, teria resultado em uma perda de $28.081,06.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Primeiro, vou analisar o número de permutações. Isso significa que não apenas os números importam, mas também a ordem deles na cartela. Existem permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360.360 permutações possíveis para as colunas B, I, G e O. Para a coluna N, o número de permutações é permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32.760. Portanto, o número total de permutações de cartelas de bingo é 360.360 ^{× 4} × 32.760 = 552.446.474.061.128.648.601.600.000.

Em segundo lugar, vou analisar o número de combinações. Isso significa que os números importam, mas não a ordem deles na cartela. Existem combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3.003 combinações possíveis para as colunas B, I, G e O. Para a coluna N, o número de permutações é combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1.365. Portanto, o número total de permutações de cartelas de bingo é 3.003 ^{× 4} × 1.365 = 111007923832370565.

No episódio, Sheldon se pergunta quantas cartelas de bingo ÚNICAS podem existir. Com base nas fórmulas incorretas que ele usa posteriormente, presumo que ele esteja se referindo a permutações. Em outras palavras, duas cartelas com os mesmos números, mas em posições diferentes, seriam ambas únicas.

A imagem acima mostra a fórmula de Sheldon para as colunas B, I, G e O. Inicialmente, ele acerta a fórmula com 5! × combin(15,5). No entanto, ele a simplifica incorretamente para 15!/(15!-5)!. O segundo ponto de exclamação não deveria estar lá. Deveria ser 15!/(15-10)!. Contudo, ele retorna à resposta correta em 360,360.

Temos exatamente o mesmo problema com a coluna N. A fórmula deveria ser 15!/(15-4)!, e não 15!/(15!-4)!. O segundo ponto de exclamação estraga tudo.

O irônico é que, mais tarde no episódio, Sheldon fica obcecado com os erros na cronologia de O Senhor dos Anéis, assim como eu estou obcecado com isso.

Primeiro, vamos determinar o número de combinações de cartas do jogador e do tabuleiro em que isso pode acontecer. Obviamente, existem quatro naipes. Então, existem combin(13,4)=715 maneiras de escolher quatro das 13 cartas do naipe dado.

Em segundo lugar, uma maneira de isso acontecer é com três cartas do mesmo naipe que os jogadores têm no tabuleiro e as outras duas entre as 39 cartas restantes. Há combin(9,3)=84 maneiras de o tabuleiro ter três das 9 cartas restantes do naipe escolhido. Então, há combin(39,2)=741 maneiras de escolher mais duas cartas dentre as 39 restantes dos outros três naipes. Portanto, há 84*741=62.244 maneiras de ter três cartas do naipe em questão no tabuleiro.

Terceiro, outra maneira pela qual isso poderia acontecer é com quatro cartas do mesmo naipe que os jogadores têm na mesa e a outra carta entre as 39 restantes. Existem combin(9,4) = 126 maneiras de a mesa ter quatro das 9 cartas restantes do naipe escolhido. Então, existem 39 maneiras de escolher mais uma carta dentre as 39 restantes dos outros três naipes. No entanto, nem todas essas combinações resultarão em ambos os jogadores usando as duas cartas fechadas. Para que essa condição seja satisfeita, a carta de menor valor do naipe em questão deve estar na mesa. A probabilidade disso, dentre as 8 cartas desse naipe em jogo, é 4/8 = 1/2. Portanto, existem 126 * 39 * (1/2) = 2.457 maneiras de haver quatro cartas do naipe em questão na mesa.

Em quarto lugar, a última maneira pela qual isso poderia acontecer é com cinco cartas do mesmo naipe que os jogadores têm na mesa. Existem combin(9,5) = 126 maneiras de a mesa ter cinco das 9 cartas restantes do naipe escolhido. No entanto, nem todas essas situações resultarão em ambos os jogadores usando suas duas cartas fechadas. Para que essa condição seja atendida, as duas cartas de menor valor do naipe em questão devem estar na mesa. A probabilidade disso, dentre as 9 cartas desse naipe em jogo, é combin(5,2)/combin(9,2) = 10/36 = 5/18. Portanto, existem 126 * (5/18) = 35 maneiras de haver quatro cartas do naipe em questão na mesa.

Portanto, o número de combinações onde isso acontecerá é 715*(62.244 + 2.457 + 35) = 46.286.240.

O número total de combinações de maneiras de escolher quatro cartas para as cartas fechadas do jogador de 52 e mais 5 das 48 restantes no tabuleiro é combin(52,4)*combin(48,5) = 463.563.500.400.

Assim, a probabilidade é 46.286.240 / 463.563.500.400 = 0,000399395 = 1 em 2.504.

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Para analisar uma aposta desse tipo, primeiro estimaria o número de pontos que cada time marcará. Faço isso usando álgebra simples com o spread de pontos e o total de pontos (over/under). Por exemplo, considere o primeiro jogo entre Bengals e Ravens. Os Ravens são favoritos por 12 pontos e o total de pontos (over/under) é 48. Seja:

b = pontos marcados pelos Bengals
r = pontos marcados pelos Ravens

b+12=r
b+r=48

Reorganizando a primeira equação: b - 4 = -12. Somando essa equação a b + r = 48, obtemos 2b = 36, logo b = 18. Se a expectativa é que os Bengals marquem 18 pontos, então a expectativa é que os Ravens marquem 18 + 12 = 30 pontos.

Após estimarmos o total de pontos, podemos calcular o número estimado de touchdowns. Para isso, subtraio seis pontos de field goal de cada equipe e divido o restante por 7.

O número total de touchdowns esperados entre essas equipes é 29,57. Em seguida, divida o número estimado de touchdowns para cada equipe por esse total. Isso dará uma probabilidade estimada de que a equipe marque o primeiro touchdown. Depois, determine o valor esperado, dada essa probabilidade, e o pagamento da aposta.

Como você pode ver na tabela, eu percebo um valor esperado positivo em apenas duas equipes. Os Redskins (sim, eu os chamo assim) com uma vantagem de 0,48% e os Bengals com uma vantagem de 21,7%. A vantagem dos Redskins é muito pequena, mas eu definitivamente apostaria nos Bengals.

PS: Os Bengals marcaram o primeiro touchdown naquele dia!

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