Pergunte ao Mago #320

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de vitória para qualquer mão específica, que dependerá das regras, as quais não foram mencionadas na sua pergunta original. Na minha página sobre variância no blackjack , apresento a probabilidade de vitória líquida, empate e derrota sob as "regras liberais do Strip", que são: seis baralhos, blackjack paga 3 para 2, o dealer para no 17 suave, dobrar após dividir permitido, desistir permitido, dividir ases novamente permitido. Sob essas regras, aqui estão as probabilidades necessárias:

• Vitória: 42,43%
• Empurrão: 8,48%
• Perda: 49,09%

Sua pergunta também não especificou como lidar com os empates. Vou assumir que um empate conta como uma mão jogada, mas não avança nem reinicia uma sequência de derrotas. Excluindo os empates, a probabilidade de uma vitória e de uma derrota, dada uma aposta resolvida, é:

• Vitória: 46,36%
• Perda: 53,64%

Dito isso, uma aproximação muito boa para perguntas como essa é:

n × l × w ^m

Onde:
n = número de mãos jogadas
l = probabilidade de uma perda
w = probabilidade de uma vitória
m = número mínimo de mãos em uma sequência de derrotas

Neste caso, o número esperado de perdas é 100000 × 46,36% × 63,64% ^{× 10} = 91,4. Em outras palavras, haverá uma sequência de pelo menos 10 mãos perdidas a cada 1.094 mãos, em média. Uma simulação aleatória confirma isso.

Neste ponto, tenho certeza de que meus leitores perfeccionistas estão se preparando para me enviar e-mails com críticas intelectuais sobre cadeias de Markov . Gostaria de enfatizar que minha fórmula é uma ESTIMATIVA e, na verdade, uma estimativa bastante precisa.

Vamos começar definindo algumas variáveis:

• s = kg de sal no tanque
• t = minutos desde que o sal foi adicionado ao tanque

Sabemos que 10% do sal é drenado por minuto. Em termos matemáticos:

ds/dt = (-10/100) × s

Vamos reorganizar isso para:

ds = (-10/100) × s dt

-10/s ds = dt

Integrando ambos os lados:

(1) -10×ln(s) = t + c

Em seguida, vamos encontrar a temida constante de integração. Para isso, sabemos que s = 10 quando t = 0. Substituindo esse valor na fórmula (1) acima, obtemos:

-10 × ln(10) = 0 + c

Então c = -10×ln(10)

Substituindo isso na equação (1), obtemos:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

A questão em análise é a quantidade de sal no tanque em t=30. Resolvendo para s quando t=30:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). Em seguida, divida ambos os lados por -10...

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = exp(-3) × 10

s =~ 0,4979 kg de sal.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

A matemática nunca mente. De acordo com meu apêndice 1 sobre blackjack , aqui estão os valores esperados para todas as quatro maneiras de jogar A,A contra 10, assumindo baralhos infinitos, o dealer para no 17 suave e não é permitido dividir ases novamente.

• Stand = -0,540430
• Acerto = -0,070002
• Duplo = -0,514028
• Divisão = 0,179689

  Portanto, essa situação nem se compara; dividir é melhor em cerca de 11% da aposta inicial. Seria ainda melhor se fosse permitido dividir novamente ases.

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que um determinado número de jogo tenha exatamente 3 dias iguais em 5. A resposta é COMBIN(5,3)*(1/80)^2*(79/80)^2 = 0,001523682. Isso representa o número de maneiras de escolher os 3 dias iguais em 5, multiplicado pela probabilidade de o segundo e o terceiro dia coincidirem com o primeiro, multiplicado pela probabilidade de os outros dois dias não coincidirem.

Portanto, a probabilidade de não haver uma partida em 3 de 5 dias para qualquer número de jogo dado é 1 - 0,001523682 = 0,9984763.

A probabilidade de isso não acontecer em 300 dias é de 0,9984763 / ³⁰⁰ = 63,29%.

Assim, a probabilidade da alternativa, de haver pelo menos um número de sorteio com 3 em 5 dias correspondendo ao mesmo número do Bulls Eye, é de 36,71%.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .