Pergunte ao Mago #323

Existem 16 possíveis situações intermediárias. A tabela a seguir mostra a aposta que Amy deve fazer em cada uma delas e seu saldo antes da aposta, seguindo essa estratégia.

Deixar:

• a = Amy vence
• b = Bob vence
• w = saldo de vitórias de Amy até o momento na série
• f(a,b,w) = Valor da aposta de Amy no próximo jogo

Em quebra-cabeças como este, geralmente é uma boa estratégia começar pelo fim e ir resolvendo em direção ao início. Dito isso, é fácil perceber que:

f(3,3,0) = 8.000

Nessa situação, o sétimo jogo é "tudo ou nada". Amy deve ter ganhos de 0 e apostar 8.000 no último lançamento de moeda, o que lhe dará um ganho de 8.000 se ela ganhar o lançamento e uma perda de 8.000 caso contrário.

Voltando um passo atrás, e se ela tiver 3 vitórias e Bob tiver 2? Se ela ganhar a próxima jogada, ela ganha o jogo todo. Se ela perder, ficará com um placar de 3-3. De acordo com f(3,3,0), ela deveria ter 0 se o placar for 3-3. Portanto, precisamos que ela tenha 8.000 se ganhar a próxima jogada e 0 caso contrário. O que obteremos aqui é um lucro líquido de 4.000 e uma aposta do mesmo valor. Então:

f(3,2,4000)=4000

Recuando um pouco, e se ela tiver 3 vitórias e Bob tiver 1? Se ela ganhar o próximo lançamento, ela ganha o jogo todo. Se ela perder, ficará com um placar de 3 a 2. De acordo com f(3,2,4000), ela deveria ter 4.000 se o placar for 3 a 2. Portanto, precisamos que ela tenha 8.000 se ganhar o próximo lançamento e 4.000 caso contrário. O que obteremos aqui é um lucro líquido no meio [(4.000 + 8.000) / 2 = 6.000] e uma aposta na metade da distância entre esses dois objetivos, [(8.000 - 4.000) / 2 = 2.000]. Então:

f(3,1,6000) = 2.000

Recuando um pouco, e se ela tiver 3 vitórias e Bob não tiver nenhuma? Se ela ganhar o próximo lançamento, ela ganha o jogo todo. Se ela perder, ficará com um placar de 3 a 1. De acordo com f(3,1,6000), ela deveria ter 6.000 se o placar for 3 a 1. Portanto, precisamos que ela tenha 8.000 se ganhar o próximo lançamento e 6.000 caso contrário. O que obteremos aqui é um lucro líquido no meio [(6.000 + 8.000) / 2 = 7.000] e uma aposta na metade da distância entre esses dois objetivos, [(8.000 - 4.000) / 2 = 2.000]. Então:

f(3,0,7000) = 1.000

É importante ressaltar que Amy deve ter um saldo positivo de 0 se o placar estiver empatado. Em qualquer cenário de empate, sua probabilidade de vencer a série inteira será de 50%. Com metas equilibradas de 8.000 pontos em cada caso, ela precisa apostar em 0 ou corre o risco de não atingir nenhuma das metas finais.

Em seguida, se Amy estiver em desvantagem na série, seu ganho líquido deve ser -1 vezes o ganho líquido que ela teria se estivesse em vantagem pela mesma pontuação. Por exemplo, considere uma pontuação de Amy 2 - Bob 3 (ou 2-3). Se ela perder a próxima jogada, perde o jogo inteiro. Se ela ganhar, ficará com uma pontuação de 3-3. De acordo com f(3,3,0), ela deve ter 0 se a pontuação for 3-3. Portanto, precisamos que ela tenha 0 se ganhar a próxima jogada e -8000 caso contrário. O que teremos aqui é uma perda líquida de 4000 e uma aposta do mesmo valor. Então:

f(2,3,-4000)=4000

Seguindo a mesma lógica:

f(1,3,-6000) = 2000

f(0,3,-7000) = 1.000

Em seguida, qual deve ser a aposta de Amy se o placar estiver 2-2? Se ela ganhar o cara ou coroa, o placar será 3-2. Como vimos acima, ela precisa ter um lucro líquido de 4.000 com esse placar. Também vemos que, se ela estiver perdendo por 2-3, precisa ter uma perda líquida de 4.000. Portanto, ela precisa apostar 4.000.

f(2,2,0) = 4.000

Recuando um passo, e se o placar for 2 a 1? Estabelecemos que ela precisa ter um lucro líquido de 6.000 se ganhar a próxima jogada (placar de 3 a 1) e um lucro líquido de 0 se perder (placar de 2 a 2). O que ela conseguirá aqui é um lucro líquido intermediário [(6.000 + 0) / 2 = 3.000] e uma aposta equivalente à metade da diferença entre esses dois objetivos, [(6.000 - 0) / 2 = 3.000]. Portanto:

f(2,1,3000) = 3000

Recuando um pouco mais, e se ela tiver 2 vitórias e Bob não tiver nenhuma? Se ela ganhar a próxima rodada, o placar será 3 a 0. Se ela perder, será 2 a 1. Ela deverá ter um lucro líquido de 7.000 com 3 a 0 e 3.000 com 2 a 1. O que ela receberá a partir de um placar de 2 a 0 é um lucro líquido intermediário [(7.000 + 3.000) / 2 = 5.000] e uma aposta na metade da diferença entre esses dois objetivos, [(7.000 - 3.000) / 2 = 2.000]. Portanto:

f(2,0,5000) = 2000

Ao inverter as pontuações, de forma que Alice tenha duas vitórias e Bob tenha menos, também sabemos:

f(1,2,-3000) = 3000

f(0,2,-5000) = 2000

Como explicado anteriormente, o lucro líquido de Amy deve ser 0 se a série estiver equilibrada, portanto, com um placar de 1 a 1, seu lucro líquido deve ser 0. Com um placar de 2 a 1, ela precisa ter um lucro de 2.000 e com um placar de 1 a 2, ela precisa ter um prejuízo de 2.000. Assim, com um empate de 1 a 1, ela deve apostar 2.000, ou seja:

f(1,1,0) = 2.000

E se Amy estiver ganhando por 1 a 0? Já estabelecemos que ela precisa estar com 5.000 pontos de vantagem quando o placar está 2 a 0. Quando está 1 a 1, ela precisa estar empatada.O que se obterá aqui, partindo de um placar de 1 a 0, é um lucro líquido no meio [(5.000 + 0) / 2 = 2.500] e uma aposta na metade da distância entre esses dois gols, [(5.000 - 0) / 2 = 2.500]. Portanto:

f(1,0,2500) = 2.500

Ao inverter o placar para 0-1:

f(0,1,-2500) = 2.500

Então, finalmente, chegamos ao primeiro jogo com o placar de 0 a 0. Precisamos que Amy esteja com um lucro de 2.500 se ganhar a próxima rodada e com um prejuízo de 2.500 se perder. Portanto, uma aposta de 2.500 nos levará a esse objetivo. Ou:

f(0,0,0) = 2.500