Pergunte ao Mago #324

A fórmula de Leibniz para π afirma:

1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4

Se x/y < 0,5, então a razão será arredondada para baixo, resultando em 0, um número par. Qualquer ponto no alvo de dardos à esquerda da linha formada por (0,0) e (0,5) será arredondado para baixo, resultando em 0. Essa área é um triângulo retângulo com lados de 1 e 1/2. Lembre-se que a área de um triângulo é (1/2) * base * altura. Portanto, a área desses pontos, arredondando para baixo, resulta em (1/2) * (1/2) = 1/4.

A próxima área no gráfico que será arredondada para o próximo número par, 2, é quando 1,5 < x/y < 2,5. Essa área será um triângulo com base 2/3 - 2/5 e altura 1. Observe que esses são os inversos dos limites de x/y, porque x é igual a 1, então precisamos inverter y. Portanto, a área que arredonda para 2 é (1/2)*(2/3 - 2/5).

A próxima área no gráfico que será arredondada para o próximo número par, 4, é quando 3,5 < x/y < 4,5. Esta área será um triângulo com base 2/7 - 2/9 e altura 1. Portanto, a área que arredonda para 2 é (1/2)*(2/7 - 2/9).

A próxima área no gráfico que será arredondada para o próximo número par, 6, é quando 5,5 < x/y < 6,5. Esta área será um triângulo com base 2/11 - 2/13 e altura 1. Portanto, a área que arredonda para 2 é (1/2)*(2/11 - 2/13).

Começando a perceber um padrão? É o seguinte:

1/4 + 1/2*(2/3 - 2/5 + 2/7 - 2/9 + 2/11 - 2/13 + ... ) =

1/4 + (1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

Vamos colocar um -1 dentro desses parênteses.

5/4 + (-1 + 1/3 - 1/5 + 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 + ... ) =

5/4 - (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 + ... ) =

Em seguida, relembre nossa dica acima:

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11

Voltando à questão em pauta...

5/4 - π/4 =

(5 - π) / 4 = apx. 0,464601836602552.

É interessante como π e e continuam aparecendo em vários lugares na matemática.

^9x + ^12x = ^16x =

Divida ambos os lados por 9 ^x

1 + (12/9) ^x = (16/9) ^x

1 + (4/3) ^x = ((4/3) ^x ) ²

(1) Seja u = (4/3) ^x

1 + u = u ²

Pela fórmula quadrática...

u = (1+sqrt(5)) / 2 (A Proporção Áurea)

Colocando isso de volta na equação (1):

(4/3) ^x = (1+sqrt(5)) / 2

Calcule o logaritmo de ambos os lados:

x ln(4/3) = ln[(1+sqrt(5)) / 2]

x = ln[(1+sqrt(5)) / 2] / ln(4/3)

x = [ln(1+sqrt(5) - ln(2)] / [ln(4) - ln(3)] = aproximadamente 1,67272093446233.

Dica 1: Soma de n ⁱ = 1 / (1-n) para i = 0 até ∞

Dica 2: Soma de i = 0 a ∞ de i × n ⁱ = n / (1-n) ²

Suponha que um dado honesto de seis lados seja lançado até que apareça um 1, 2, 3 ou 6. Se um 1, 2 ou 3 for o primeiro desses números a aparecer, você não ganha nada. Se um 6 for o primeiro desses números a aparecer, você ganha $1 a cada lançamento do dado. Qual é o ganho médio neste jogo?

Dica 1: Soma de n ⁱ = 1 / (1-n) para i = 0 até ∞

Dica 2: Soma de i = 0 a ∞ de i × n ⁱ = n / (1-n) ²

O ganho esperado pode ser expresso como a soma, para i = 0 até ∞, de (1 + i) * (1/3) ⁱ * (1/6). =

(1/6) * soma para i = 0 até ∞ de (1/3) ⁱ + (1/6) * soma para i = 0 até ∞ de (i * (1/3) ⁱ ).

Vamos avaliar cada um deles individualmente.

soma para i = 0 até ∞ de (1/3) ⁱ =

1 / (1 - (1/3)) =

1 / (2/3) =

3/2

Soma de i = 0 a ∞ de (i * (1/3) ⁱ ) =

(1/3) / (1 - (1/3)) ² =

(1/3) / (4/9) =

(1/3) * (9/4) =

3/4

Em resumo, a resposta é

(1/6) * (3/2) + (1/6)*(3/4) =

(1/4) + (1/8) =

3/8