Pergunte ao Mago #325

Um agricultor planta 5 sementes de maçã. A cada dia, cada semente terá 1/3 de chance de germinar. Qual é o tempo médio até que todas as cinco árvores germinem?

Vamos calcular de trás para frente. Se houver uma única semente que ainda não germinou, ela levará em média 1/p dias para germinar, onde p é a probabilidade de germinar em um determinado dia. Como p = 1/3, levará em média 3 dias para germinar. Vamos chamar esse tempo de _t₁ = 3.

E se restarem duas sementes? Há uma probabilidade de ^ap² = 1/9 de que ambas germinem no dia seguinte e o processo termine. A probabilidade de uma delas germinar no dia seguinte é 2 × p × q, onde q é a probabilidade de não germinar. Assim, a probabilidade de uma semente germinar é 2 × (1/3)(2/3) = 4/9. A probabilidade de nenhuma das sementes germinar é ^q² = (2/3) ^² = 4/9. Vamos chamar o número esperado de dias com duas sementes de _t² .

t ₂ = 1 + (4/9)×t ₁ + (4/9)t ₂

t ₂ = (1 - (4/9)) = 1 + (4/9)×t ₁

t ₂ = (1 + (4/9)×3) / (1 - (4/9))

t ₂ = (21/9) / (5/9)

t ₂ = (21/9) × (9/5) = 21/5 = 4,2

E se restarem três sementes? Há uma probabilidade de ^ap³ = 1/27 de que todas germinem no dia seguinte e o experimento termine. A probabilidade de uma germinar no dia seguinte é 3 × p × ^q² = 3 × (1/3)(2/3) ^² = 12/27. A probabilidade de duas germinarem no dia seguinte é 3 × ^p² × q = 3 × (1/3) ^² × (2/3) = 6/27. A probabilidade de nenhuma semente germinar é ^q³ = (2/3) ^³ = 8/27. Vamos chamar o número esperado de dias com três sementes de _t³ .

t ₃ = 1 + (6/27)t ₁ + (12/27)×t ₂ + (8/27)×t ₃

t ₃ = 1 + (6/27)×3 + (12/27)×4,2 + (8/27)×t ₃

t ₃ × (1 - 8/27) = (1 + 18/27 + 28/15)

t ₃ = (1 + 18/27 + 28/15) / (1 - 8/27) = 477/95 = aproximadamente 5,02105263

E se restarem quatro sementes? Há uma probabilidade de ^ap₄ = 1/81 de que todas as quatro germinem no dia seguinte e o experimento termine. A probabilidade de uma germinar no dia seguinte é 4 × p × ^q³ = 4 × (1/3)(2/3) ^³ = 32/81. A probabilidade de duas germinarem no dia seguinte é combin(4,2) × ^p² × ^q² = 6 × (1/3) ^² × (2/3) ^² = 24/81. A probabilidade de três germinarem no dia seguinte é combin(4,3) × ^p³ × q = 4 × (1/3) ^³ × (2/3) = 8/81. A probabilidade de nenhuma semente germinar é ^q₄ = (2/3) ^⁴ = 16/81. Vamos chamar o número esperado de dias com três sementes de _t₄ .

t ₄ = 1 + (8/81)×t ₁ + (24/81)×t ₂ + (32/81)×t ₃ + (16/81)×t ₄

t ₄ = 1 + (8/81)×3 + (24/81)×4,2 + (32/81)×5,02105263 + (16/81)×t ₄

t ₄ = (1 + (8/81)×3 + (24/81)×4,2 + (32/81)×5,02105263) / (1 - (16/81))

t ₄ = aprox. 5,638056680161943319838056680.

E se restarem todas as cinco sementes? Há uma probabilidade de ⁵ = 1/243 de que todas as 5 germinem no dia seguinte e o experimento termine. A probabilidade de uma germinar no dia seguinte é 5 × p × ^q⁴ = 5 × (1/3)(2/3) ^⁴ = 80/243. A probabilidade de duas germinarem no dia seguinte é combin(5,2) × ^p² × ^q³ = 10 × (1/3) ^² × (2/3) ^³ = 80/243. A probabilidade de três germinarem no dia seguinte é combin(5,3) × ^p³ × q = 10 × (1/3) ^³ × (2/3) ^² = 40/243. A probabilidade de quatro germinarem no dia seguinte é combin(5,4)×p ⁴ ×q = 5×(1/3) ⁴ ×(2/3) = 10/243. A probabilidade de nenhuma semente germinar é q ⁵ = (2/3) ⁵ = 32/243. Vamos chamar o número esperado de dias com três sementes de t ₅ .

t ₅ = 1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ + (32/243)×t ₅

t ₅ = (1 + (10/243)×t ₁ + (40/243)×t ₂ + (80/81)×t ₃ + (80/243)×t ₄ ) / (1 - (32/243))

t ₅ = (1 + (10/243)×3 + (40/243)×4,2 + (80/243)×(477/95) + (80/243)×5,63805668) / (1 - (32/243))

t ₅ = aproximadamente 6,131415853.

1. Qual é o comprimento mínimo de corda necessário? R: sqrt(2)*4 = aproximadamente 5,6569.
2. Considerando a distância mínima, qual a distância mínima que qualquer ponto da corda atinge da ponta? A: 2*sqrt(2) = aproximadamente 2,828427125.

Suponha que a parte inferior da tenda seja o chão nu. Em outras palavras, a tenda consiste apenas nas paredes, sem a base. Como o raio era 1, o diâmetro da base da tenda é 2π.

Corte a tenda tipi a partir de qualquer ponto na base até a ponta e estenda o material sobre uma superfície plana.

A parte curva desta fatia ainda será 2π. Como a altura inclinada era 4, se esta fatia fosse estendida para um círculo completo, o raio seria 8π. Portanto, esta fatia é 1/4 de um círculo.

Com lados de comprimento 4 e ângulo de 90 graus, a hipotenusa do triângulo entre os três pontos tem comprimento sqrt(2)*4 = aproximadamente 5,6569. Se você remontasse a tenda, essa distância seria o comprimento da corda.

Colocando a fatia plana novamente, usando a fórmula de Pitágoras, é fácil ver que o ponto mais próximo da hipotenusa à ponta do tipi é 2*sqrt(2) = aproximadamente 2,828427125.