Pergunte ao Mago #331

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Aqui está minha solução (PDF).

Essa questão foi levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Foi adaptado do enigma " Você consegue participar da maior chamada de Zoom do mundo?", publicado no FiveThirtyEight.

É extremamente improvável encontrar um jogo de blackjack que permita pedir para dividir ases, receber um par de ases e atingir o limite de divisão. Mesmo assim, me esforço para abordar as situações mais obscuras e admito que minhas tabelas de estratégia básica, na época desta pergunta, não previam o que fazer nessa situação.

A resposta é acertar, exceto se dobrar:

• O crupiê tem seis cartas para cima (com qualquer número de baralhos).
• O crupiê tem cinco cartas na mão, com um ou dois baralhos.

Aqui está o valor esperado dessa situação em diversas situações semelhantes.

Valores esperados obtidos da minha calculadora de mãos de blackjack .

A resposta é que um candidato pode receber apenas 21,69% dos votos populares e ainda assim vencer.

Para detalhar, a tabela a seguir mostra a população e os votos eleitorais de cada estado. Os dados populacionais são de 2019 e os votos eleitorais, da última vez em que foram ajustados, em 2010. Lembrando aos meus leitores fora dos Estados Unidos, cada estado também recebe dois votos eleitorais adicionais. Como resultado, estados com população pequena têm muito mais influência nas eleições do que aqueles com população grande. Nas eleições de 2020, os eleitores do Wyoming tinham quase quatro vezes mais influência na eleição presidencial do que os eleitores do Texas.

De acordo com as regras, um candidato poderia obter 100% dos votos no Texas, Flórida, Califórnia, Carolina do Norte, Nova York, Geórgia, Arizona, Virgínia, Ohio, Pensilvânia, Nova Jersey e Missouri, além de metade dos votos (menos um) em todos os outros estados, garantindo um total de 257.085.170 votos populares. Enquanto isso, o outro candidato obteria apenas 71.215.374 votos e venceria com exatamente os 270 votos eleitorais necessários.

A tabela a seguir detalha os dados. Eles estão listados em ordem crescente de população por voto eleitoral (do menor para o maior).

Fontes:

• População por estado (2019)
• Votos do colégio eleitoral por estado (2010)

A resposta é 219,149467.

Existem duas maneiras que consigo imaginar para resolver isso. A primeira é com uma Cadeia de Markov. A tabela a seguir mostra o número esperado de lançamentos necessários para qualquer estado dado, dentre os 128 possíveis.

Resumidamente, o número esperado de lançamentos a partir de qualquer estado dado é o número esperado de lançamentos até que o ponto seja ganho ou perdido (5,063636) mais o número esperado de lançamentos se o jogador avançar para um estado posterior, dividido pela probabilidade de não avançar no estado.

O outro método utiliza cálculo integral. Primeiro, calcula-se o número esperado de lançamentos para cada resultado possível. Em seguida, calcula-se o produto escalar da probabilidade de cada evento pela média dos lançamentos para obter a média dos lançamentos necessária para resolver uma aposta na linha de passe, que, conforme mostrado no canto inferior direito, é 3,375758 = 557/165.

A partir daí, podemos obter os resultados esperados entre quaisquer dois pontos vencedores:

• Rolagens entre um ponto de 4 vencedores = (3/36)*(3/9)*5*(557/165) = 6684/55 = aproximadamente 121,527273.
• Rolagens entre um ponto de 5 vencedores = (4/36)*(4/10)*4,6*(557/165) = 1671/21 = aproximadamente 75,954545.
• Rolagens entre um ponto de 6 vencedores = (5/36)*(5/11)*(47/11)*(557/165) = 6684/125 = aproximadamente 53,472.

Os resultados esperados para um vencedor de 10, 9 e 8 pontos são os mesmos que para 4, 5 e 6 pontos, respectivamente.

Vamos supor que, em vez de um vencedor com pontuação de 0,4 ocorrer de forma discreta, ele siga uma distribuição exponencial com média de 6684/55. A probabilidade de tal variável aleatória durar x unidades de tempo sem ocorrer é exp(-x/(6684/55)) = exp(-55x/6684).

A probabilidade de ter acontecido dentro de x unidades de tempo, pelo menos uma vez, é 1-exp(-55x/6684).

Se representarmos todos os seis pontos como variáveis contínuas, então a probabilidade de todos os seis terem ocorrido dentro de x unidades de tempo é (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

A probabilidade de pelo menos um dos seis eventos não ocorrer dentro de x unidades de tempo é 1 - (1-exp(-55x/6684))^2 * (1-exp(-22x/1671))^2 * (1-exp(-125x/6684))^2.

Podemos obter o tempo esperado para que todos os seis eventos ocorram integrando a expressão acima de 0 ao infinito.

Usando esta calculadora de integrais, obtém-se a resposta 8706865474775503638338329687/39730260732259873692189000 = aproximadamente 219,1494672902.

Explicar por que isso funciona é mais difícil, então, por favor, aceite essa parte por fé.