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Pergunte ao Mago #332

Usando as moedas padrão dos EUA de 1, 5, 10, 25, 50 centavos e 1 dólar, de quantas maneiras é possível dar troco de 1 dólar?

Gialmere

A resposta é 293.

Seja a(x) = número de maneiras de formar x centavos, usando apenas moedas de um centavo e de cinco centavos, onde x é divisível por 5.

a(x) = 1+(x/5)

Em outras palavras, o número de maneiras é o número de moedas de cinco centavos possíveis no troco, que varia de 0 a x/5.

Seja b(x) = número de maneiras de formar x centavos, usando apenas moedas de um centavo, cinco centavos e dez centavos, onde x é divisível por 5.

b(0)=1
b(5)=2
b(x) = a(x) + b(x-10), onde x>=10.

Em inglês simples, o número de maneiras de fazer x centavos é a soma de (1) b(x-10) = número de maneiras de x-10 centavos adicionando um dime a cada maneira e (2) a(x) = número de maneiras sem usar dimes.

Seja c(x) = número de maneiras de formar x centavos, usando apenas moedas de um centavo, cinco centavos, dez centavos e vinte e cinco centavos, onde x é divisível por 25.

c(0) = 1
c(x) = b(x) + c(x-25), onde x>=25.

Em inglês simples, o número de maneiras de fazer x centavos é a soma de (1) c(x-25) = número de maneiras de x-25 centavos adicionando um quarto de dólar a cada maneira e (2) b(x) = número de maneiras sem usar quartos de dólar.

Seja d(x) = número de maneiras de formar x centavos, usando apenas moedas de um centavo, cinco centavos, dez centavos, vinte e cinco centavos e cinquenta centavos, onde x é divisível por 50.

d(0) = 1
d(x) = c(x) + d(x-50), onde x>=50.

Em inglês simples, o número de maneiras de fazer x centavos é a soma de (1) d(x-50) = número de maneiras de x-50 centavos adicionando meio dólar a cada maneira e (2) c(x) = número de maneiras sem usar meio dólar.

A seguir, encontra-se uma tabela que mostra esses valores para x = 5 a 100.

Formas de promover mudanças

x machado) b(x) c(x) d(x)
0 1 1 1
5 2 2 0
10 3 4 0
15 4 6 0
20 5 9 0
25 6 12 13
30 7 16 0
35 8 20 0
40 9 25 0
45 10 30 0
50 11 36 49 50
55 12 42 0
60 13 49 0
65 14 56 0
70 15 64 0
75 16 72 121
80 17 81 0
85 18 90 0
90 19 100 0
95 20 110 0
100 21 121 242 292

Finalmente, adicione um para a moeda de 1 dólar e a resposta é 292 + 1 = 293.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Eu registrei 3.000 giros na roleta de duplo zero porque os primeiros doze números não pareciam sair com tanta frequência quanto os dois últimos. Nesses 3.000 giros, os números de 1 a 12 saíram 742 vezes. Qual a probabilidade disso?

anônimo

Você esperaria que o número de vezes que a bola cairia de 1 a 12 fosse 3000*(12/38) = 947,37.

A diferença entre seus resultados e as expectativas é de 947,37 - 742 = 205,37.

A variância é 3000*(12/38)*(1-(12/38)) = 648,20.

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância = sqrt(648,20) = 25,46.

Seus resultados estão 205,37/25,46 = 11,75 desvios padrão abaixo do esperado.

O valor p, ou a probabilidade de estar errado por 11,75 desvios padrão ou mais, é de 1 em 28.542.806.257.940.300.000.000.000.000.000.

Gostaria de saber onde está a roda.

Encontrei um jogo de blackjack que paga 6 para 5 se o jogador fizer um blackjack depois de dividir dez ou ases? Dividir ases novamente não é permitido. Um blackjack do dealer ainda vence qualquer mão, exceto em caso de empate contra um blackjack natural do jogador. Se o dealer chegar a 21 pontos, um ás e um dez do jogador, após a divisão, vencem.

Scrooge

Vamos ignorar a divisão de dezenas, porque mesmo com essa regra, o jogador ainda deve parar no 20 contra qualquer coisa.

Considerando seis baralhos, a probabilidade de um par de ases é combin(24,2)/combin(312,2) = 276/48.516 = 0,5689%.

O número esperado de dois ases que se desenvolverão em um blackjack é 2*(16*6)/(312-2) = 0,619355.

A probabilidade de o dealer não ter um blackjack é 1 - (16*6)*(4*6-2)/combin(52*6-2,2) = 95,590354%.

A probabilidade do crupiê chegar a 21 pontos é de 7,7981%. O cálculo é muito complexo para explicar.

A probabilidade de a regra ser útil é 0,5689% * 95,590354% * (1-7,7981%) = 0,3368044%.

O benefício por incidente = Pr(o revendedor não atinge 21 pontos) * (0,2) + Pr(o revendedor atinge 21 pontos) * 1,2 = (1-0,122077839) * 0,2 + 0,122077839 * 1,2 = 0,3220778.

O benefício geral da regra é o produto da frequência com que a situação ocorre e o benefício quando ela ocorre = 0,003368044 * 0,322077839 = 0,11%.

Você tem dois dados. Você pode numerar cada face de ambos os dados como quiser, contanto que cada face seja um número inteiro maior ou igual a um. Você pode repetir o mesmo número no mesmo dado e aumentar o número o quanto quiser. Além de criar dados padrão, como você pode numerá-los de forma que a probabilidade de qualquer total seja a mesma que a de dados padrão?

anônimo

Dado 1 = 1,2,2,3,3,4.
Dado 2 = 1,3,4,5,6,8.

Receio que a minha solução para este problema tenha sido, em grande parte, tentativa e erro.

Qual é o custo em erros do jogador se eu jogar a estratégia ideal para Not so Ugly Ducks em Illinois Deuces?

anônimo

Para relembrar, aqui estão as tabelas salariais mencionadas:

Patinhos nem tão feios: 1-2-3-4-4-10-16-25-200-800.
Duques de Illinois: 1-2-3-4-4-9-15-25-200-800

A seguir, apresentamos a tabela de retorno para o jogo Not so Ugly Ducks, seguindo a estratégia ideal para esse jogo.

Patos não tão feios -- Estratégia correta

Evento Paga Combinações Probabilidade Retornar
sequência real natural 800 458.696.304 0,000023 0,018409
Quatro dois 200 3.721.737.204 0,000187 0,037342
sequência real selvagem 25 38.006.962.464 0,001907 0,047668
Cinco de um tipo 16 61.961.233.656 0,003108 0,049735
Straight flush 10 102.392.435.976 0,005137 0,051368
Quatro de um mesmo tipo 4 1.216.681.289.508 0,061038 0,244151
Casa cheia 4 520.566.943.104 0,026116 0,104462
Descarga 3 413.870.908.056 0,020763 0,062289
Direto 2 1.142.885.476.800 0,057336 0,114671
Três de um tipo 1 5.325.911.611.716 0,267188 0,267188
Nada 0 11.106.773.222.412 0,557199 0,000000
Total 19.933.230.517.200 1.000000 0,997283

A seguir, apresentamos a tabela de retorno para Illinois Deuces, utilizando a estratégia correta para essa tabela de pagamentos. A célula inferior direita mostra um retorno de 0,989131.

Illinois Deuces -- Estratégia Correta

Evento Paga Combinações Probabilidade Retornar
sequência real natural 800 459.049.128 0,000023 0,018423
Quatro dois 200 3.727.422.492 0,000187 0,037399
sequência real selvagem 25 38.117.987.136 0,001912 0,047807
Cinco de um tipo 15 62.201.557.608 0,003120 0,046807
Straight flush 9 98.365.859.016 0,004935 0,044413
Quatro de um mesmo tipo 4 1.221.942.888.444 0,061302 0,245207
Casa cheia 4 522.030.131.520 0,026189 0,104756
Descarga 3 407.586.633.720 0,020448 0,061343
Direto 2 1.145.767.137.120 0,057480 0,114961
Três de um tipo 1 5.342.397.992.292 0,268015 0,268015
Nada 0 11.090.633.858.724 0,556389 0,000000
Total 19.933.230.517.200 1.000000 0,989131

A próxima tabela mostra a tabela de retorno usando as combinações e probabilidades de Not so Ugly Ducks na tabela de pagamento para Illinois Deuces. A célula inferior direita mostra um retorno de 0,989131.

Illinois Deuces - Estratégia NSUD

Evento Paga Combinações Probabilidade Retornar
sequência real natural 800 458.696.304 0,000023 0,018409
Quatro dois 200 3.721.737.204 0,000187 0,037342
sequência real selvagem 25 38.006.962.464 0,001907 0,047668
Cinco de um tipo 15 61.961.233.656 0,003108 0,046627
Straight flush 9 102.392.435.976 0,005137 0,046231
Quatro de um mesmo tipo 4 1.216.681.289.508 0,061038 0,244151
Casa cheia 4 520.566.943.104 0,026116 0,104462
Descarga 3 413.870.908.056 0,020763 0,062289
Direto 2 1.142.885.476.800 0,057336 0,114671
Três de um tipo 1 5.325.911.611.716 0,267188 0,267188
Nada 0 11.106.773.222.412 0,557199 0,000000
Total 19.933.230.517.200 1.000000 0,989038

O custo dos erros é o retorno ótimo para Illinois Deuces (segunda tabela) menos o retorno para Illinois Deuces usando a estratégia NSUD (terceira tabela) = 0,989131 - 0,989038 = 0,000093.