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Pergunte ao Mago #333

Há um número infinito de lâmpadas, todas apagadas. O intervalo de tempo entre o momento em que uma lâmpada é acesa segue uma distribuição exponencial* com média de um dia. Uma vez acesa, a vida útil de uma lâmpada também segue uma distribuição exponencial com média de um dia.

Qual é o tempo médio até que a primeira lâmpada queime?

*: Eventos aleatórios que seguem a distribuição exponencial possuem a propriedade de não terem memória, ou seja, o passado não importa. Em outras palavras, um único evento nunca está atrasado e a probabilidade de ele ocorrer é sempre a mesma.

Ace2

A resposta é e - 1 = aproximadamente 1,7182818...

Em média, levará um dia para que a primeira lâmpada seja acesa.

A partir daí, levará em média meio dia até o próximo evento significativo, seja uma nova lâmpada sendo acesa ou a primeira lâmpada queimando. Adicionamos 1/2 dia ao tempo de espera até esse evento. Portanto, agora estamos em 1 + (1/2) = 1,5 dias.

Há 1/2 de chance de o segundo evento ter sido o acendimento de uma segunda lâmpada. Nesse caso, há um tempo de espera de 1/3 de dia até o próximo evento significativo (seja uma das duas primeiras lâmpadas queimando ou uma nova lâmpada sendo acesa). Portanto, somando o produto de 1/2 (a probabilidade de chegar até aqui) e 1/3, que é igual a 1/6, ao tempo de espera, temos 1,5 + 1/6 = 5/3 = 1,66667 dias.

Há uma probabilidade de (1/2)*(1/3) = 1/6 de que o terceiro evento significativo tenha sido o acendimento de uma terceira lâmpada. Nesse caso, há um tempo de espera de 1/4 de dia até o próximo evento significativo (seja uma das três primeiras lâmpadas queimando ou uma nova lâmpada acendendo). Portanto, somando o produto de 1/6 (a probabilidade de chegar até aqui) e 1/4, que é igual a 1/24, ao tempo de espera, temos 5/3 + 1/24 = 41/24 = 1,7083 dias.

Seguindo esse padrão, a resposta é (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

Deve ser de conhecimento geral que e = (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + ...

A única diferença é que nossa resposta não inclui o fator 1/0!. Portanto, a resposta é e - 1/0! = e - 1 = aproximadamente 1,7182818...

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Em média, quantas partidas de Copas* uma pessoa precisa jogar para ver todas as 52 cartas em sua mão?

*: O jogo de Copas é jogado com um único baralho de 52 cartas. Cada mão consiste em 13 cartas.

anônimo

O número médio de mãos necessárias para ver todas as 52 cartas é aproximadamente 16,41217418.

Utilizei uma cadeia de Markov no Excel para resolver este problema. A tabela a seguir mostra a probabilidade de ver todas as 52 cartas em 4 a 100 mãos. A coluna da esquerda mostra o número de mãos. A coluna do meio mostra a probabilidade de o jogador ver a 52ª carta exatamente nesse número de mãos. A coluna da direita mostra a probabilidade de o jogador ver todas as 52 cartas em um número de mãos ou menos. Por exemplo, a probabilidade de serem necessárias exatamente 20 mãos é de 4,64% e a probabilidade de serem necessárias 20 mãos ou menos é de 84,63%.

Pergunta de Copas

Mãos Probabilidade
Exato
Número		 Probabilidade
por meio disto
Número
4 0,0000000000 0,0000000000
5 0,0000000002 0,0000000002
6 0,0000007599 0,0000007601
7 0,0000746722 0,0000754323
8 0,0012814367 0,0013568690
9 0,0078648712 0,0092217402
10 0,0250926475 0,0343143878
11 0,0519205664 0,0862349541
12 0,0800617820 0,1662967361
13 0,1007166199 0,2670133561
14 0,1098088628 0,3768222189
15 0,1081357062 0,4849579251
16 0,0989810156 0,5839389408
17 0,0859323992 0,6698713400
18 0,0717845305 0,7416558705
19 0,0582992717 0,7999551422
20 0,0463771514 0,8463322937
21 0,0363346393 0,8826669329
22 0,0281478762 0,9108148092
23 0,0216247308 0,9324395399
24 0,0165110023 0,9489505422
25 0,0125489118 0,9614994539
26 0,0095051901 0,9710046441
27 0,0071815343 0,9781861784
28 0,0054157295 0,9836019079
29 0,0040783935 0,9876803013
30 0,0030680973 0,9907483986
31 0,0023062828 0,9930546814
32 0,0017326282 0,9947873096
33 0,0013011028 0,9960884124
34 0,0009767397 0,9970651521
35 0,0007330651 0,9977982171
36 0,0005500841 0,9983483012
37 0,0004127226 0,9987610238
38 0,0003096311 0,9990706549
39 0,0002322731 0,9993029280
40 0,0001742327 0,9994771607
41 0,0001306901 0,9996078508
42 0,0000980263 0,9997058771
43 0,0000735246 0,9997794017
44 0,0000551461 0,9998345478
45 0,0000413611 0,9998759089
46 0,0000310217 0,9999069306
47 0,0000232667 0,9999301974
48 0,0000174503 0,9999476477
49 0,0000130879 0,9999607356
50 0,0000098160 0,9999705516
51 0,0000073620 0,9999779136
52 0,0000055216 0,9999834352
53 0,0000041412 0,9999875764
54 0,0000031059 0,9999906823
55 0,0000023294 0,9999930117
56 0,0000017471 0,9999947588
57 0,0000013103 0,9999960691
58 0,0000009827 0.9999970518
59 0,0000007370 0,9999977889
60 0,0000005528 0,9999983416
61 0,0000004146 0,9999987562
62 0,0000003109 0,9999990672
63 0,0000002332 0,9999993004
64 0,0000001749 0,9999994753
65 0,0000001312 0,9999996065
66 0,0000000984 0,9999997048
67 0,0000000738 0,9999997786
68 0,0000000553 0,9999998340
69 0,0000000415 0,9999998755
70 0,0000000311 0,9999999066
71 0,0000000233 0,9999999300
72 0,0000000175 0,9999999475
73 0,0000000131 0,9999999606
74 0,0000000098 0,9999999705
75 0,0000000074 0,9999999778
76 0,0000000055 0,9999999834
77 0,0000000042 0,9999999875
78 0,0000000031 0,9999999907
79 0,0000000023 0,9999999930
80 0,0000000018 0,9999999947
81 0,0000000013 0,9999999961
82 0,0000000010 0,9999999970
83 0,0000000007 0,9999999978
84 0,0000000006 0,9999999983
85 0,0000000004 0,9999999988
86 0,0000000003 0,9999999991
87 0,0000000002 0,9999999993
88 0,0000000002 0,9999999995
89 0,0000000001 0,9999999996
90 0,0000000001 0,9999999997
91 0,0000000001 0,9999999998
92 0,0000000001 0,9999999998
93 0,0000000000 0,9999999999
94 0,0000000000 0,9999999999
95 0,0000000000 0,9999999999
96 0,0000000000 0,9999999999
97 0,0000000000 1,0000000000
98 0,0000000000 1,0000000000
99 0,0000000000 1,0000000000
100 0,0000000000 1,0000000000

Existe um antigo jogo eletrônico de blackjack no cassino de Cal Nev Ari com as seguintes regras:

  • As vitórias, exceto no blackjack, pagam 3 para 2 (ou 1 para 2).
  • No Blackjack, o pagamento é de 6 para 1 (ou 5 para 1).
  • Deck único
  • O revendedor está em cima do 17 macio
  • Dobre a aposta em quaisquer duas cartas iniciais oferecidas.
  • Divisão permitida
  • Faça o dobro após dividir
  • Não é permitido dividir novamente.
  • Sem rendição

Rosebud

Interessante. Presumo que, se o jogador dobrar a aposta e ganhar, ele ainda receberá apenas de 1 a 2 vezes o valor total apostado.

Primeiramente, aqui está a estratégia básica para essas regras:

  • Mãos difíceis: Nunca dobre. Caso contrário, jogue como na estratégia básica convencional, exceto que você deve parar em 12 contra 3 e 16 contra 10.
  • Mãos suaves: Nunca dobre. Bata com suavidade em 17 ou menos e com suavidade em 18 contra 9. Caso contrário, fique parado.
  • Pares: Divida apenas 8 contra um 6 ou 8. Sempre peça dois ases. Caso contrário, siga a estratégia para totais difíceis.

Seguindo essas regras e estratégia, obtenho uma vantagem da casa de 7,88%.

Se o jogador tivesse que marcar um ponto duas vezes antes de tirar um sete para ganhar a aposta na linha de passe no craps, quanto isso aumentaria a vantagem da casa?

Gary

Essa regra terrível aumentaria a vantagem da casa de 1,41% para 33,26%.