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Pergunte ao Mago #339

Vi uma aposta no Super Bowl 55 sobre se o jogo terminaria com uma combinação única de placares na história da NFL, chamada Scorigami. As odds eram:

Sim: +1100
Não: -1400

Quais são as probabilidades, na sua opinião?

Actuarial

Ótima pergunta! Felizmente, existe o NFL Scorigami , que nos mostra a quantidade de todas as combinações de pontuação na história da NFL.

Tenho certeza de que os frequentistas vão odiar minha resposta, mas precisei fazer algumas suposições para obter a probabilidade de um evento que nunca aconteceu.

Primeiramente, para obter a pontuação individual de cada equipe, analisei jogos históricos da NFL. Em particular, os jogos entre 1994 e 2018. Escolhi 1994 porque foi o ano em que a regra da conversão de dois pontos entrou em vigor, o que deve suavizar um pouco a distribuição da pontuação individual de cada equipe. Parei em 2018 porque esse era o limite superior dos dados disponíveis. Aqui está a distribuição.

Pontuações individuais das equipes da NFL de 1994 a 2018

Pontos Contar Probabilidade
0 170 0,013490
1 0 0,000000
2 2 0,000159
3 303 0,024044
4 0 0,000000
5 5 0,000397
6 267 0,021187
7 420 0,033328
8 29 0,002301
9 188 0,014918
10 706 0,056023
11 32 0,002539
12 123 0,009760
13 646 0,051262
14 530 0,042057
15 128 0,010157
16 434 0,034439
17 892 0,070782
18 91 0,007221
19 282 0,022377
20 860 0,068243
21 511 0,040549
22 189 0,014998
23 548 0,043485
24 821 0,065148
25 118 0,009364
26 267 0,021187
27 673 0,053404
28 382 0,030313
29 131 0,010395
30 336 0,026662
31 578 0,045866
32 61 0,004841
33 146 0,011585
34 394 0,031265
35 200 0,015870
36 71 0,005634
37 163 0,012934
38 265 0,021028
39 30 0,002381
40 50 0,003968
41 146 0,011585
42 78 0,006189
43 25 0,001984
44 58 0,004602
45 85 0,006745
46 7 0,000555
47 16 0,001270
48 47 0,003730
49 35 0,002777
50 5 0,000397
51 15 0,001190
52 14 0,001111
53 1 0,000079
54 4 0,000317
55 6 0,000476
56 6 0,000476
57 2 0,000159
58 3 0,000238
59 5 0,000397
60 0 0,000000
61 0 0,000000
62 2 0,000159
Total 12602 1.000000

Não que isso importe, mas a pontuação média da equipe é 21,60165.

Em segundo lugar, para cada placar xy que nunca ocorreu, calculei a probabilidade como 2 × prob(x) × prob(y). Por que multiplicar por dois? Porque um placar de xy pode acontecer de duas maneiras. Por exemplo, o Super Bowl 55 poderia terminar com um resultado de Kansas City x -- Tampa Bay y, ou Kansas City y -- Tampa Bay x. Um Super Bowl pode não terminar empatado, então não precisamos nos preocupar com placares xx. Se precisássemos, não multiplicaríamos por 2.

Por exemplo, uma pontuação de 11 a 15 nunca aconteceu. Eu estimo a probabilidade de um 11 em 0,002539 e a de um 15 em 0,010157. Isso tornaria a probabilidade de uma pontuação de 11 a 15 igual a 2 × 0,002539 × 0,010157 = 0,0000515835.

Fazendo isso para cada placar que nunca aconteceu, o resultado é uma probabilidade total de 0,0179251. A linha justa para uma aposta nisso seria +5479, ou cerca de 55 para 1. Portanto, apostar contra com uma cotação de apenas 11 para 1 é uma ótima aposta! Gostaria de ter acesso a ela.

Admito que isso atribui zero à possibilidade de qualquer uma das equipes marcar um ponto, o que nunca aconteceu, mas poderia. Sim, existe a possibilidade de um safety de um ponto . A probabilidade de qualquer uma das equipes marcar apenas um ponto, na minha opinião, é extremamente ínfima.

Na realidade, o total de pontos previsto para o Super Bowl 55 era de 56,5. Um jogo com uma pontuação tão alta aumentaria a probabilidade de um "Scorigami" (jogo com placares muito altos e muitos pontos perdidos). Se tivesse que fazer uma estimativa, diria que seria de 2%, o que daria uma linha justa de 49 para 1.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Qual é a probabilidade de obter uma soma de 53 ao lançar 15 dados?

gordonm888

A resposta é 27.981.391.815/6^15 = 0,059511.

Existe uma maneira fácil de obter essas respostas em uma planilha. Para ilustrar, considere uma pergunta alternativa: qual é a probabilidade de obter um total de 20 com oito dados?

Na coluna "1 Dado", obviamente existe apenas uma maneira de rolar cada total de 1 a 6.

Para cada célula com dois ou mais dados, vá uma célula para a esquerda e some as seis células acima dessa célula. O motivo disso funcionar deve ser óbvio. Copie e cole essa fórmula na célula correspondente a oito dados e um total de 20.

Você pode ver que essa célula tem um total de 36.688. Existem 8 × 6 = 262.144 maneiras de rolar oito dados de seis lados. Isso torna a resposta para a probabilidade de um total de 20 com oito dados 36.688 / 262.144 = 0,139954.

Usando a mesma lógica, a probabilidade de um total de 53 com 20 dados é 0,059511.

Totais dos dados

Total 1 dia 2 dados 3 dados 4 dados 5 dados 6 dados 7 dados 8 dados
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0 0
3 1 2 1 0 0 0 0 0
4 1 3 3 1 0 0 0 0
5 1 4 6 4 1 0 0 0
6 1 5 10 10 5 1 0 0
7 6 15 20 15 6 1 0
8 5 21 35 35 21 7 1
9 4 25 56 70 56 28 8
10 3 27 80 126 126 84 36
11 2 27 104 205 252 210 120
12 1 25 125 305 456 462 330
13 21 140 420 756 917 792
14 15 146 540 1161 1667 1708
15 10 140 651 1666 2807 3368
16 6 125 735 2247 4417 6147
17 3 104 780 2856 6538 10480
18 1 80 780 3431 9142 16808
19 56 735 3906 12117 25488
20 35 651 4221 15267 36688

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Você é um pirotécnico responsável pelo espetáculo de fogos de artifício noturno em um parque de diversões. Você recebeu alguns foguetes de um modelo novo da Europa e está testando um deles para sincronizá-lo com a trilha sonora do show.

O foguete de artifício é lançado verticalmente para cima com uma aceleração constante de 4 m/s² até que o combustível químico se esgote. Sua ascensão é então desacelerada pela gravidade até atingir uma altura máxima de 138 metros, onde detona.

Considerando que não há resistência do ar e que a aceleração da gravidade é de 9,8 metros por segundo ao quadrado, quanto tempo leva para o foguete atingir sua altura máxima?

Gialmere

A resposta é 483/49 = aproximadamente 9,8571 segundos.

Deixar:
t = tempo decorrido desde que o combustível do foguete acabou.
r = tempo de duração do combustível do foguete.

Vou expressar a aceleração em termos de uma direção ascendente. Portanto, a aceleração após o combustível do foguete se esgotar é -9,8.

Só para relembrar, a integral da aceleração é a velocidade e a integral da velocidade é a posição. Vamos considerar a posição em relação ao solo.

Quando o foguete é lançado pela primeira vez, é-nos dado que a aceleração é 4.

Calculando a integral, a velocidade do foguete após r segundos é igual a 4r.

A integral da velocidade nos dá a localização do foguete após r segundos de 2r 2 .

Agora vejamos o que acontece depois que o combustível do foguete se esgota.

Sabemos que a aceleração da gravidade é -9,8.

A velocidade devido à gravidade no instante t é -9,8t. No entanto, ela também possui uma velocidade ascendente de 4r devido ao foguete.

Seja v(t) = velocidade no instante t

v(t) = -9,8t + 4r

O foguete atingirá a altura máxima quando v(t) = 0. Vamos calcular isso.

v(t) = 0 = -9,8t + 4r
4r = 9,8t
t = 40/98 r = 20r/49.

Em outras palavras, seja qual for o tempo que o combustível do foguete durar, ele continuará subindo por 20/49 desse tempo.

Também nos foi informado que a distância percorrida na altitude máxima atingida é de 138 metros.

Vamos calcular a integral de v(t) para obter a fórmula da distância percorrida, que chamaremos de d(t).

d(t) = -4,9t 2 + 4rt + c, onde c é uma constante de integração.

Como já mostramos, o foguete percorreu 2r² até o combustível se esgotar, então essa deve ser a constante de integração. Isso nos dá:

d(t) = -4,9t² + 4rt + 2r²

Sabemos que a altitude máxima de 138 foi atingida no instante 20r/49. Então, vamos substituir t = 20r/49 na equação para encontrar o valor de r:

d((20r/49) = -4,9((20r/49) 2 + 4r(20r/49) + 2r 2 = 138

r 2 *(-1960/2401 + 80/49 + 2) = 138

r 2 = 49

r = 7

Assim, o combustível do foguete durou sete segundos.

Já sabemos que o foguete continuou subindo por 20/49 desse tempo, o que é 140/49 = aproximadamente 2,8571 segundos.

Assim, o tempo desde o lançamento até a velocidade máxima é de 7 + 140/49 = 483/49 = aproximadamente 9,8571 segundos.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .