Pergunte ao Mago #341

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 2 é 1/36. Em t lançamentos, o número esperado de lançamentos com um total de 2 é t/36. Suponha que o tempo entre os lançamentos seja distribuído exponencialmente com uma média de t/36. A distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de zero lançamentos com um total de 2 é exp(-t/36).

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 3 é 2/36 = 1/18. Pela mesma lógica, a distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de rolar zero com um total de 3 é exp(-t/18).

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 4 é 3/36 = 1/12. Pela mesma lógica, a distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de rolar zero com um total de 4 é exp(-t/12).

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 5 é 4/36 = 1/9. Pela mesma lógica, a distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de rolar zero com um total de 5 é exp(-t/9).

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 6 é 5/36. Pela mesma lógica, a distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de rolar zero com um total de 6 é exp(-5t/36).

Lembre-se que a probabilidade de rolar um total de 7 é 6/36 = 1/6. Pela mesma lógica, a distribuição de Poisson nos diz que a probabilidade de rolar zero com um total de 7 é exp(-t/6).

As probabilidades de 8 a 12 são as mesmas que as de 2 a 6.

Assim, a probabilidade de que em t unidades de cada total tenha sido rolado pelo menos uma vez é:

(1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

A probabilidade de que pelo menos o total NÃO tenha sido rolado em t unidades de tempo é 1 - (1-exp(-t/36))^2 * (1-exp(-t/18))^2 * (1-exp(-t/12))^2 * (1-exp(-t/9))^2 * (1-exp(-5t/36))^2 * (1-exp(-t/6))

Para obter o tempo esperado sem pelo menos um total, integramos a função acima de 0 ao infinito.

Uma calculadora de integrais (recomendo esta ) resolverá facilmente isso como 769767316159/12574325400 = aproximadamente 61,2173847639572 rolos.

É difícil explicar por que a resposta é infinito. Para tornar as coisas ainda mais confusas e paradoxais, a probabilidade de os totais serem iguais em algum momento é 1.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de os totais serem iguais pela primeira vez após 1 a 16 lançamentos.

O Excel mostra que um ajuste muito próximo a esta curva é y = 0,1784*x-1,011, onde x = número de lançamentos e y = probabilidade.

A soma dessa série infinita é infinita.