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Pergunte ao Mago #348

Duas cidades, Fauntleroy e Southworth, ficam separadas por um canal. Duas balsas fazem a travessia entre as duas cidades o dia todo. As balsas viajam em velocidades diferentes. Ao mesmo tempo, ambas partem, uma de cada cidade.

A primeira travessia ocorre a 8 km de Southworth. A segunda travessia ocorre a 5 km de Fauntleroy. Considere que não há tempo para carga e descarga, mas que ambos os veículos fazem um retorno imediato. Considere também que seguem em linha reta.

Qual a distância entre as duas cidades?

anônimo

12 milhas

Seja t 1 = tempo até o primeiro cruzamento
Seja t₂ o tempo até o segundo cruzamento.
r = razão entre a velocidade inicial da balsa ao sair de Fauntleroy e a velocidade inicial da balsa ao sair de Southworth.
c = Distância do canal entre duas cidades.

Sabemos que a primeira vez que eles se cruzam é a 5 milhas de Southworth. Para expressar isso em fórmulas:

c-5 = r*t 1
5 = t 1

Igualando t 1 , obtemos:

c-5 = 5r, ou r = (c-5)/5

Também nos foi informado que a segunda vez que eles cruzam o rio é a 3 milhas de Fauntleroy. Para expressar isso em fórmulas:

3c - 3 = r*t 2
c+3 = t 2

Igualando t 2 , obtemos:

2c - 3 = r*(c+3)

Substitua r=(c-5)/5

2c-3 = [(c-5)/5] * (c+3)
10c - 15 = c² - 2c - 15
c² - 12c = 0 c - 12 = 0 c = 12

Portanto, o canal tem 12 milhas de comprimento.

Se a aposta Fire Bet fosse oferecida no Craps sem Craps , qual seria a probabilidade de ganhar?

anônimo

Só para lembrar, no Craps sem apostas, os números 2, 3, 11 e 12 não resolvem imediatamente uma aposta na linha de passe, mas são considerados pontos, assim como os números 4, 5, 6, 8, 9 e 10.

A resposta é aproximadamente 1 em 344.842.585.

O primeiro passo da minha solução requer o cálculo da probabilidade de qualquer resultado dado na aposta da linha de passe, da seguinte forma.

Craps sem merda: Possíveis resultados

Evento Fórmula Probabilidade Fração
Venham rolar 1/6 0,166667 1/6
Ponto 2 vitória (1/36)*(1/7) 0,003968 1/252
Ponto 3 vitória (2/36)*(2/8) 0,013889 1/72
Ponto 4 vitória (3/36)*(3/9) 0,027778 1/36
Vitória do ponto 5 (4/36)*(4/10) 0,044444 2/45
Vitória do ponto 6 (5/36)*(5/11) 0,063131 25/396
Vitória do ponto 8 (5/36)*(5/11) 0,063131 25/396
Vitória do ponto 9 (4/36)*(4/10) 0,044444 2/45
Vitória do ponto 10 (3/36)*(3/9) 0,027778 1/36
Vitória do ponto 11 (2/36)*(2/8) 0,013889 1/72
Vitória do ponto 12 (1/36)*(1/7) 0,003968 1/252
Ponto 2 de perda (1/36)*(6/7) 0,023810 1/42
Ponto 3 de perda (2/36)*(6/8) 0,041667 1/24
Ponto 4 de perda (3/36)*(6/9) 0,055556 1/18
Ponto 5 de perda (4/36)*(6/10) 0,066667 1/15
Ponto 6 de perda (5/36)*(6/11) 0,075758 5/66
Ponto 8 perda (5/36)*(6/11) 0,075758 5/66
Ponto 9 de perda (4/36)*(6/10) 0,066667 1/15
Ponto 10 perda (3/36)*(6/9) 0,055556 1/18
Ponto 11 de perda (2/36)*(6/8) 0,041667 1/24
Ponto 12 de perda (1/36)*(6/7) 0,023810 1/42

Se você somar todas as maneiras de perder, obterá 7303/13860 = aproximadamente 0,526912.

O próximo passo na minha solução para este problema utiliza cálculo. Baseia-se no fato de que a resposta seria a mesma se houvesse um período de tempo aleatório entre a resolução das apostas na linha de passe. Vamos chamar o tempo médio entre as resoluções das apostas de 1 e distribuí-lo segundo uma distribuição exponencial, o que significa que possui a propriedade de não ter memória.

Seja x o tempo decorrido desde que o atirador iniciou seu turno.

A probabilidade de o atirador não conseguir uma vitória por 2 pontos é exp(-x/252). Portanto, a probabilidade de conseguir pelo menos uma vitória por 2 pontos é 1-exp(-x/252).

A probabilidade de o atirador não conseguir uma vitória com 0,3 é exp(-x/72). Portanto, a probabilidade de conseguir pelo menos uma vitória com 0,3 é 1-exp(-x/72).

A probabilidade de o atirador não conseguir uma vitória com ponto e 4 pontos é exp(-x/36). Portanto, a probabilidade de conseguir pelo menos uma vitória com ponto e 4 pontos é 1-exp(-x/36).

A probabilidade de o atirador não conseguir uma vitória com 0,5 pontos é exp(-2x/45). Portanto, a probabilidade de conseguir pelo menos uma vitória com 0,5 pontos é 1-exp(-2x/45).

A probabilidade de o atirador não conseguir uma vitória com 0,6 pontos é exp(-2x/45). Portanto, a probabilidade de conseguir pelo menos uma vitória com 0,6 pontos é 1-exp(-x/72).

Observe que essas probabilidades são as mesmas para 8 a 12, então podemos elevá-las ao quadrado para mostrar que cada uma foi alcançada duas vezes.

A probabilidade de o atirador não ter perdido é exp(-7303x/13860).

A probabilidade de perder é de 7303/13860.

Podemos resolver o problema integrando, de t = 0 ao infinito, a probabilidade de que o produto de todos os requisitos para ganhar tenha sido atendido, o resultado perdedor não tenha sido atingido e a probabilidade de perder, dada uma aposta, tenha sido resolvida.

A função que está sendo integrada é exp(-7303x/13860)*(1-exp(-x/252))^2*(1-exp(-x/72))^2*(1-exp(-x/36))^2*(1-exp(-2x/45))^2*(1-exp(-25x/396))^2*(7303/13860).

Insira esse valor em uma calculadora de integrais, como a do site integral-calculator.com . Lembre-se de inserir os limites de 0 ao infinito. A resposta será o que está expresso acima.

Obrigado pela sua análise dos progressivos obrigatórios . Minha pergunta é: sua fórmula para o ponto de acerto necessário para jogar pressupõe uma vantagem imediata para o jogador ou uma situação que pode ser ligeiramente negativa no início, mas que logo se tornará positiva à medida que o jogador contribui para o medidor?

anônimo

Boa pergunta. Anteriormente, havia uma fórmula para um jogador de "curto prazo", onde o prêmio acumulado deve ser positivo na primeira aposta.

No entanto, para o jogador de longo prazo, que pode se dar ao luxo de jogar até ganhar o prêmio máximo, o ponto de acerto é menor. Atualizei a página para incluir fórmulas para ambos os tipos de jogadores. Resumidamente, as duas fórmulas são:

j (curto prazo) = m × (1-f)/(1-f+r)
j (longo prazo) = m × (1-fr)/(1-f+r)

Onde:

j = Tamanho do jackpot de equilíbrio (com vantagem da casa de 0%)
f = Valor total de todos os ganhos fixos mais pontos e incentivos do programa de fidelidade do cassino.
m = Prêmio máximo (o ponto em que o prêmio deve ser ganho)
n = Prêmio mínimo (o ponto de reinicialização)
r = Taxa de elevação do medidor

Você deseja jogar um jogo que requer um dado comum de seis lados. Infelizmente, você perdeu o dado. No entanto, você tem quatro fichas, que pode marcar como quiser. O jogador deve escolher duas fichas aleatoriamente dentre as quatro, sem reposição, e somar os valores das duas fichas.

Como numerar as cartas de forma que a soma de duas cartas diferentes represente o resultado do lançamento de um dado?

Gialmere

Numere-os de 0 a 4.

Existem seis maneiras de comprar duas cartas dentre quatro, conforme descrito a seguir.

  • 0+1 = 1
  • 0+2 = 2
  • 1+2 = 3
  • 0+4 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2+4 = 6

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .