Pergunte ao Mago #350

De fato, parece haver um incentivo para levar o jogo à prorrogação no hóquei, pelo motivo que você mencionou. Vamos analisar alguns dados para responder à sua pergunta. Os dados a seguir são de quatro temporadas de hóquei, começando com a temporada 2017/2018.

A tabela a seguir detalha os 7.846 jogos disputados ao longo das quatro temporadas, classificando-os como jogos da temporada regular ou dos playoffs e indicando se foram para a prorrogação. A tabela mostra que, durante a temporada regular, 11,27% dos jogos foram para a prorrogação, enquanto nos playoffs esse percentual foi de 54/544 = 9,03%.

A questão é se essa diferença entre 11,27% e 9,03% é estatisticamente significativa ou se pode ser explicada pela distribuição normal dos resultados. Para testar as médias de duas amostras, vou realizar um teste qui-quadrado, semelhante à calculadora de comparação de proporções do MedCalc.org. Ao longo de 7.846 jogos, 871 foram para a prorrogação, o que corresponde a uma probabilidade de 11,10%. A probabilidade de não haver prorrogação é de 88,90% na mesma amostra. Se assumirmos que não há diferença estatisticamente significativa entre os jogos da temporada regular e os jogos dos playoffs, então 804,6 jogos da temporada regular deveriam ter ido para a prorrogação, e 66,4 jogos dos playoffs.

A tabela a seguir compara os resultados reais com as expectativas, partindo do pressuposto de que a probabilidade real de prorrogação é a mesma tanto para a temporada regular quanto para os jogos dos playoffs. A coluna da direita mostra a estatística qui-quadrado, que é o quadrado da diferença entre os totais reais e esperados, dividido pelo total esperado.

A tabela acima mostra uma estatística qui-quadrado de 2,813628. Com um grau de liberdade, a probabilidade de resultados com essa assimetria ou mais é de 9,347%. Em outras palavras, se não houvesse mudança de comportamento entre um jogo da temporada regular e um jogo dos playoffs, resultando em uma probabilidade verdadeiramente igual de prorrogação, a probabilidade de vermos uma disparidade de 2,24% ou mais em jogos que vão para a prorrogação seria de 9,347%. Simplificando, essa evidência aponta para uma diferença estatisticamente significativa entre as taxas de prorrogação entre os dois tipos de jogos. No entanto, ainda há uma chance de 9,35% de que isso possa ser explicado pela variância aleatória normal.

Devo acrescentar que a calculadora MedCalc que mencionei, assim como outras fontes, aplica um ajuste "N-1" à estatística qui-quadrado. Mais especificamente, multiplicam a estatística qui-quadrado por (N-1)/N, onde N é o número total de observações. Nesse caso, a estatística qui-quadrado ajustada seria 2,813628 * (7845/7846) = 2,813270. O valor p para essa estatística qui-quadrado com um grau de liberdade é 9,349%. Lamento complicar as coisas com esse pequeno ajuste, mas tenho certeza de que, se não o fizesse, meus leitores se perguntariam por quê.

Pessoalmente, acredito que as equipes jogam para chegar à prorrogação com mais frequência na temporada regular do que nos playoffs, e os dados ajudam a corroborar essa ideia, mas não a comprovam de forma irrefutável.

Links externos

• Utilização da estatística Qui-Quadrado na Escola de Saúde Pública Johns Hopkins Bloomberg.

Vai ser difícil estimar o desempenho de Verlander, então vamos deixá-lo por último.

Na temporada de 2019/2020, Steph Curry teve uma porcentagem de lances livres de 93,10% (fonte: Basketball Reference ).

A média da NFL para um chute a gol de 40 jardas é de 85,83%. No entanto, eu argumentaria que Tucker é melhor que a média. Para chutes a gol entre 30 e 39 jardas, a média da NFL é de 89,32%, mas para Tucker é de 96,63%. Aplicando essa porcentagem de Tucker à média da NFL, estimo que a probabilidade de Tucker acertar um chute a gol de 40 jardas seja de 85,85% × (96,63%/89,32%) = 92,86%.

No beisebol, a situação se complica. É preciso questionar se estamos falando de arremessos reais em jogos de verdade ou em uma demonstração controlada. Isso é importante porque, em jogos reais, os arremessadores não se esforçam para acertar a zona de strike todas as vezes. Na maioria das vezes, eles tentam arremessar perto da borda da zona de strike, dificultando que o rebatedor consiga uma rebatida limpa.

Não tenho estatísticas para comprovar isso, mas já vi arremessadores no bullpen em jogos da liga menor que parecem colocar a bola exatamente na luva do receptor, sem que ele precise se mexer, quase sempre. Estimo que um arremessador como Verlander conseguiria acertar a zona de strike em um teste controlado em pelo menos 95% das vezes. No entanto, em jogos reais, a porcentagem de strikes de Verlander é de apenas 68,50%.

Para obter a probabilidade de 100 tentativas bem-sucedidas consecutivas, ignorando o fator de fadiga, basta elevar a probabilidade de uma única tentativa bem-sucedida à potência de 100.

Resumindo, se estivermos falando de um experimento controlado, eu escolheria Verlander, e em condições reais de jogo, eu escolheria Curry.

Essa pergunta foi originalmente feita no Barstool Sports . Há também muita discussão sobre ela no meu fórum, Wizard of Vegas .

Aqui estão algumas fórmulas que o leitor pode achar úteis:

Deslize para baixo para ver minha resposta e solução.

Por "eficiente", presumo que você queira dizer qual arma tem o menor espaço desperdiçado entre as balas de canhão.

Para simplificar, e para definir o volume de cada pirâmide, vamos usar o centro das bolas localizadas nos vértices da pirâmide. Vamos considerar n como o número de balas de canhão em cada lado da base de cada pirâmide.

Vamos analisar primeiro a pirâmide com base quadrada.

O número de balas de canhão em toda a pirâmide é 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + 5 ² + 6 ² + ... + n ² = n*(n+1)*(2n+1)/6.

Em seguida, vamos encontrar a altura desta pirâmide quadrada onde um lado da base mede n. Como pode ser visto na figura, os lados (exceto a base quadrada) são triângulos equiláteros. Portanto, a geratriz também mede n. A distância de um canto da base ao canto oposto é n√2. A distância de um canto da base ao centro da base é, portanto, n√2/2. Seja h a altura. Considere o triângulo retângulo formado pela altura, a distância de um canto da base ao centro da base e a geratriz.

h ² + (n*sqrt(2)/2) ² = n ²
h = n*sqrt(2)/2.

Lembre-se que o volume de uma pirâmide é dado por base * altura / 3. Isso torna o volume da pirâmide:

A razão entre bolas e volume é, portanto, [n*(n+1)*(2n+1)/6] / [n ³ *sqrt(2)/6] = sqrt(2)*n*(n+1)*(2n+1)/(2*n ³ ) = sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )

Em seguida, vamos analisar a pirâmide com base triangular.

O número de balas de canhão em toda a pirâmide é 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + ... + n*(n+1)/2 = n*(n+1)*(n+2)/6.

Em seguida, vamos encontrar a área da base. Lembre-se, os lados de um triângulo 30-60-90 são proporcionais a 1/2, √3/2 e 1. A partir disso, não é difícil encontrar a altura de um triângulo equilátero de lado n, que é n√3/2. Isso faz com que a área da base seja ^n²√3 /4.

A distância de um canto da base ao centro da base é sqrt(3)/3. Dado isso e a altura inclinada de 1 da pirâmide, podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar a altura da pirâmide como sqrt(6)/3.

Agora podemos encontrar o volume da pirâmide como base*altura/3 = (n ² *sqrt(3)/4) * (n*sqrt(6)/3) * (1/3) = n ³ *sqrt(18)/36 = n ³ *sqrt(2)/12.

A razão entre o número de bolas e o volume é, portanto, [n*(n+1)*(n+2)/6] / [ ^n³ *√2/12] = √2*n*(n+1)*(2n+1)/(2* ^n³ ) = √2*(n+1)*(n+2)/ ^n²

Segue uma comparação das proporções entre o volume das bolas e o volume total:

• Base quadrada: sqrt(2)*(n+1)*(2n+1)/(2*n ² )
• Base do triângulo: sqrt(2)*(n+1)*(n+2)/n ²

Vamos dividir ambas as razões por sqrt(2)*(n+1)/n ² :

• Base quadrada: (2n+1)/2 = n + 0,5
• Base do triângulo: n+2

À medida que n aumenta, a proporção entre o número de balas e o volume se aproximará de n para ambas as pirâmides. Em outras palavras, quanto maior o número de balas de canhão, mais igualmente eficientes elas serão.

Dado o volume de uma bala de canhão, a eficiência em ambas as pirâmides, definida como a razão entre o volume da bala de canhão e o volume total, aproxima-se de pi*sqrt(2)/6 ≈ 74,05%.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .