Pergunte ao Mago #356

O tempo esperado para que um evento aconteça é igual à soma de todo o tempo em que ele ainda não aconteceu. Isso é válido tanto para variáveis discretas quanto para variáveis contínuas.

A resposta é 712830140335392780521 / 6621889966337599800 =~ 107.6475362712258

Em vez de uma carta ser sorteada exatamente uma vez por unidade de tempo, a resposta será a mesma se uma carta for sorteada com um intervalo de tempo aleatório entre os sorteios, desde que esse tempo médio siga uma distribuição exponencial com média igual a 1.

O intervalo de tempo entre o sorteio de qualquer carta terá uma média de 52. Dadas as propriedades da distribuição exponencial, a probabilidade de a carta não ter sido sorteada após t unidades de tempo é exp(-t/52).

Após t unidades de tempo, a probabilidade de qualquer carta específica ter sido sorteada pelo menos uma vez é 1-exp(-t/52).

Após t unidades de tempo, a probabilidade de 13 cartas específicas terem sido sorteadas pelo menos uma vez é (1-exp(-t/52))^13.

Após t unidades de tempo, pelo menos uma das 13 cartas específicas NÃO terá sido sorteada, sendo 1-(1-exp(-t/52))^13.

Após t unidades de tempo, a probabilidade de cada naipe ter pelo menos uma carta faltando é (1-(1-exp(-t/52))^13)^4.

Ao inserir essa equação em uma calculadora de integrais , tomando o cuidado de definir os limites de integração de 0 ao infinito, obtemos 712830140335392780521 / 6621889966337599800 ≈ 107,6475362712258

A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada jogador, na ordem em que jogaram, sobreviver. A célula inferior direita mostra que o número esperado de sobreviventes é 0,23884892.

Minha solução utilizou uma cadeia de Markov, o que seria difícil e demorado de explicar.

A resposta é 1,9565784%, ou 1 em 51,1096316.

Nas oito cartas dos quatro oponentes, a probabilidade de que quatro delas sejam ases é combin(46,4)/combin(50,8) = 0,000303951.

A partir daí, a probabilidade de que os quatro ases estejam em mãos diferentes é 1-2^4*4!*4!/8! = 0,228571429. Portanto, a probabilidade da alternativa, de haver pelo menos um par de ases, é 1 - 0,228571429 = 0,771428571.

A probabilidade de que todos os quatro ases estejam fora e que pelo menos uma mão tenha dois deles é 0,000303951 * 0,771428571 = 0,000234477.

Nas oito cartas dos quatro oponentes, a probabilidade de que três delas sejam ases é combin(4,3) * combin(46,5)/combin(50,8) = 0,010212766.

A partir daí, a probabilidade de dois deles estarem na mesma mão é 4*3*COMBIN(3,2)*5*COMBIN(4,2)/(COMBIN(8,2)*COMBIN(6,2)*COMBIN(4,2)) = 0,428571429.

A probabilidade de três dos ases estarem fora e dois deles estarem na mesma mão é 0,010212766 * 0,428571429 = 0,0043769.

Nas oito cartas dos quatro oponentes, a probabilidade de que duas delas sejam ases é combin(4,2) * combin(46,6)/combin(50,8) = 0,104680851.

A probabilidade de ambas estarem na mesma mão é 1/7 = 0,142857143.

A probabilidade de dois ases estarem fora da mão e serem da mesma mão é 0,104680851 * 0,142857143 = 0,014954407.

Somando as maneiras pelas quais pelo menos um oponente pode obter dois ases, obtemos a resposta 0,000234477 + 0,0043769 + 0,014954407 = 0,019565784.