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Pergunte ao Mago #359
Aqui está mais um enigma do Charada .
Há 100 bolinhas de gude em um saco. Cada bolinha é vermelha, azul ou verde. Se três bolinhas forem retiradas do saco, a probabilidade de se obter uma de cada cor será de 20%. Quantas bolinhas de cada cor há no saco? Observe que não especifiquei se as bolinhas são retiradas com ou sem reposição.
Vamos tentar resolver isso considerando a hipótese de reposição. Sejam r, b e g o número de bolinhas vermelhas, azuis e verdes, respectivamente. Então, a probabilidade de retirar uma bolinha de cada cor seria 6*(r/100)*(b/100)*(g/100). Igualando isso a 0,2, podemos dizer:
6*(r/100)*(b/100)*(g/100) = 0,2
6*r*b*g = 200000
6 não divide 200.000 exatamente. Portanto, não há soluções inteiras possíveis para r*b*g = 33333,333... Assim, podemos descartar a possibilidade de sorteio com reposição.
Em seguida, vamos tentar a hipótese "sem reposição". Nesse caso, a probabilidade de retirar um item de cada cor é r*b*g/combin(100,3) = 0,2. Tentando resolver isso...
r*b*g/161700 = 0,2
r*b*g = 32340
A fatoração em números primos de 32340 é 2*2*3*5*7*7*11.
Precisamos distribuir esses fatores entre r, b e g, mantendo r+b+g=100. Por exemplo, poderíamos tentar:
r = 2*3*5 = 30
b = 2*11 = 22
g = 7*7 = 49
Embora essas equações utilizem corretamente todos os fatores primos, r+b+g = 101, portanto não é uma solução válida.
Receio que tenha tido que escrever um programa de força bruta com repetição para obter a solução de r, b e g com valores de 21, 35 e 44, em qualquer ordem.
Qual é a sua análise da seguinte estratégia no craps para transformar uma aposta de $5 em $1.200? Comece com uma aposta de $5 no 4. Se ganhar, você aposta o valor ganho no 5. Se ganhar também, aposta o valor ganho no 6. Continue apostando no 8, 9 e depois no 10. Você pode assumir que o jogador adiciona $1 após ganhar no 4 e no 8, para manter as apostas em números redondos.
A probabilidade de ganhar no 4 é 3/(3+6) = 3/9 = 1/3. Uma aposta no 4 paga 9 para 5, então se essa aposta ganhar você terá um total de $9 + $5 = $14.
Em seguida, o jogador adiciona $1 à sua aposta, totalizando $15 no 5. A probabilidade de ganhar no 5 é 4/(4+6) = 4/10 = 2/5. Uma aposta no 5 paga 7 para 5, então, se essa aposta for vencedora, você terá um total de $21 + $15 = $36. A probabilidade de chegar pelo menos até aqui é (1/3)*(2/5) = 13,33%.
Em seguida, o jogador aposta $36 no número 6. A probabilidade de ganhar no 6 é 5/(5+6) = 5/11. Uma aposta no 6 paga 7 para 6, então, se essa aposta for vencedora, você terá um total de $42 + $36 = $78. A probabilidade de chegar pelo menos até aqui é (1/3)*(2/5)*(5/11) = 2/33 = 6,06%.
Em seguida, o jogador aposta $78 no número 8. A probabilidade de ganhar no 8 é 5/(5+6) = 5/11. Uma aposta no 8 paga 7 para 6, então, se essa aposta for vencedora, você terá um total de $91 + $78 = $169. A probabilidade de chegar pelo menos até aqui é (1/3)*(2/5)*(5/11)^2 = 10/363 = 2,75%
Em seguida, o jogador adiciona $1 do seu bolso aos $169 e aposta $170 no 9. A probabilidade de ganhar no 9 é 4/(4+6) = 2/5. Uma aposta no 9 paga 7 para 5, então, se essa aposta for vencedora, você terá um total de $238 + $170 = $408. A probabilidade de chegar pelo menos até aqui é (1/3)*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/363 = 1,10%
Finalmente, estamos prontos para apostar no 10. Com a menor vantagem da casa na aposta de compra, vamos supor que o jogador aposte nela. Você não especificou se o jogador deve pagar a comissão antecipadamente ou apenas em caso de vitória. Vamos analisar primeiro o pagamento antecipado da comissão. De acordo com essa regra, o valor da aposta deve ser divisível por $21. Vamos supor que o jogador aposte $380 no 10, pague antecipadamente uma comissão de 5% (ou seja, $19) e fique com os outros $9 dos seus $408.
A probabilidade de ganhar no 4 é 3/(3+6) = 3/9 = 1/3. Uma aposta vencedora de $380 pagará $760 em ganhos, totalizando $760 + $380 = $1.140. A probabilidade de chegar pelo menos até aqui é (1/3)^2*(2/5)^2*(5/11)^2 = 4/1089 = 0,37% = 1 em 272,25.
Lembre-se que o jogador apostou $5 + $1 + $1 no caminho, mas embolsou $9 após a vitória com um 9, para um lucro líquido de $1.142. Se definirmos a vantagem da casa como a perda esperada em relação à aposta original de $5, então seria $1,06/$5,00 = 21,16%.
Em seguida, vejamos o que acontece se a comissão for paga apenas sobre os ganhos no número 10. Nesse caso, as apostas de compra no número 10 devem ser divisíveis por US$ 20. Vamos supor que o jogador embolse US$ 8 e aposte os outros US$ 400.
Uma aposta vencedora de $400 renderá $780 em ganhos, totalizando $780 + $400 = $1.180.
Lembre-se que o jogador apostou $5 + $1 + $1 no caminho, mas embolsou $8 após a vitória com um 9, para um lucro líquido de $1.181. Se definirmos a vantagem da casa como a perda esperada em relação à aposta original de $5, então seria de $0,92/$5,00 = 18,44%.
Portanto, não conseguiremos chegar a US$ 1.200 a menos que o jogador saque mais dinheiro do próprio bolso após uma vitória no número 9, ou em algum outro momento do jogo. Não posso endossar essa estratégia em termos de valor, mas parece que ela oferece muita diversão e emoção.
No cassino Golden Lion, na Cidade do Panamá, o crupiê oferece seguro com uma carta de 10 pontos. O pagamento é o mesmo, 2 para 1, tanto para um blackjack quanto para um ás. São usados seis baralhos. Qual é a vantagem da casa quando o crupiê tem um 10 à mostra?
Ai! Vi essa mesma regra horrível e ignorante no MGM em Macau.
A probabilidade de a carta fechada ser um ás com um 10 virado para cima é (6*4)/(6*52-1) = 7,717%. O retorno esperado é 0,077170×2 + 0,922830×-1 = -0,768489. Em outras palavras, a vantagem da casa é de 76,85%.