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Pergunte ao Mago #364

Você viaja uma semana no tempo na tentativa de ganhar na loteria. O prêmio é de 10 milhões de dólares, e cada bilhete custa um dólar. Observe que, se você ganhar, o valor do bilhete não será reembolsado. Parece ótimo, não é?

O problema é que você não está sozinho. Existem outros 10 viajantes do tempo que também sabem os números vencedores. Você sabe com certeza que cada um deles comprará exatamente um bilhete de loteria. Agora, de acordo com as regras da loteria, o prêmio é dividido igualmente entre todos os bilhetes vencedores (ou seja, não igualmente entre as pessoas vencedoras).

Quantos ingressos você deve comprar para maximizar seus lucros?

Gialmere

Lembre-se da regra do quociente:

[f(x)/g(x)] d/dx = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/(g(x))^2

9.990

Seja n o número de ingressos que você compra.

Seja w(n) = Lucro líquido se você comprar n bilhetes = 10.000.000 × (n/(n+10)) - n.

Para encontrar o ponto em que um bilhete extra não altera o ganho líquido, calculamos a derivada de w(n). Aqui, usamos a regra do quociente (veja a dica), onde o numerador é n e o denominador é (n+10).

w'(n) = 10.000.000 * (1*(n+10) - n*1)/(n+10)^2 - 1 = 0

10.000.000 * 10/(n+10)^2 - 1 = 0

10.000.000 * 10/(n+10)^2 = 1

100.000.000 = (n+10)^2

10.000 = n+10

n = 9.990

A questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Vi que alguém no fórum afirma ter presenciado 60 mãos vencedoras consecutivas no blackjack. Quantas mãos seriam necessárias, em média, para presenciar isso? Além disso, como isso se compara ao evento mencionado na coluna 363 do Ask the Wizard , em que alguém alega ter presenciado 18 totais de 11 consecutivos no craps?

anônimo

Para responder à sua pergunta, primeiro precisamos assumir algumas regras para o jogo de blackjack. Usarei o que chamo de "regras liberais de stripping", que são as seguintes:

  • Seis decks
  • O revendedor está em cima do 17 macio
  • Dobro após divisão permitido
  • É permitido dividir ases novamente.
  • Rendição permitida

De acordo com essas regras, assumindo uma estratégia básica perfeita, estas são as probabilidades de um resultado líquido positivo/negativo:

  • Lucro líquido: 42,43%
  • Impulso líquido: 8,48%
  • Prejuízo líquido: 49,09%

Interrogamos a testemunha do evento e ela disse que as 60 mãos não incluem empates. Em outras palavras, 60 mãos resolvidas. Também presumiremos que, se o jogador dividir, ainda conta como apenas uma mão e que houve um ganho líquido entre todas as mãos em que o jogador dividiu.

Conforme explicado na questão sobre os 18 totais consecutivos de 11, a fórmula para o tempo de espera esperado é:

Tempo de espera esperado = [(1/p)^(n+1) - 1] / [(1/p) - 1] - 1, onde:
n = número de vitórias consecutivas
p = probabilidade de vitória

Neste caso, a probabilidade de um ganho líquido por mão, dada uma mão resolvida, é de 42,43% / (43,43% + 49,09%) = 46,36%. Para ser mais específico, 0,46359564.

Usando a fórmula acima, o tempo de espera esperado para observar este evento é (1/0,46359564)^61 - 1]/[(1/0,46359564) - 1] - 1 = 200.941.772.393.648.000.000 mãos.

Em comparação, o tempo de espera para observar 18 totais de 11 em sequência no craps é de 41.660.902.667.961.000.000.000 lançamentos, ou seja, 207 vezes mais. Portanto, a história do rapaz de 18 anos ainda detém o recorde de maior exagero contado no fórum Wizard of Vegas, até onde eu sei.

Eu tinha US$ 300 em créditos e convidei alguns amigos para usá-los em um restaurante. Nos divertimos bastante até a conta dar cerca de US$ 386 com impostos e gorjeta. Meus amigos propositalmente não levaram dinheiro e presumiram que eu pagaria os impostos e a gorjeta para todos. Fiquei chateado e disse a eles que achava que todos deveriam dividir os impostos e a gorjeta, já que os créditos não os cobrem.

Eles argumentaram que eu deveria pagar todos os impostos e a gorjeta, já que eu os havia convidado e esses eram meus benefícios. Eu argumentei que o mínimo de cortesia seria pagar uma parte justa dos impostos e da gorjeta. Meus amigos ficaram indignados e acharam que eu estava sendo irracional, recusando-se a contribuir com os impostos e a gorjeta. Acabei pagando os cerca de US$ 86 em impostos e gorjeta, pois ficou claro que nenhum dos meus amigos pagaria. E o garçom estava ficando impaciente. Em vez de me agradecerem por usar meus benefícios e pagar os impostos e a gorjeta, eles ficaram chateados comigo por eu sequer ter pedido que contribuíssem. Eu errei nessa situação?

Riverjordan

Já faz um tempo que não recebo perguntas sobre etiqueta, então, obrigada.

Você está fazendo seus amigos parecerem bem mesquinhos por não contribuírem com os impostos e a gorjeta. Aliás, em Nevada, o cliente não paga imposto sobre uma refeição gratuita, então isso deve ter acontecido em outro estado. De qualquer forma, você deveria ter deixado suas expectativas claras no momento do convite. Portanto, vejo culpa dos dois lados.

Isso pelo menos proporciona uma lição. Já participei de refeições gratuitas em Las Vegas pelo menos 100 vezes, às vezes quando eu ofereço a cortesia e às vezes quando outra pessoa o faz. A etiqueta que sigo, e que geralmente é aceita, é a seguinte: quem oferece a cortesia explica quaisquer restrições quanto ao valor máximo da cortesia no momento do convite. Depois, todos os convidados pagam o que exceder o valor máximo da cortesia, além da gorjeta.

Essa pergunta foi feita e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .