Pergunte ao Mago #365

1 + π/3 - sqrt(3) =
0,3151467436277204526267681195872952611229178793146546456025078846506724518532
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40423083863353504721515...

115,87286 metros.

Consulte o diagrama a seguir para resolver este problema.

O ponto Q é o centro do círculo gramado. A corrente da cabra está presa ao ponto R. A cabra consegue alcançar todas as regiões coloridas, incluindo sua imagem espelhada abaixo da linha PR.

Sabe-se que o raio do círculo gramado é 100, portanto b + c = d = 100.

A maneira que vou encontrar para resolver isso é definir tudo em termos de b. Depois, vou ajustar os valores de b até obter o resultado desejado, em que a cabra consiga comer metade da grama.

Vamos começar resolvendo para e em função de b. Observando o triângulo com lados b, d e e e usando o teorema de Pitágoras:

b² + e² = d²
b² + e² = 10000
e = sqrt(10000 - b^2)

Em seguida, vamos resolver a equação para f em função de b. Lembre-se, já sabemos que b + c = 100, então c = 100 - b. Usando o Teorema de Pitágoras:

c² + e² = f²
(100-b)^2 + (10000 - b^2) = f^2
f ^ 2 = 10.000 - 200b + b ^ 2 + 10.000 - b ^ 2
f² = 20000 - 200b
f^2 = 100*(200 - 2b)
f = 10*sqrt(200-2b)

Em seguida, vamos calcular a área do triângulo QRS:

QRS = (1/2)*100*e = 50*sqrt(10000 - b^2)

Em seguida, vamos calcular a área da fatia de grama recortada pelo ângulo quadrado:

tan(SQR) = e/b = sqrt(10000-b^2)/b.

fatia SQR = atan(sqrt(10000-b^2)/b)

A área vermelha é igual à fatia SQR menos o triângulo QRS = 5000*atan(sqrt(10000-b^2)/b) - (1/2)*100*e = 50*sqrt(10000 - b^2).

Em seguida, vamos encontrar a área azul + verde + amarela + roxa. Para isso, precisamos encontrar o ângulo QRS.

tan(QRS) = e/c = sqrt(10000-b^2)/(100-b)

ângulo QRS = atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)).

Somando a isso a área vermelha, temos metade da área total que a cabra pode comer:

atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)) + 50*sqrt(10000 - b^2).

Para a parte abaixo da linha PR, dobre esse valor para obter a área total:

2*atan(sqrt(10000-b^2)/(100-b)) + 100*sqrt(10000 - b^2).

A área total da região gramada é de 10.000*pi.

Agora, basta ajustar o valor de b até obter uma área que a cabra possa comer igual a 5.000 * pi. A função Atingir Meta do Excel é ótima para problemas como este. Como alguém conseguia fazer alguma coisa antes das planilhas, eu não faço ideia.

Usando este método, você descobrirá que b = 32,867402.

A partir daí podemos obter f = comprimento da corrente = 115,8728598 metros.