Pergunte ao Mago #367

Para benefício dos demais leitores, a pergunta é: quantas das seguintes totais serão obtidas ao rolar dois dados antes de se obter um total de sete?

A resposta é 2,375758. A tabela a seguir mostra a probabilidade de cada possibilidade individual de rolar de zero a seis totais únicos no intervalo especificado. A célula inferior direita mostra a média dos totais únicos rolados antes de um sete.

As evidências sugerem que isso é verdade!

Persi Diaconis e Susan Holmes, da Universidade de Stanford, registraram 10.000 lançamentos de moeda. A moeda caiu com a face para cima na mesma posição inicial em 50,8% das vezes (fonte: The Fifty-one Percent Solution, do boletim informativo What's Happening in the Mathematical Sciences, da American Mathematical Society). A probabilidade de uma proporção tão alta ou maior é de 5,48%.

Para provar isso matematicamente, assumi que o número real de rotações de uma moeda seguia a distribuição de Poisson. Mais especificamente, se o número médio de rotações fosse m, então a probabilidade de ocorrerem exatamente n rotações seria exp(-m)*m^n/n!. Para ilustrar a distribuição de Poisson, o gráfico a seguir mostra a probabilidade de ocorrerem de 0 a 25 rotações, dada uma média de 10.

A razão pela qual escolhi a hipótese de Poisson é que ela segue uma forma próxima à de uma curva em forma de sino para médias suficientemente grandes, e o resultado real nunca pode ser inferior a zero.

Em seguida, calculei a probabilidade de um número par de meias-revoluções (resultando no mesmo lado da face inicial para cima) para várias médias de meias-revoluções. A tabela a seguir mostra os resultados para médias de 0,5 a 5,0.

Então, comecei a me perguntar por que a probabilidade de um número par era sempre maior que 50%. Acontece que a probabilidade de um número par, dada uma média de m, pode ser expressa como 0,5 + e^(-2m)/2. Como e elevado a qualquer potência deve ser positivo, a probabilidade de um número par de revoluções também é positiva.

Você pode ver a minha demonstração desta fórmula aqui .

Para benefício dos demais leitores, permitam-me repassar as regras primeiro.

1. Existe um tabuleiro com 30 cartas, numeradas de 1 a 30.
2. No verso de cada cartão há uma letra ou a palavra "carro". A distribuição de cada uma é a seguinte:
   • C: 11
   • A: 11
   • R: 6
   • Carro: 2
3. Os anfitriões permitem que o jogador escolha duas cartas.
4. Após um jogo de precificação, no qual não entrarei em detalhes, o jogador tem a oportunidade de ganhar até três cartas adicionais.
5. As cartas serão viradas.
6. O jogador pode ganhar um carro de duas maneiras:
   • O jogador recebe pelo menos uma carta de cada letra (formando assim a palavra CARRO).
   • O jogador recebe pelo menos uma das cartas "CARRO".
7. A qualquer momento do jogo, o jogador pode desistir e receber $1.000 por cada uma de suas cartas que ainda não tiver virado.

Aqui está um vídeo do jogo sendo disputado.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de ganhar, de acordo com a quantidade de cartas que o jogador possui, supondo que nenhuma tenha sido virada ainda.

Antes de qualquer carta ser virada, o jogador não deve desistir, assumindo qualquer valor razoável para o carro. Por exemplo, mesmo com apenas duas cartas, o jogador tem 13,1% de chance de ter pelo menos uma das cartas CARRO. O jogador deve ser indiferente a um valor de desistência de $2.000 se o carro tiver um valor de $15.263,16. Qualquer carro novo valerá mais do que isso.

A seguir, são apresentados os pontos de indiferença no valor do carro, de acordo com a quantidade de cartas não viradas que o jogador possui.