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Pergunte ao Mago #382

Qual é o número esperado de rodadas necessárias para obter cinco vermelhas ou cinco pretas em sequência?

anônimo

A resposta é 4.592.395/118.098 =~ 38,886306 giros.

Aqui está minha solução (PDF).

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Suponha que haja uma promoção de blackjack que ofereça um prêmio enorme para quem conseguir um total de 21 com pelo menos cinco cartas. Quanto mais cartas no 21, maior o prêmio. Se o jogador tiver uma estratégia de "21 ou estourar", qual seria a probabilidade de conseguir um 21 com base no número de cartas?

tooncestdc

A tabela a seguir mostra os resultados de uma simulação de mais de 60,5 bilhões de mãos jogadas com um sapato de seis baralhos. A coluna inversa mostra a probabilidade inversa. Por exemplo, a probabilidade de um 21 com seis cartas é de 1 em 280.

21 ou nada

Cartas em 21 Contar Probabilidade Inverso
Busto 52.104.124.978 0,85994880549 1.16
3 4.759.037.984 0,07854520216 13
4 2.557.594.660 0,04221163821 24
5 908.819.311 0,01499954334 67
6 216.326.234 0,00357034086 280
7 38.049.196 0,00062798024 1.592
8 5.220.188 0,00008615622 11.607
9 572.119 0,00000944250 105.904
10 50.292 0,00000083004 1.204.760
11 3.487 0,00000005755 17.375.910
12 192 0,00000000317 315.571.868
13 14 0,00000000023 4.327.842.761
Total 60.589.798.655 1,00000000000

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

8 / 2 * (2+2) =

anônimo

Primeiro, você avalia o que está entre parênteses, que é 2 + 2 = 4. Depois disso, chegamos a:

8 / 2 * 4 =

Em seguida, fazemos multiplicação e divisão. Se houver mais de uma operação desse tipo, começamos pela esquerda, que é a divisão. Então, calculamos 8/2 = 4 em seguida. Depois disso, chegamos a:

4 * 4 = 16

Já vi essa pergunta no Facebook, onde a resposta 1 foi incorretamente a mais frequente. Culpo a regra PEMDAS (Please Excuse My Dear Aunt Sally - Por Favor, Desculpe Minha Querida Tia Sally). Ela sugere erroneamente que a ordem das operações é: parênteses, expoentes, divisão, multiplicação, divisão, adição, subtração.

A ordem correta atribui a mesma importância à divisão e à multiplicação, assim como à adição e à subtração. Quando você encontrar duas operações de igual prioridade na mesma equação, execute-as da esquerda para a direita.

Há 100 matemáticos em uma festa com um único bolo. Os matemáticos estão em fila para pegar uma fatia.

  • O primeiro matemático leva 1% do bolo.
  • O segundo matemático recebe 2% do que sobra após o primeiro.
  • O terceiro fica com 3% do que sobrar depois dos dois primeiros matemáticos.
  • O quarto matemático fica com 4% do que sobrar depois dos três primeiros.

Isso continua até que o centésimo matemático fique com 100% do que sobrar depois dos outros 99 matemáticos.

Qual matemático ganhará a maior quantidade de bolo? Calculadoras não são permitidas!

PT

Vejamos quanto os cinco primeiros matemáticos receberão:

  1. 1%
  2. 99% * 2%
  3. 99% * 98% * 3%
  4. 99% * 98% * 97% * 4%
  5. 99% * 98% * 97% * 96% * 5%

Seja f(x) = o bolo que o matemático x recebe.

Podemos ver no padrão que f(x) = f(x-1) / ((x-1)/100) * (1 - ((x-1)/100)) * (x/100)

Reorganizando os termos:

f(x) = f(x-1) * (100/(x-1)) * ((101-x)/100) * (x/100)

Simplificando:

f(x) = f(x-1) * (101-x)/(x-1) * (x/100)

Seja y = f(x) onde f(x) = f(x-1)

y = y * (101-x)/(x-1) * (x/100)

Divida ambos os lados por y.

1 = (101-x)/(x-1) * (x/100)

100*(x-1) = x * (101-x)

100x - 100 = 101x - x²

x² - x - 100 = 0

Usando a fórmula de Pitágoras, x = (1 + sqrt(401))/2 =~ 10,512.

É óbvio que as participações aumentam inicialmente e, em algum momento, diminuem. A questão é encontrar o último matemático que recebe mais do que o anterior.

Resolvendo para x acima, mostramos que os 10 primeiros matemáticos recebem partes maiores do que o último. No entanto, como 11 > 10,512, o matemático 11 recebe menos do que o matemático 10.

Assim, o matemático número 10 fica com a maior parte.

Aqui está a participação dos primeiros 20 (calculada com uma calculadora).

  • Matemático 1 = 0,01
  • Matemático 2 = 0,0198
  • Matemático 3 = 0,029106
  • Matemático 4 = 0,03764376
  • Matemático 5 = 0,045172512
  • Matemático 6 = 0,0514966637
  • Matemático 7 = 0,0564746745
  • Matemático 8 = 0,0600245112
  • Matemático 9 = 0,0621253691
  • Matemático 10 = 0,062815651
  • Matemático 11 = 0,0621874944
  • Matemático 12 = 0,0603784037
  • Matemático 13 = 0,0575607449
  • Matemático 14 = 0,0539299902
  • Matemático 15 = 0,0496926338
  • Matemático 16 = 0,0450546547
  • Matemático 17 = 0,0402112793
  • Matemático 18 = 0,0353386184
  • Matemático 19 = 0,0305875375
  • Matemático 20 = 0,0260799004

Este problema é abordado e discutido no meu fórum, Wizard of Vegas .

Este problema foi retirado do livro Mind Your Decisions .