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Pergunte ao Mago #391

1² + 2² + 3² + ... + n² = ?

anônimo

1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 = n(n+1)(2n+1)/6

Aqui está minha solução . (PDF)

Suponha que você lance uma moeda honesta um milhão de vezes. Usando apenas uma calculadora simples com as cinco operações aritméticas básicas (+, 0, *, /, ^), qual é a probabilidade de obter exatamente o mesmo número de caras e coroas? Uma estimativa aproximada será suficiente.

anônimo

A resposta pode ser aproximada como 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0,000797885 =~ 1 em 1253,314137.

Relembre a equação da curva normal padrão:

O número esperado de caras em um lançamento é 0,5 e o quadrado do número esperado de caras também é 0,5. Assim, a variância do número de caras em um lançamento é 0,5 - (0,5) ² = 0,5 - 0,25 = 0,25. A variância de um milhão de lançamentos é 1.000.000 * 0,25 = 250.000. O desvio padrão de um milhão de lançamentos é a raiz quadrada disso: √(250.000) = 5.000.

Seja x o número de caras dividido pelo número esperado de 500.000. A média de x é zero. Como mostrado, o desvio padrão de x é 5.000.

A probabilidade de x=0 é, portanto:

Isso se simplifica para 1/(5000*sqrt(2*π)) =~ 0,000797885 =~ 1 em 1253,314137.

Ligações

Entrada da Wikipédia sobre a curva normal padrão .

Você está andando de bicicleta em uma pista de exercícios a 24 km/h. Na mesma pista, há corredores a 8 km/h. Há o mesmo número de corredores em cada direção. Qual a proporção de corredores que você ultrapassar que estarão indo na direção oposta à sua?

anônimo

2/3

Considere que o percurso tem 15 milhas de extensão.

O ciclista encontrava corredores que começavam do outro lado em um intervalo de 3 horas antes de eu começar até 1 hora depois, totalizando 4 horas de encontros com corredores.

Seguindo na mesma direção, o ciclista encontrava corredores que haviam saído desde 2 horas antes de mim até ao mesmo tempo, num total de 2 horas.

Assim, o dobro de corredores estaria indo na direção oposta. A razão entre corredores indo na direção oposta e todos os corredores é 4/(2+4) = 2/3.

Em relação aos corredores que seguem na mesma direção, sua velocidade é de 15-5 = 10 mph.

Em relação aos corredores que vão na direção oposta, sua velocidade é de 15 + 5 = 20 mph.

Portanto, você cruzará com o dobro de corredores indo na direção oposta. Isso resulta em uma proporção de 2/(1+2) = 2/3.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .