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Pergunte ao Mago #394
Você tem uma xícara de café inicialmente vazia. Uma garçonete começa a servir café nela em um ritmo constante. Normalmente, com uma xícara de boa qualidade, levaria 5 segundos para enchê-la completamente. No entanto, esta xícara tem um vazamento no fundo. O café vaza a uma taxa proporcional ao volume de café na xícara. Quando cheia, o café vaza a uma taxa de 0,1 xícara por segundo.
Quanto tempo leva para encher o copo até 90% da sua capacidade?
Para resolver este problema, é necessário ter uma compreensão básica de equações diferenciais.
Deixar:
V = volume de café na xícara
t = tempo decorrido desde que a garçonete começou a servir
c = constante de integração
Nos foi dado dV/dt = (1/5) - (v/10)
dv = (2-V)/10 dt
(10/(2-v)) dv = dt
-10*ln(2-v) = t + c
Sabemos que em t=0, V=0. Substitua esses valores na equação acima para encontrar o valor de c:
c = -10*ln(2)
A nossa equação que relaciona V e t é, portanto:
t = 10*ln(2) - 10*ln(2-V)
Queremos saber em que valor de t v=0,9. Portanto, determine o valor de t quando V=0,9.
t = 10*ln(2) - 10*ln(2-0,9) = 10*(ln(2) - ln(1,1)) = 10*ln(20/11)
Como posso usar um dado de seis lados para gerar um valor aleatório de 0 a 36, sendo cada valor igualmente provável?
Existem várias maneiras de fazer isso. No entanto, defendo que todas elas devem ter a possibilidade de uma nova rolagem. Acredito que o método que apresento abaixo seja simples, requeira apenas quatro dados de cores diferentes e tenha uma probabilidade de nova rolagem inferior a 0,08%. Veja como funciona.
Chame os dados de d1, d2, d3 e d4. Eles têm cores diferentes, então você pode distingui-los.
Defina x = (d1-1) + 6*(d2-1) + 36*(d3-1) + 216*(d4-1). O valor de x variará de 0 a 1.295.
Seja y o número aleatório que buscamos, onde todos os 37 valores de 0 a 36 têm a mesma probabilidade. Atribua um valor a y de acordo com x, da seguinte forma:
- x = 0 a 34: y = 0
- x = 35 a 69: y = 1
- x = 70 a 104: y = 2
- x = 105 a 139: y = 3
- x = 140 a 174: y = 4
- x = 175 a 209: y = 5
- x = 210 a 244: y = 6
- x = 245 a 279: y = 7
- x = 280 a 314: y = 8
- x = 315 a 349: y = 9
- x = 350 a 384: y = 10
- x = 385 a 419: y = 11
- x = 420 a 454: y = 12
- x = 455 a 489: y = 13
- x = 490 a 524: y = 14
- x = 525 a 559: y = 15
- x = 560 a 594: y = 16
- x = 595 a 629: y = 17
- x = 630 a 664: y = 18
- x = 665 a 699: y = 19
- x = 700 a 734: y = 20
- x = 735 a 769: y = 21
- x = 770 a 804: y = 22
- x = 805 a 839: y = 23
- x = 840 a 874: y = 24
- x = 875 a 909: y = 25
- x = 910 a 944: y = 26
- x = 945 a 979: y = 27
- x = 980 a 1014: y = 28
- x = 1015 a 1049: y = 29
- x = 1050 a 1084: y = 30
- x = 1085 a 1119: y = 31
- x = 1120 a 1154: y = 32
- x = 1155 a 1189: y = 33
- x = 1190 a 1224: y = 34
- x = 1225 a 1259: y = 35
- x = 1260 a 1294: y = 36
- x = 1259: Rolar novamente
Note que apenas um valor de x resulta em uma nova rolagem.
Gostaria de agradecer especialmente aos membros do Wizard of Vegas, ThomasK e ThatDonGuy, pela ajuda com esta questão. A solução acima foi proposta por ThomasK. No fórum, ThatDonGuy demonstrou que é impossível resolver o problema sem mapear alguns lançamentos de dados para uma nova rolagem. Veja o link abaixo para a discussão completa.
Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .
Cartas são retiradas de um baralho de 52 cartas até que uma carta vermelha seja vista. Qual é a média do número total de cartas retiradas, incluindo a carta vermelha?
De acordo com ThatDonGuy, membro do Wizard of Vegas, se o número total de cartas for c e o número de bloqueadores for b, então o número esperado de cartas compradas é (c+1)/(b+1).
Por exemplo, na questão em análise, c=52 e b=26, então a resposta é 53/27.
Se os sorteios continuassem até que um ás aparecesse, haveria quatro bloqueadores, então a resposta seria 53/5 = 10,6.
Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .