Pergunte ao Mago #395

solução

Vamos considerar um dos triângulos. Vamos definir:

• r = Raio dos círculos
• s = Distância entre qualquer canto do quadrado maior e o ponto onde o círculo mais próximo é tangente ao triângulo em que está inscrito.

Observando o triângulo na imagem, as distâncias são:

• perna curta = r+s
• perna longa = 3r+s
• hipotenusa = 1

Utilizando a fórmula de Pitágoras:

(r+s) ² + (3r+s) ² = 1

^r² + 2rs + ^s² + ^9r² + 6rs + ^s² = 1

^10r² + ^2s² + 8rs = 1

Precisamos de outra equação para resolver isso. Vamos observar o comprimento do quadrado maior, que nos foi dado como 1. AB = AC. AB = 2r + s, então AC = 2r + s. O restante do lado do quadrado maior é s. Portanto:

2r + 2s = 1.

2s = 1-2r

s = 1/2 - r

Vamos substituir esse valor na nossa equação da fórmula de Pitágoras:

^10r² + 2(1/2 - r) ^² + 8r(1/2 - r) = 1

10r ² + 2(1/4 - r + r ² ) + 4r - 8r ² = 1

2r ² + 1/2 - 2r + 2r ² + 4r = 1

^4r² + 2r - 1/2 = 0

^8r² + 4r - 1 = 0

Usando a equação quadrática:

r = (-4 +/- sqrt(48))/16

r = (sqrt(3)-1)/4 =~ 0,183013.

Este problema foi retirado do canal Mind Your Decisions no YouTube. Presh oferece uma solução que não requer o teorema de Pitágoras.

Este problema é abordado e discutido no meu fórum, Wizard of Vegas .

Vamos supor, generosamente, que se o ponto for 4 ou 10, o jogador paga a comissão de 5% apenas sobre a vitória. Seguiremos a regra de Las Vegas, onde um 12 na rodada inicial resulta em empate na aposta "don't pass" (no norte de Nevada, o empate ocorre no 2). Dito isso, aqui estão todos os resultados possíveis:

• Se sair um 2 ou 3 no dado: o jogador ganha uma unidade na aposta "don't pass".
• Ao sair um lançamento de 12, o jogador empata na aposta "don't pass".
• Se sair um 7 ou um 11 no dado, o jogador perde a aposta "don't pass".
• Ponto de 4 ou 10 e pontos ganhos: O jogador ganha 1,95 unidades na aposta de compra e perde uma unidade na aposta "não passe", resultando em um lucro líquido de 0,95 unidades.
• Ponto de 5 ou 9 e pontos vencedores: O jogador ganha 1,4 unidades na aposta de lugar e perde uma unidade na aposta "não passe", resultando em um lucro líquido de 0,4 unidades.
• Ponto de 6 ou 8 e pontos vencem: O jogador ganha 7/6 unidades na aposta de lugar e perde uma unidade na aposta "não passe", resultando em um ganho líquido de 1/6 de unidades.
• Ponto de 4 ou 10 e perda de ponto: O jogador perde 1 unidade na aposta de compra e ganha uma unidade na aposta "não passe" por empate na rede.
• Ponto de 5 ou 9 e perda de ponto: O jogador perde 1 unidade na aposta de lugar e ganha uma unidade na aposta "don't pass for net push".
• Ponto de 6 ou 8 e perda de ponto: O jogador perde 1 unidade na aposta de lugar e ganha uma unidade na aposta "don't pass for net push".

A tabela a seguir resume todos os resultados possíveis. A tabela mostra a probabilidade, o ganho e a contribuição para o retorno em todos os resultados possíveis. A célula inferior direita mostra uma perda esperada de 0,02951 unidades.

A razão pela qual essa estratégia tem um valor esperado negativo reside na rodada inicial (come out roll). Há 3 maneiras de ganhar com um 2 ou 3 e 8 maneiras de perder com um 7 ou 11. É verdade que, se o jogador sobreviver à rodada inicial, ele terá um saldo positivo, mas isso não é suficiente para compensar a perda esperada nessa rodada.

Esta é uma questão clássica de probabilidade Bayesiana.