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Recomendações do Mago

Pergunte ao Mago #398

Agora que o March Madness acabou, você atualizou sua probabilidade de acertar todos os palpites e a média de vitórias por cabeça de chave?

anônimo

Obrigado por me lembrar. Minha estratégia básica para preencher um chaveamento é sempre escolher o time com a melhor classificação (ou seja, o time com o menor número na classificação). Quando se trata de um confronto entre o primeiro colocado e o primeiro colocado, escolho aleatoriamente. Dito isso, adicionando um 39º ano aos meus dados do March Madness, aqui estão as probabilidades ao longo do caminho para um chaveamento perfeito.

  • O cabeça de chave número 1 vence o cabeça de chave número 16 = 98,72%
  • O segundo colocado vence o décimo quinto colocado = 92,31%
  • O cabeça de chave número 3 vence o cabeça de chave número 14 = 85,26%
  • O cabeça de chave número 4 vence o cabeça de chave número 13 = 78,85%
  • O cabeça de chave número 5 vence o cabeça de chave número 12 = 64,74%
  • O cabeça de chave número 6 vence o cabeça de chave número 11 = 60,9%
  • O cabeça de chave número 7 vence o cabeça de chave número 10 = 61,54%
  • O cabeça de chave número 8 vence o cabeça de chave número 9 = 50%
  • 1 cabeça de chave vence 8 cabeças de chave = 78,75%
  • O cabeça de chave número 4 vence o cabeça de chave número 5 = 55,42%
  • O cabeça de chave número 3 vence o cabeça de chave número 6 = 60%
  • O segundo colocado vence o sétimo colocado = 70,79%
  • 1ª cabeça de chave vence 4ª cabeça de chave = 71,01%
  • O segundo colocado vence o terceiro colocado = 60,66%
  • O primeiro colocado vence o segundo colocado = 55,07%
  • 1 semente vence 1 semente = 50%

O jogador deve vencer cada um desses confrontos, exceto o 1 contra 1, quatro vezes. Nas rodadas 5 e 6, haverá três jogos entre os dois primeiros colocados, nos quais o jogador também deve acertar.

Em resumo, a probabilidade de acertar todos os 63 jogos com essa estratégia é de 1 em 70.166.868.878.

Para responder à sua outra pergunta, aqui está a expectativa de vitórias por equipe, de acordo com a posição no ranking. Por exemplo, uma equipe classificada em 5º lugar pode esperar vencer 1,153846 jogos.

  1. 3,301282
  2. 2.320513
  3. 1,839744
  4. 1,557692
  5. 1,153846
  6. 1,057692
  7. 0,897436
  8. 0,730769
  9. 0,596154
  10. 0,602564
  11. 0,653846
  12. 0,50641
  13. 0,25
  14. 0,160256
  15. 0,108974
  16. 0,012821

O que é o Teorema dos Números Primos?

anônimo

O Teorema dos Números Primos afirma algumas coisas muito interessantes:

  1. A distância média entre números primos em torno do número n é aproximadamente ln(n).
  2. Uma estimativa do número de primos menores que n é n/ln(n).

Para testar a segunda parte, escrevi um programa para contar o número de números primos abaixo de um milhão, dois milhões e até dez milhões. A tabela a seguir mostra o número de números primos, bem como a estimativa usando a fórmula acima. A coluna da direita representa a razão entre a estimativa e o número real de números primos.

Números primos

Máximo
Número		 Total
Números primos		 Estimativa Razão
1.000.000 78.498 72.382 0,9220925
2.000.000 148.933 137.849 0,9255754
3.000.000 216.816 201.152 0,9277527
4.000.000 283.146 263.127 0,9292967
5.000.000 348.513 324.150 0,9300950
6.000.000 412.849 384.436 0,9311788
7.000.000 476.648 444.122 0,9317618
8.000.000 539.777 503.304 0,9324303
9.000.000 602.489 562.053 0,9328845
10.000.000 664.579 620.421 0,9335545

Como você pode ver, a proporção de números primos abaixo de dez milhões é de 93,4% do número real. No entanto, essa proporção diminui à medida que o intervalo de valores que você está considerando aumenta.

Para obter mais informações, consulte a página da Wikipédia sobre o Teorema dos Números Primos .

Quais são os erros menos custosos no blackjack?

gunbj

Para começar, vamos partir de algumas premissas sobre as regras. Vou usar o que parece ser o conjunto de regras mais comum nos EUA.

  • Seis decks
  • Concessionária atinge o nível 17
  • Dobro após divisão permitido
  • Rendição não permitida
  • O jogador pode dividir novamente até quatro mãos, incluindo ases.

Dito isso, a lista a seguir mostra as 20 jogadas mais arriscadas, considerando as duas primeiras cartas do jogador e a carta aberta do crupiê.

Decisões mais apertadas no Blackjack

Jogador
Cartões		 Distribuidor
Cartão para cima		 Melhor
Jogar		 Segundo
Melhor jogada		 EV 1º
Melhor jogada		 EV 2º
Melhor jogada		 Diferença
9,7 10 H S -0,535392 -0,536809 0,001417
7,A 2 D S 0,116262 0,113110 0,003152
2,A 5 D H 0,141030 0,137618 0,003412
4,A 4 D H 0,065278 0,060757 0,004521
6,A 2 H D -0,000274 -0,004882 0,004608
10,2 4 S H -0,205906 -0,210664 0,004758
7,2 2 H D 0,073913 0,067870 0,006043
10,6 10 H S -0,534676 -0,540954 0,006278
5,4 2 H D 0,075786 0,068039 0,007747
6,3 2 H D 0,075331 0,067378 0,007953
8,4 3 H S -0,233324 -0,241586 0,008262
7,5 3 H S -0,232183 -0,240505 0,008322
9,2 UM D H 0,115609 0,107036 0,008573
3,3 2 P H -0,129464 -0,139266 0,009802
8,A 6 D S 0,462089 0,452220 0,009869
9,3 3 H S -0,237301 -0,248068 0,010767
8,3 UM D H 0,118796 0,107445 0,011351
3,3 8 H P -0,219182 -0,230664 0,011482
8,4 4 S H -0,201386 -0,213959 0,012573
9,3 4 S H -0,202651 -0,215698 0,013047

Essa pergunta foi feita e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .