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Recomendações do Mago

Pergunte ao Mago #400

O fazendeiro Brown deixa suas seis ovelhas pastarem em uma área cercada e coberta de grama em seu campo. Elas levam três dias para limpar todo o campo de grama.

Ele então deixa a grama crescer novamente até a altura original.

Ele então solta três de suas ovelhas no mesmo campo e elas levam sete dias para limpar o campo.

Ele então deixa a grama crescer novamente até a altura original e solta uma ovelha no campo. Quanto tempo levará para essa ovelha limpar o campo?

Suponha que as ovelhas comam grama a uma taxa constante e que a grama também cresça a outra taxa constante.

anônimo

63 dias

Seja i o número de dias que uma ovelha leva para comer o campo de grama inicial, supondo que a grama não tenha crescido.

Seja g = o crescimento da grama em um dia.

Sabemos que seis ovelhas levam três dias para consumir a grama inicial e o equivalente a três dias de crescimento. Podemos expressar isso em forma de fórmula:

i + 3g = 3*6

Também nos é dito que três ovelhas levam sete dias para consumir a grama inicial e o equivalente a três dias de crescimento. Podemos expressar isso em forma de fórmula da seguinte maneira:

i + 7g = 7*3

Temos duas equações e duas incógnitas:

i + 3g = 18
i + 7g = 21

É fácil resolver para i e g da seguinte forma:

i = 63/4 = 15,75

g = 3/4 = 0,75

A pergunta é: quanto tempo levará para uma ovelha limpar o campo? Vamos usar x como resposta. Podemos expressar a equação como:

i + xg = x
(63/4) + (3/4)g = x
63/4 = x/4
x = 63.

Assim, uma ovelha levaria 63 dias para limpar o campo.

Um paralelepípedo tem dimensões x por y por z. Ele é composto por xyz cubos individuais. Alguém pinta todas as faces externas. Quais são as dimensões se o número de cubos pintados for igual ao número de cubos não pintados?

anônimo

Cheguei a 20 dimensões distintas que funcionam. Aqui estão elas.

  1. 5 x 13 x 132
  2. 5 x 14 x 72
  3. 5 x 15 x 52
  4. 5 x 16 x 42
  5. 5 x 17 x 36
  6. 5 x 18 x 32
  7. 5 x 20 x 27
  8. 5 x 22 x 24
  9. 6 x 9 x 56
  10. 6 x 10 x 32
  11. 6 x 11 x 24
  12. 6 x 12 x 20
  13. 6 x 14 x 16
  14. 7 x 7 x 100
  15. 7 x 8 x 30
  16. 7 x 9 x 20
  17. 7 x 10 x 16
  18. 8 x 8 x 18
  19. 8 x 9 x 14
  20. 8 x 10 x 12

Você já mencionou, diversas vezes, que a média de tentativas necessárias para que um evento de probabilidade p ocorra é 1/p. Meu desafio para você é provar que isso é verdade.

anônimo

Seja x = o número esperado de tentativas para que um evento ocorra.

x = 1*p + (1-p)*(1+x)

x = p + 1 + x - p - px

Subtraindo x de ambos os lados:

0 = p + 1 - p - px

Cancelando p e -p:

0 = 1 - px

px = 1

x = 1/p

Vamos definir q = 1-p. Em outras palavras, a probabilidade de um evento não ter ocorrido.

Seja x = o número esperado de tentativas para que um evento ocorra.

x = 1 * pr(uma tentativa necessária) + 2 * pr(duas tentativas necessárias) + 3 * pr(três tentativas necessárias) + ...

= 1p + 2pq + 3pq^2 + 4pq^3 + ...

x/p = 1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = 2q + 3q^2 + 4q^3 + ...

x/p - 1 = q * (2 + 3q + 4q^2 + 5q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (1 + 2q + 3q^2 + 4q^3 + ... + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

x/p - 1 = q * (x/p + 1 + q + q^2 + q^3 + ...)

Seja y = 1 + q + q² + q³ + ...

y-1 = q + q^2 + q^3 + ...

y-1 = q * (1 + q + q^2 + q^3 + ... )

(y-1)/q = 1 + q + q^2 + q^3 + ...

(y-1)/q = y

y/q - y = 1/q

y*(1/q - 1) = 1/q

y*(1/q - q/q) = 1/q

y*[(1-q)/q] = 1/q

y*(1-q) = 1

y = 1/(1-q)

x/p - 1 = q * (x/p + 1/(1-q))

x/p - 1 = q * (x/p + 1/p)

x/p - 1 = q * (1+x)/p

x/p - q * (1+x)/p = 1

x/p - qx/p = 1 + q/p

x*(1/p - q/p) = 1+q/p

x*(1-q)/p = 1+q/p

x*p/p = 1+q/p

x = 1+q/p

x = 1 + (1-p)/p

x = p/p + (1-p)/p

x = 1/p