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Pergunte ao Mago #401

Vamos supor que a probabilidade de acertar um arremesso do meio da quadra no basquete seja de 1%. Quantos arremessos seriam necessários, em média, para acertar três seguidos?

Qual é a fórmula geral para qualquer probabilidade e qualquer número em uma sequência?

seven

Vamos deixar:

  • a = esperava-se mais disparos, assumindo que o estado inicial ou o último disparo foi um erro.
  • b = esperava-se mais arremessos, assumindo que o último arremesso foi convertido.
  • c = esperava-se mais arremessos, assumindo que os dois últimos arremessos foram convertidos.

Podemos estabelecer as seguintes equações ao passar de um estado para outro:

a = 1 + 0,01b + 0,99a
b = 1 + 0,01c + 0,99a
c = 1 + (1-p)a

Agora temos três equações e três incógnitas, então podemos resolver o problema. Eu prefiro álgebra matricial.

Sem entrar em detalhes sobre isso, a solução pode ser expressa como determ(A)/determ(B). Os termos nas matrizes são retirados das três equações acima.

A resposta para essa razão de determinantes é 101010.

Para responder à segunda pergunta, a resposta para qualquer probabilidade p e número n de sucessos consecutivos é:

(1/p)^n + (1/p)^(n-1) + (1/p)^(n-2) + ... + (1/p)^2 + (1/p)^1

No caso deste problema, a fórmula geral mostra a resposta como 100^3 + 100^2 + 100^1 = 1000000 + 10000 + 100 = 1010100

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Treze cartas de um determinado naipe são retiradas de um baralho. Uma carta é distribuída para cada um dos dois lógicos, Alex e Bob. O 2 é a carta mais baixa e o ás é a mais alta. Cada lógico pode olhar sua própria carta. Então, Alex pode oferecer a Bob a troca. Se a oferta for feita, Bob pode aceitá-la ou rejeitá-la. Qual deve ser a estratégia ótima de ambos os jogadores?

anônimo

Alex só deve oferecer com um 2. Bob só deve aceitar com um 2.

Para responder a essa pergunta, experimentei várias estratégias, como segue.

Se Alex trocar com um número 4 ou menor, Bob deve aceitar com um 2 e ficar indiferente com um 3. A probabilidade de Bob ganhar é de 56,7%.

Se Alex trocar com um 3 ou menos, Bob só poderá aceitar com um 2. A probabilidade de Bob ganhar é de 53,3%.

Se Alex trocar apenas por um 2, Bob deve sempre rejeitar a oferta. A probabilidade de Bob ganhar é de 50%.

O padrão é que Bob deve ser mais seletivo ao trocar de mão do que Alex. Se Alex trocar com um 3 ou mais, Bob pode ter uma vantagem com critérios mais baixos para a troca. A única maneira de Alex se defender dessa derrota é trocar apenas com um 2. Sabendo disso, Bob nunca trocaria se recebesse uma oferta. Portanto, se dois lógicos jogassem, Alex deveria oferecer a troca apenas com um 2. Bob deveria sempre rejeitar essa oferta.

No entanto, na improvável hipótese de Bob ter um 2 e receber uma oferta para trocar de carta, é claro que Bob deveria aceitar, pensando que Alex ou interpretou mal a carta ou não é um verdadeiro lógico.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Em média, quantas rodadas são necessárias na roleta para que um número se repita?

anônimo

Você não especificou o tipo de roda, mas aqui está a resposta para as três situações:

  • Zero único = 8,306669466
  • Duplo Zero = 8,408797212
  • Triplo Zero = 8,509594851

A tabela a seguir mostra a probabilidade de uma primeira repetição em cada giro para todas as três rodas.

Probabilidade de número de repetição

Rodar Solteiro
Zero		 Dobro
Zero		 Triplo
Zero
1 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000
2 0,0270270270 0,0263157895 0,0256410256
3 0,0525931337 0,0512465374 0,0499671269
4 0,0746253924 0,0728240268 0,0711070652
5 0,0914329132 0,0894330154 0,0875163879
6 0,1019353424 0,1000237672 0,0981754352
7 0,1057923554 0,1042352943 0,1027066091
8 0,1034096446 0,1024066049 0,1013898577
9 0,0958236089 0,0954768346 0,0950762036
10 0,0844931146 0,0847985044 0,0850200666
11 0,0710452616 0,0719051646 0,0726667236
12 0,0570282235 0,0582810281 0,0594376534
13 0,0437169674 0,0451747682 0,0465525677
14 0,0320000324 0,0334848063 0,0349144258
15 0,0223534530 0,0237240530 0,0250667672
16 0,0148879175 0,0160538705 0,0172161863
17 0,0094424270 0,0103646041 0,0113008813
18 0,0056941663 0,0063755953 0,0070811612
19 0,0032589823 0,0037306115 0,0042294718
20 0,0017665054 0,0020725619 0,0024039306
21 0,0009046116 0,0010908221 0,0012976683
22 0,0004364140 0,0005425405 0,0006638073
23 0,0001977062 0,0002542733 0,0003209618
24 0,0000837944 0,0001119289 0,0001462658
25 0,0000330845 0,0000461035 0,0000626155
26 0,0000121086 0,0000176932 0,0000250863
27 0,0000040842 0,0000062951 0,0000093656
28 0,0000012609 0,0000020644 0,0000032419
29 0,0000003534 0,0000006197 0,0000010345
30 0,0000000890 0,0000001689 0,0000003022
31 0,0000000199 0,0000000414 0,0000000802
32 0,0000000039 0,0000000090 0,0000000191
33 0,0000000007 0,0000000017 0,0000000040
34 0,0000000001 0,0000000003 0,0000000007
35 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000001
36 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000
37 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000
38 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000
39 0,0000000000 0,0000000000 0,0000000000