WOO logo

Recomendações do Mago

Pergunte ao Mago #403

Há um elástico com um metro de comprimento. Uma formiga está em uma das extremidades. A formiga se desloca até a outra extremidade a uma velocidade de 1 centímetro por segundo. A partir do momento em que a formiga começa a se mover, o elástico se expande a uma taxa de 1 metro por segundo. Quanto tempo leva para a formiga chegar à outra extremidade?

anônimo

A resposta é e 100 – 1 ≈ 26.881.171.418.161.400.000.000.000.000.000.000.000.000.000 segundos.

Aqui está minha solução (PDF).

Há uma formiga em um círculo de diâmetro 1 centímetro. Partindo do instante t=0, a formiga se move ao longo da circunferência a uma velocidade de 1/(1+t) cm/s. Quanto tempo ela leva para completar uma revolução?

Ace2

e^pi -1 ≈ 22,140693 segundos.

A formiga pode cobrir uma distância de pi.

Uma maneira de obter a distância total percorrida é integrar a velocidade ao longo do tempo. Seja T a resposta.

A integral de 0 a T de 1/(1+t) dt = pi.

Ao integrar, obtemos:

ln(1+T) - ln(1+0) = pi

ln(1+T) = pi

1+T = e^pi

T = e^pi - 1

Em um baralho embaralhado, as cartas são viradas uma a uma até que a primeira dama apareça. Qual carta tem maior probabilidade de ser virada em seguida: a dama de espadas ou o rei de espadas?

anônimo

Admito que minha resposta inicial a essa pergunta estava errada.

As probabilidades são as mesmas.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de que qualquer posição dada no baralho seja a primeira dama seguida pela dama de espadas. A célula inferior direita mostra que a probabilidade de a carta seguinte à primeira dama ser a dama de espadas é 0,019231 = 1/52.

Próxima carta: Dama de Espadas

Posição de
Primeira Rainha		 Probabilidade
Primeira Rainha		 Probabilidade Próxima
Carta Q de Espadas		 Produto
1 0,076923 0,014706 0,001131
2 0,072398 0,001086 0,001086
3 0,068054 0,001042 0,001042
4 0,063888 0,000998 0,000998
5 0,059895 0,000956 0,000956
6 0,056072 0,000914 0,000914
7 0,052415 0,000874 0,000874
8 0,048920 0,000834 0,000834
9 0,045585 0,000795 0,000795
10 0,042405 0,000757 0,000757
11 0,039376 0,000720 0,000720
12 0,036495 0,000684 0,000684
13 0,033758 0,000649 0,000649
14 0,031161 0,000615 0,000615
15 0,028701 0,000582 0,000582
16 0,026374 0,000549 0,000549
17 0,024176 0,000518 0,000518
18 0,022104 0,000488 0,000488
19 0,020153 0,000458 0,000458
20 0,018321 0,000429 0,000429
21 0,016604 0,000402 0,000402
22 0,014997 0,000375 0,000375
23 0,013497 0,000349 0,000349
24 0,012101 0,000324 0,000324
25 0,010804 0,000300 0,000300
26 0,009604 0,000277 0,000277
27 0,008496 0,000255 0,000255
28 0,007476 0,000234 0,000234
29 0,006542 0,000213 0,000213
30 0,005688 0,000194 0,000194
31 0,004913 0,000175 0,000175
32 0,004211 0,000158 0,000158
33 0,003579 0,000141 0,000141
34 0,003014 0,000126 0,000126
35 0,002512 0,000111 0,000111
36 0,002069 0,000097 0,000097
37 0,001681 0,000084 0,000084
38 0,001345 0,000072 0,000072
39 0,001056 0,000061 0,000061
40 0,000813 0,000051 0,000051
41 0,000609 0,000042 0,000042
42 0,000443 0,000033 0,000033
43 0,000310 0,000026 0,000026
44 0,000207 0,000019 0,000019
45 0,000129 0,000014 0,000014
46 0,000074 0,000009 0,000009
47 0,000037 0,000006 0,000006
48 0,000015 0,000003 0,000003
49 0,000004 0,000001 0.000001
Total 1.000000 0,019231 0,019231

A tabela a seguir mostra a probabilidade de que qualquer posição dada no baralho seja a primeira dama seguida pelo rei de espadas. A célula inferior direita mostra que a probabilidade de a carta seguinte à primeira dama ser o rei de espadas é 0,019231 = 1/52.

Próxima carta: Rei de Espadas

Posição de
Primeira Rainha		 Probabilidade
Primeira Rainha		 Probabilidade Próxima
Carta Q de Espadas		 Produto
1 0,076923 0,019231 0,001479
2 0,072398 0,019231 0,001392
3 0,068054 0,019231 0,001309
4 0,063888 0,019231 0,001229
5 0,059895 0,019231 0,001152
6 0,056072 0,019231 0,001078
7 0,052415 0,019231 0,001008
8 0,048920 0,019231 0,000941
9 0,045585 0,019231 0,000877
10 0,042405 0,019231 0,000815
11 0,039376 0,019231 0,000757
12 0,036495 0,019231 0,000702
13 0,033758 0,019231 0,000649
14 0,031161 0,019231 0,000599
15 0,028701 0,019231 0,000552
16 0,026374 0,019231 0,000507
17 0,024176 0,019231 0,000465
18 0,022104 0,019231 0,000425
19 0,020153 0,019231 0,000388
20 0,018321 0,019231 0,000352
21 0,016604 0,019231 0,000319
22 0,014997 0,019231 0,000288
23 0,013497 0,019231 0,000260
24 0,012101 0,019231 0,000233
25 0,010804 0,019231 0,000208
26 0,009604 0,019231 0,000185
27 0,008496 0,019231 0,000163
28 0,007476 0,019231 0,000144
29 0,006542 0,019231 0,000126
30 0,005688 0,019231 0,000109
31 0,004913 0,019231 0,000094
32 0,004211 0,019231 0,000081
33 0,003579 0,019231 0,000069
34 0,003014 0,019231 0,000058
35 0,002512 0,019231 0,000048
36 0,002069 0,019231 0,000040
37 0,001681 0,019231 0,000032
38 0,001345 0,019231 0,000026
39 0,001056 0,019231 0,000020
40 0,000813 0,019231 0,000016
41 0,000609 0,019231 0,000012
42 0,000443 0,019231 0,000009
43 0,000310 0,019231 0,000006
44 0,000207 0,019231 0,000004
45 0,000129 0,019231 0,000002
46 0,000074 0,019231 0,000001
47 0,000037 0,019231 0,000001
48 0,000015 0,019231 0,000000
49 0,000004 0,019231 0,000000
Total 1.000000 0,019231

Admito que minha reação inicial foi que o rei de espadas era mais provável, porque há 1/4 de chance de a primeira dama ser a dama de espadas, caso em que não haveria chance de vê-la novamente. No entanto, a razão simples pela qual as probabilidades são as mesmas é que, quando a primeira dama aparece, o baralho estava cheio de damas. Em outras palavras, várias cartas aleatórias foram removidas antes daquela primeira dama, que poderiam ter sido reis, mas não outras damas.

A explicação apresentada no vídeo Mind Your Decisions (veja o link abaixo) é a seguinte:

Existem 51! maneiras de organizar todas as cartas, exceto a dama de espadas. Se colocarmos a dama de espadas diretamente em frente à primeira dama, ainda teremos 51! ordens. Dividindo isso pelas 52! ordens possíveis, a probabilidade de a dama de espadas seguir a primeira dama é 51!/52! = 1/52.

Você poderia fazer exatamente a mesma coisa, exceto omitir o rei de espadas e colocá-lo na frente da primeira dama, obtendo ainda assim 1/52.

Essa pergunta foi retirada do canal do YouTube Mind Your Decisions .