Pergunte ao Mago #407

Q: <p>Você tem uma taça de martini com 10 cm de altura. Até que altura você deve enchê-la para servir metade de uma porção completa?</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Resposta</button><div class='spoiler'>4×(1/2)^(1/3) = 3,174802&quot; de altura. </div></div><p></p> <div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Solução</button><div class='spoiler'><p> Curiosamente, o raio não importa. Vamos chamar o raio de r. Vamos chamar a altura em que o barman deve encher o copo de h. É óbvio que o raio da metade do copo é a mesma proporção que a razão entre as duas alturas. Em outras palavras, o raio da metade do copo é r*(h/4).</p><p> Lembre-se que o volume de um cone é (1/3)*h*pi*r <sup>2</sup> .</p><p> Vamos comparar a meia porção com metade de uma porção inteira:</p><p> (1/2)*(1/3)*4*pi*r <sup>2</sup> = (1/3)*h*pi*(rh/4) <sup>2</sup></p><p> (1/2)*4*r <sup>2</sup> = h*(rh/4) <sup>2</sup></p><p> 2* <sup>r²</sup> = h* <sup>r²</sup> * <sup>h²</sup> / 16</p><p> 2 = h <sup>3</sup> /16</p><p> 32 = h <sup>3</sup></p><p> h = 32 <sup>1/3</sup> ≈ 3,174802&quot;</p> </div></div>

Encontre x.

anônimo

Vamos criar uma equação que relacione a área de cada parte individual com a área total do triângulo:

Verde + Azul + Vermelho = Total
3x/2 + 4x/2 + x² = (x+3)*(x+4)/2
3x + 4x + 2x^2 = (x+3)*(x+4)
7x + 2x² = x² + 7x + 12
2x² = x² + 12 x² = 12 x = 2√3 =~ 3,464102

Esta questão é baseada em uma similar feita por Presh Talkwalkar do canal "Mind Your Decisions" no YouTube, especificamente o primeiro problema deste vídeo . Presh apresenta uma solução inteligente e diferente da minha.

Você está em um oásis no deserto. Sua missão é entregar uma carta a 160 quilômetros de distância o mais rápido possível. Seu camelo pode carregar água para até três dias e percorrer 32 quilômetros por dia. É permitido deixar reservas de água no deserto. Qual o menor tempo que você consegue levar para entregar a carta?

anônimo

Clicar no botão a seguir revelará minha resposta. Mostra meu tempo mais rápido, mas não posso provar que não exista uma maneira melhor.

11,8 dias

Faça quatro viagens até um posto avançado a 13 quilômetros de distância. Você poderá armazenar 167 litros nas três primeiras viagens e mais 197 litros na quarta, totalizando 700 litros entregues. Isso implicará em 11 * 13 = 90 quilômetros de caminhada, o que levará 90 / 30 = 2,8 dias.
Faça três viagens a um posto avançado a 12 milhas de distância. Você poderá armazenar 36 galões nas duas primeiras viagens e adicionar 48 na terceira, totalizando 120 galões entregues. Isso implicará em 5 * 12 = 60 milhas de caminhada, o que levará 60 / 20 = 3 dias.
Faça duas viagens a um posto avançado a 32 quilômetros de distância. Você poderá armazenar 75 litros na primeira viagem e mais 150 litros na segunda, totalizando 227 litros entregues. Isso implicará em 5 * 32 = 96 quilômetros de caminhada, o que levará 96 / 32 = 3 dias.
Faça uma viagem até um posto avançado a 60 milhas de distância. Isso implicará uma caminhada de 60 milhas, o que levará 60/20 = 3,0 dias.

A distância até o posto avançado é de 8 + 12 + 20 + 60 = 100 milhas. O tempo total necessário é de 2,8 + 3,0 + 3,0 + 3,0 = 11,8 dias.

Você tem uma taça de martini com 10 cm de altura. Até que altura você deve enchê-la para servir metade de uma porção completa?

anônimo

4×(1/2)^(1/3) = 3,174802" de altura.

Curiosamente, o raio não importa. Vamos chamar o raio de r. Vamos chamar a altura em que o barman deve encher o copo de h. É óbvio que o raio da metade do copo é a mesma proporção que a razão entre as duas alturas. Em outras palavras, o raio da metade do copo é r*(h/4).

Lembre-se que o volume de um cone é (1/3)*h*pi*r ² .

Vamos comparar a meia porção com metade de uma porção inteira:

(1/2)*(1/3)*4*pi*r ² = (1/3)*h*pi*(rh/4) ²

(1/2)*4*r ² = h*(rh/4) ²

2* ^r² = h* ^r² * ^h² / 16

2 = h ³ /16

32 = h ³

h = 32 ^1/3 ≈ 3,174802"