Pergunte ao Mago #410

Existem nove posições iniciais para lançar o disco. No entanto, precisamos nos concentrar apenas em cinco, pois os prêmios e a disposição dos pinos são simétricos. Vamos numerá-las, começando pela borda esquerda, de 1 a 5.

Existem também nove posições finais; vamos numerar as cinco primeiras, da esquerda para a direita, de 1 a 5.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de aterrissar em qualquer ponto específico (coluna da esquerda) de acordo com a posição de onde o objeto foi solto (linha superior).

A próxima tabela mostra o valor esperado de cada posição de lançamento para a Semana do Grande Prêmio que você mencionou. Como esperado, o jogador deve lançar o disco na direção do maior prêmio.

Considere primeiro a curva definida pela equação y = 1/x para valores de x de 1 ao infinito. Esse gráfico terá a seguinte aparência para valores de x até 17.

Agora, imagine essa curva sendo rotacionada em torno do eixo x. Ela criará algo parecido com uma trombeta, com uma extremidade infinitamente longa. É a isso que os matemáticos chamam de Trombeta de Gabriel.

Fonte da imagem: Soul of Mathematics .

Em seguida, considere as questões sobre a Trombeta de Gabriel:

• Qual é o volume?
• Qual é a área da superfície?

Aqui estão as respostas:

Meu trabalho demonstrando essas respostas pode ser encontrado aqui (PDF).

A natureza do paradoxo questiona como o volume pode ser finito e a área da superfície infinita?

O paradoxo aparente surge quando confundimos duas dimensões com três. Simplesmente não devemos fazer isso. Considere o círculo A com raio 1 e o círculo B com raio 1,1, onde o círculo A está contido no círculo B.

O círculo A tem uma circunferência de 2π ≈ 6,283185 e o círculo B tem uma área de 1,1²π ≈ 3,801327. Observe que o círculo B é maior que o círculo A, porém sua área é menor que a circunferência de B. Não se trata de a circunferência de B ser parte da área de A. Área e circunferência são medidas diferentes em dimensões diferentes e não devem ser comparadas.

Outra forma de ver isso é que, se fizéssemos um disco a partir do círculo A com um número infinito de sulcos, o comprimento desses sulcos seria infinito.

Voltando à Trombeta de Gabriel, considere simplificá-la para o caso discreto de círculos com raios 1, 1/2, 1/3, 1/4...

A soma dos volumes desses círculos seria pi*(1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...). Existe uma conhecida série infinita que diz:

1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = pi^2/6 ≈ 1,644934.

Adicionando outro termo pi, a soma das áreas dos círculos é pi^3/6 ≈ 5,167713.

Entretanto, a soma das circunferências é 2*pi(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...).

Trata-se de outra série infinita bem conhecida na matemática, chamada Série Harmônica, que afirma:

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... = ∞ = infinito.

2*pi*∞ ainda é igual a ∞.

Se estendermos essa lógica para distâncias infinitamente pequenas entre círculos, obtemos a Trombeta de Gabriel.