Pergunte ao Mago #414

O outro lado tinha a vantagem. Aqui está a probabilidade de rolar cada total envolvido:

• 6 = 5/36
• 7 = 6/36 = 1/6
• 8 = 5/36

O tempo médio de espera para que um evento de probabilidade p ocorra é 1/p.

A probabilidade de rolar um total de 7 é 1/6. Portanto, em média, são necessários 6 lançamentos para obter um total de 7. Para obter dois desses números, seriam necessários, em média, 12 lançamentos.

A probabilidade de rolar um total de 6 ou 8 é (5/36) + (5/36) = 10/36. Observe que o 6 e o 8 podem ocorrer em qualquer ordem. A probabilidade de obter o 6 ou o 8 é, portanto, 1/(10/36) = 36/10 = 3,6.

Uma vez que o primeiro total é alcançado entre 6 e 8, a probabilidade de obter o segundo é 5/36. O tempo de espera para esse segundo evento é 1/(5/36) = 36/5 = 7,2 lançamentos.

Assim, a probabilidade esperada de obter um 6 e um 8, em qualquer ordem, é de 3,6 + 7,2 = 10,8. Isso é menor que os 12 necessários para obter dois setes. Portanto, apostar no 6 e no 8 é a melhor opção.

Digamos que o menor número que um jogador aceitará ao rolar um dado seja r.

Uma vez atingido esse objetivo, o resultado médio será (20+r)/2.

A probabilidade de atingir o objetivo em qualquer lançamento é (21-r)/20. Assim, o número esperado de lançamentos para atingir o objetivo é o inverso, ou 20/(21-r).

Para um objetivo de rolar r, o ganho esperado é, portanto, (20+r)/2 - 20/(21-r). Aqui estão alguns ganhos esperados para valores plausíveis de r.

• 14: $ 15,14
• 15: $ 15,17
• 16: $15,00

Assim, vemos o ganho esperado maximizado em US$ 15,17, com o objetivo de obter um resultado de 15 ou mais.

Esta questão foi adaptada do enigma 22 do livro "Math Puzzles Volume 3" de Presh Talwalkar. Em seu livro, é utilizado um dado de 100 lados.

Para benefício dos demais leitores, no tênis um jogador precisa vencer por 2 pontos de diferença para ganhar um game. Estar um ponto atrás é chamado de "Ad Out" e estar um ponto à frente é chamado de "Ad In".

Vamos criar alguns termos.

• a = Probabilidade de ganhar o jogo no Ad Out.
• b = Probabilidade de ganhar o jogo no empate.
• c = Probabilidade de ganhar o jogo com Ad In.

A partir daqui podemos formar uma Cadeia de Markov, da seguinte forma:

• a = pb
• b = pc + (1-p)a
• c = p + (1-p)b

Vamos tentar encontrar o valor de b, substituindo a primeira e a terceira equações acima na segunda:

b = p(p + (1-p)b) + (1-p)pb

b = ^p² + pb - ^p²b + pb - ^p²b

Algumas operações algébricas simples levam a...

b = p ² /(1-2p+2p ² )

A partir daí, é fácil usar a primeira e a terceira fórmulas para encontrar a e c.

A tabela a seguir mostra as probabilidades nos três estágios possíveis para vários valores de p.