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Pergunte ao Mago #416

Uma piscina está cheia de água salgada. Uma mangueira despeja água doce na piscina a uma taxa constante. À medida que a água doce entra, a água doce sai pela outra extremidade na mesma taxa. Depois que uma quantidade de água igual ao volume da piscina tiver sido despejada, qual será a proporção de água salgada restante?

anônimo

1/e = 36,7979%

Aqui está minha solução (PDF).

Em um programa de jogos, você recebe um prêmio de US$ 0 a US$ 20, determinado aleatoriamente de acordo com uma distribuição uniforme e contínua. Após receber o prêmio, você pode ficar com ele ou pagar US$ 1 para concorrer a uma nova oferta. Você pode fazer isso quantas vezes quiser.

Qual é a estratégia ideal e qual é o ganho esperado ao seguir essa estratégia?

anônimo

Você deve aceitar um prêmio maior que 20-2*sqrt(10) = $13,67544. O ganho esperado seguindo esta estratégia é de $14,675445.

Seja x o valor mínimo que você aceitará.

O valor médio em relação a x é (20+x)/2.

A probabilidade de você aceitar qualquer oferta dada é (20-x)/20.

O número médio de ofertas que você recusará é 1/((20-x)/20) = 20/(20-x).

Seja f(x) = O ganho final médio = (20+x)/2 - 20/(20-x).

Para encontrar o ganho máximo, resolva para x quando f'(x)=0.

f'(x) = 1/2 - 20/(20-x)^2 = 0

20/(x^2 - 40x + 400) = 1/2

x² - 40x + 400 = 40

x² - 40x + 360 = 0

Resolva para x usando a Fórmula Quadrática...

x = (40 - 4*sqrt(10))/2 = 20 - 2*sqrt(10) = 13,67544468.

Isso faz com que a vitória média seja (20 + 13,67544468)/2 - 20/(20-13,67544468) =~ 14,675445.

sqrt(3-x) = 3-x 2

Resolva para x.

anônimo

x = -1, 2, (sqrt(13)-1)/2, -(sqrt(13)+1)/2

Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos 3 - x = x⁴ - 6x² + 9

f(x) = x⁴ - 6x² + x + 6 = 0

Em seguida, use o Teorema da Raiz Racional para encontrar um fator de x.

As possíveis raízes são x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1)

Se x = -1, então f(x) = 0. Portanto, (x + 1) é um fator.

x 4 - 6x 2 + x + 6 = (x+1)(x 3 - x 2 -5x + 6)

Aplicando novamente o Teorema da Raiz Racional, obtemos as possíveis raízes de x = +/- (1/1, 2/1, 3/1, 6/1).

Após algumas tentativas e erros, percebe-se que x=2 é uma solução. Portanto, (x-2) é um fator.

x 3 - x 2 -5x + 6 = (x-2)(x 2 + x + 3)

Usando a fórmula quadrática para resolver x 2 + x + 3 = 0, obtemos x = (-1 +/- sqrt(13))/2.

Assim, todas as soluções são x = -1, 2, (-1 + sqrt(13))/2, (-1 - sqrt(13))/2.