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Pergunte ao Mago #420
Em média, quantas pessoas você precisa selecionar aleatoriamente para obter três pessoas com a mesma data de aniversário?
Aqui está minha solução (PDF).
Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .
George Wendt (o ator que interpretou Norm em Cheers) faleceu em 20 de maio, no mesmo dia do ano em que o último episódio de Cheers foi ao ar, 32 anos antes. Que coincidência!
Deixe-me reformular a pergunta: qual a probabilidade de ele morrer no aniversário do último episódio da série? A resposta é simples: 1 em 365,25. Se você escolher dois dias aleatoriamente, com reposição, do calendário, a probabilidade de que sejam iguais é o inverso do número de dias em um ano, ou seja, 1/365,25.
Existe alguma maneira de estimar a quantidade de números primos abaixo de um determinado número?
Sim! De acordo com o Teorema dos Números Primos , o número de primos menores que n pode ser estimado como n/ln(n).
De acordo com o teorema, a distância média entre primos de 1 a n pode ser estimada como ln(n). Assim, o número de primos menores que n pode ser estimado como n/ln(n).
Uma extensão deste teorema é que o n-ésimo número primo pode ser estimado como n*ln(n).
Por exemplo, o número de números primos abaixo de um bilhão pode ser estimado como 1.000.000.000/ln(1.000.000.000) ≈ 48.254.942. O número real de números primos abaixo de um bilhão é 50.847.534. Portanto, a estimativa está 5,1% abaixo do valor real. Essa margem de erro diminui à medida que n aumenta.
São necessários cinco dias para descer um rio de canoa a favor da correnteza. São necessários sete dias para subir o mesmo rio contra a correnteza.
- Quanto tempo levaria sem corrente elétrica?
- Quanto tempo levaria para descer o rio com a correnteza normal sem remo?
1. 35/6 dias
2. 35 dias
Lembre-se que distância = velocidade × tempo.
Vamos definir algumas variáveis:
- d = distância
- c = velocidade da canoa
- f = taxa de fluxo do rio
Vamos transformar as duas informações que nos foram dadas em equações:
- d = (c+f)*5
- d = (cf)*7
Vamos igualar as duas equações:
(c+f)*5 = (cf)*7
5c + 5f = 7c - 7f
12f = 2c
c = 6f
Vamos escolher arbitrariamente f=1. Então c=6*1=6. Além disso, d=(6+1)*5 = 35.
Para responder à primeira pergunta, vamos resolver para t quando c=0: 35=6t.
t=35/6 = 5 5/6 dias.
Para responder à segunda pergunta, vamos resolver para t quando c=0 e f=1: 35=1t.
t=35/1 = 35 dias.
Essa questão também é abordada e respondida no canal do YouTube Mind Your Decisions, no vídeo intitulado "A maioria dos estudantes universitários dos EUA não consegue resolver isso" .