Pergunte ao Mago #421

Considerando que todos os jogadores tenham o mesmo nível de habilidade, qual é a probabilidade de a equipe que saca primeiro no pickleball vencer a partida?

anônimo

Gostaria de relembrar aos demais leitores as regras de pontuação no pickleball.

A primeira equipe a atingir 11 pontos e vencer por pelo menos dois pontos de diferença, ganha o jogo.
Cada equipe tem dois jogadores, que chamarei de jogador 1 e jogador 2. Chamarei as duas equipes de A e B, sendo que a equipe A saca primeiro.
O jogador 2 da equipe A saca.
Se a equipe A da etapa 3 vencer o ponto, ela ganha um ponto e a mesma pessoa saca novamente. Isso continua até que a equipe B vença o ponto.
O jogador 1 da equipe B saca.
Se a equipe B da etapa 5 vencer o ponto, ela ganha um ponto e a mesma pessoa saca novamente. Isso continua até que a equipe A vença o ponto.
O jogador 2 da equipe B saca.
Se a equipe B da etapa 5 vencer o ponto, ela ganha um ponto e a mesma pessoa saca novamente. Isso continua até que a equipe A vença o ponto.
O jogador 1 da equipe A está sacando.
Se a equipe A da etapa 7 vencer o ponto, ela ganha um ponto e a mesma pessoa saca novamente. Isso continua até que a equipe B vença o ponto.
Volte à regra 3.

Observe que a equipe que recebe o saque não pode ganhar pontos. Ela está jogando para recuperar o saque.

Uma explicação mais concisa é a seguinte: a mesma pessoa saca e ganha um ponto a cada ponto ganho, até que a outra equipe vença um ponto. A equipe que recebe o saque não ganha pontos. Quando a vez de sacar passa de uma equipe para a outra, ambos os jogadores da equipe que está sacando têm a chance de sacar. Para tornar o jogo mais equilibrado, o segundo jogador de uma das equipes começa sacando. Isso continua até que uma das equipes tenha pelo menos 11 pontos e uma vantagem de pelo menos 2 pontos.

Dito isso, minha resposta é que a probabilidade de a equipe que está sacando vencer é de 0,499999997522. Isso foi resolvido usando uma Cadeia de Markov.

Essa pergunta foi feita e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Suponha que temos uma loteria na qual 6 bolas são escolhidas aleatoriamente em um intervalo de 1 a 54. Qual é a probabilidade de que, em 50 sorteios, pelo menos 1 bola não seja sorteada?

KevinAA

A resposta é 0,140150159777671.

Um começo é perguntar qual é a probabilidade de qualquer número específico não ser sorteado em 50 sorteios. Essa resposta é (combin(53,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = (8/9) ⁵⁰ = 0,002769325.

Para a probabilidade de um determinado número não ser sorteado em 50 sorteios, multiplique o valor acima por 54: 54 × 0,002769325 = 0,149543533246569.

No entanto, isso representa uma situação de dupla contagem, onde dois números não são sorteados em 50 jogos. A probabilidade de dois números específicos não serem sorteados em 50 jogos é (combin(52,6)/combin(54,6)) ^{× 50} = 0,788260 ^{× 50} = 0,00000681512. Existem combin(54,2) = 1431 maneiras de escolher quaisquer duas bolas dentre 54. Portanto, a probabilidade de quaisquer duas bolas não serem sorteadas em 50 jogos é 1431 × (combin(52,6)/combin(54,6)) ^{× 50} = 0,009752432.

Portanto, agora estamos em 0,149543533246569 - 0,009752431939662 = 0,139791101306907.

No entanto, o ajuste de contagem dupla acima contabiliza duas vezes as situações em que três números não são sorteados em 50 jogos. Essa probabilidade é combin(54,3)*(combin(51,6)/combin(54,6)) ⁵⁰ = 0,000367891216781.

Portanto, agora estamos em 0,149543533246569 - 0,009752431939662 + 0,000367891216781 = 0,140158992523688.

Continuamos fazendo isso, alternando entre adição e subtração. O Excel só consegue lidar com cerca de 15 dígitos significativos, então precisamos fazer isso apenas até oito números faltantes para estarmos corretos dentro desses 15 dígitos significativos.

No final, a probabilidade chega a 0,140150159777671.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Suponha que as probabilidades justas para um evento acontecer sejam de 6,3 para 1. Uma casa de apostas oferece essa aposta com odds de 6 para 1. Se ela quisesse oferecer uma aposta na vitória do time favorito com a mesma vantagem da casa que a aposta no azarão, quais odds ela deveria oferecer?

anônimo

Se as probabilidades justas forem de 6,3 para 1, então a probabilidade de ganhar é de 1/7,3.

Uma aposta no azarão paga 6 para 1, o que é o mesmo que 7 para 1. Isso faz com que a vitória esperada seja = 7/7,3 = 70/73 = 0,958904.

A probabilidade de o favorito vencer é 6,3/7,3 = 63/73.

Vamos considerar as probabilidades, com base em uma probabilidade de "um para um", de que o favorito vença f.

Resolva para f, de forma que:

(63/73) × f = 70/73.

Multiplique ambos os lados por 73:

63f = 70

f = 70/63 = 10/9

Para converter isso para uma base "para um", subtraia 1. Portanto, as probabilidades de o favorito vencer devem ser definidas como 1 para 9.