Pergunte ao Mago #423

Q: <p>Você recebe, em média, um e-mail a cada seis minutos. A probabilidade de receber um e-mail em um dado momento é constante e independente do tempo decorrido desde o recebimento do último e-mail. A cada minuto, você joga um dado de seis lados, começando daqui a um minuto. Qual é a probabilidade de você receber um e-mail antes de tirar um seis no dado?</p>

<div><button onclick='var btn = this; var div = btn.parentNode.childNodes[1]; if (div.style.display != "block") { div.style.display="block"; } else { div.style.display="none"; }' style='padding:2px 4px;'>Resposta</button><div class='spoiler'>(1-e <sup>-1/6</sup> )/(1-(5/6)e <sup>-1/6) =~ 0,52111006</div></div> <p> </p><p>Aqui está minha <a href="/pdf/2079/ask-the-wizard-423.pdf">solução</a> (PDF).</p> <p>Esta pergunta foi feita e discutida no meu fórum no <a href="https://wizardofvegas.com/forum/questions-and-answers/math/34502-easy-math-puzzles/100/#post960215" target=_blank>Wizard of Vegas</a> .</p></sup>

Ouvi dizer que o resultado nos jogos de roleta eletrônica é predeterminado por um gerador de números aleatórios. Depois, o jogo, de alguma forma, faz a bola cair no número certo. Talvez ajuste a velocidade da roleta, use ímãs ou sopre ar na bola. O que está acontecendo de verdade, Wiz?

anônimo

Eu arquivo essa teoria na minha enorme pasta de teorias da conspiração sobre cassinos. Não há absolutamente nenhuma razão para qualquer fabricante de jogos de mesa eletrônicos fazer isso. Um cético poderia dizer que o motivo é fazer a bola cair onde os jogadores perderiam mais. No entanto, isso seria ilegal na maioria das jurisdições e fácil de testar para alguém como eu. A roleta com duplo zero já tem uma vantagem da casa de 5,26%, o que é bastante.

Esse assunto surge de vez em quando no meu fórum, Wizard of Vegas . Nunca vi nenhum dado que comprovasse essa alegação, apenas relatos isolados, na melhor das hipóteses.

Vamos supor que haja um evento de encontros heterossexuais com a presença de m homens e w mulheres. Cada pessoa escreve c nomes em um cartão com os nomes de pessoas que gostaria de conhecer. Após o evento, o anfitrião irá formar pares entre os casais formados pelos mesmos participantes. Qual a probabilidade de eu conseguir pelo menos um par? Você pode assumir que as escolhas são aleatórias.

anônimo

Supondo que você seja homem, a probabilidade de uma mulher te escolher é c/m. Portanto, a probabilidade de uma mulher não te escolher é (mc)/m. A probabilidade de c mulheres não te escolherem é ((m-1)/m) ^c . A probabilidade de haver pelo menos um match é 1 unidade menor que essa probabilidade, ou seja, 1-((m-1)/m) ^c . Observe que o número de mulheres jogando não importa. Apenas as que você colocou no seu cartão.

Vejamos um exemplo. Suponha que haja 50 homens e cinco nomes por cartão. A probabilidade de haver pelo menos uma correspondência é 1-((50-5)/50) ⁵ ≈ 40,95%. Aliás, isso pode ser aproximado por 1-e ^{-(c ² /m).}

Vi essa foto no Twitter. Qual a probabilidade do crupiê distribuir oito ases para si mesmo?

DJTeddyBear

Vamos supor um sapato novo com seis baralhos. Existem combin(32,8) = 10.518.300 maneiras de escolher oito ases dentre as 32 cartas no sapato. Há um total de 312 cartas no sapato. Existem combin(312,8) = 2.034.346.802.568.790 maneiras de escolher quaisquer oito delas. Portanto, a probabilidade é 10.518.300 / 2.034.346.802.568.790 ≈ 1/193.410.228.

Outra maneira de resolver pr(primeira carta é um ás) × pr(primeira carta é um ás) × ... × pr(oitava carta é um ás) = (32/312) × (31/311) × ... × (25/305).

Você recebe, em média, um e-mail a cada seis minutos. A probabilidade de receber um e-mail em um dado momento é constante e independente do tempo decorrido desde o recebimento do último e-mail. A cada minuto, você joga um dado de seis lados, começando daqui a um minuto. Qual é a probabilidade de você receber um e-mail antes de tirar um seis no dado?

Ace2

(1-e ^-1/6 )/(1-(5/6)e ^{-1/6) =~ 0,52111006}

Aqui está minha solução (PDF).

Esta pergunta foi feita e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .