Blackjack - Probabilidade

Essa é uma pergunta típica que se pode encontrar em uma aula introdutória de estatística. Como a soma de um grande número de variáveis aleatórias sempre se aproxima de uma curva normal, podemos usar o teorema do limite central para obter a resposta.

Na minha seção sobre a vantagem da casa, descobrimos que o desvio padrão no blackjack é de 1,17. Você não entenderá isso se não tiver estudado estatística, mas a probabilidade de estar em desvantagem no seu exemplo será a estatística Z de 45000*0,005/(45000 ^1/2 *1,17) ≈ 0,91.

Qualquer livro básico de estatística deve ter uma tabela normal padrão que fornecerá a estatística Z de 0,8186. Portanto, a probabilidade de estar em vantagem no seu exemplo é de cerca de 18%.

Quando o dealer para em um 17 suave, ele estoura em cerca de 29,1% das vezes. Quando o dealer pede carta em um 17 suave, ele estoura em cerca de 29,6% das vezes. De acordo com meu apêndice 4 sobre blackjack , a probabilidade de uma vitória líquida é de 42,42%. No entanto, se desconsiderarmos os empates, a probabilidade é de 46,36%. Portanto, a probabilidade de quatro vitórias consecutivas é de 0,4636 / ⁴ = 4,62%.

Obrigado pelas suas amáveis palavras. Sequências, como o dealer tirar um 5 e depois um 16, são inevitáveis, mas não previsíveis. O blackjack não é inteiramente um jogo de tentativas independentes como a roleta, mas o baralho não é predisposto a formar sequências. Para quem não conta cartas, pode-se presumir que as probabilidades são as mesmas em cada nova rodada. Deixando de lado alguns efeitos menores da composição do baralho, o dealer que tirou um 5 e depois um 16 nas últimas cinco vezes seguidas teria a mesma probabilidade de fazer isso na próxima vez que o dealer que estivesse estourando no 16 há várias horas.

De acordo com o meu apêndice 4 sobre blackjack , a probabilidade de uma vitória geral no blackjack é de 42,22%, um empate é de 8,48% e uma derrota é de 49,10%. Vou assumir que você deseja ignorar os empates para fins de cálculo da sequência. Nesse caso, a probabilidade de uma vitória, dada uma aposta resolvida, é de 46,36%. A probabilidade de ganhar n mãos em sequência é de ^0,4636n . Portanto, a probabilidade de ganhar seis mãos seguidas é de 0,99% e sete mãos seguidas é de 0,46%.

O que você vivenciou provavelmente é resultado de uma sequência de derrotas muito ruins. Também pode ser consequência de apostas progressivas ou erros de estratégia. O jogador que adota a estratégia básica de apostar com uma mão fixa deve ter uma expectativa aproximadamente simétrica em termos de grandes altas e baixas, com uma ligeira vantagem para as grandes baixas devido à vantagem da casa e uma probabilidade de 48% de perder a mão, em comparação com 43% de ganhar. Se estou jogando por diversão, saio da mesa quando a diversão acaba.

Seja n o número de baralhos. A probabilidade de um blackjack é 2*(4/13)*(4n/(52*n-1)). Se n=6, a probabilidade é 192/4043 = 4,75%.

Obrigado pelas gentis palavras. Você fez uma boa pergunta para a qual não há uma resposta definitiva. É mais uma questão de grau: quanto mais você joga, mais seus resultados se aproximam da vantagem da casa. Recentemente, substituí o apêndice 4 do meu livro sobre blackjack por algumas informações sobre o desvio padrão, o que pode ajudar. Por exemplo, esta tabela mostra que, se você jogar 10.000 mãos de blackjack, a probabilidade é de 90% de terminar dentro de uma margem de 192 unidades em relação ao ponto de partida, após subtrair a perda esperada devido à vantagem da casa. Portanto, em 10.000 mãos, você provavelmente ganhará ou perderá menos de 2% do dinheiro total apostado devido à variação aleatória. No entanto, se considerarmos um milhão de mãos, a probabilidade é de 90% de uma variação de 0,2% devido à sorte. Em geral, a variação na média é inversamente proporcional à raiz quadrada do número de mãos jogadas. Tudo isso pressupõe apostas fixas; caso contrário, os cálculos ficam bastante complexos.

A probabilidade de a primeira carta ser um ás é 4/52. A probabilidade de a segunda carta ser um 10 é 16/51. Portanto, a probabilidade de um blackjack começar com um ás é (4/52)*(16/51). Multiplicando isso por 2, já que o 10 poderia ser a primeira carta, a resposta é 2*(4/52)*(16/51) = 128/2652 = 0,0482655, ou aproximadamente 1 em 20,7.

Desde que esta pergunta foi enviada, um jogador segurou os dados por 154 lançamentos em 23 de maio de 2009 em Atlantic City. A probabilidade disso é de 1 em 5.590.264.072. Para a probabilidade de qualquer número de lançamentos de 1 a 200, consulte minhas tabelas de sobrevivência do craps . Para saber como resolver o problema você mesmo, consulte meu site MathProblems.info , problema 204.

Sua perda esperada seria de 100 * $5 * 0,005 = $2,50. O desvio padrão de uma mão é 1,17, que pode ser encontrado no meu apêndice 7 sobre blackjack . Portanto, um desvio padrão no seu exemplo é $5 * 1,17 * √100 = $58,5. Assim, a probabilidade de perder $295 ou mais por azar é de 0,00135 (a estatística Z para -3).

Restam 103 cartas nos dois baralhos, sendo 32 delas de valor 10. Portanto, a probabilidade de um blackjack é de 32/103 = 31,07%.

A probabilidade de um blackjack suited em um jogo de seis baralhos é 2*(4/13)*(6/311) = 0,0118723.

Tento resolver isso no meu apêndice 8 sobre blackjack , mas vou explicar mais detalhadamente aqui. Para simplificar, vamos ignorar os blackjacks do dealer e assumir que o jogador sempre pede carta após duas cartas. O número de maneiras de organizar 3 cartas em um sapato de 6 baralhos é combin(312,3)=5.013.320. Há 24 setes no sapato. O número de maneiras de organizar 3 setes dentre 24 é combin(24,3)=2024. A probabilidade é o número de combinações vencedoras dividido pelo número total de combinações, ou 2024/5013320=0,0004, ou aproximadamente 1 em 2477.

Você está se esquecendo de que existem duas ordens possíveis: o ás ou o dez podem vir primeiro. Multiplique por 2 e você terá a resposta.

De acordo com o livro "Basic Blackjack" de Stanford Wong, a vantagem do jogador, dado que a primeira carta é um ás, é de 50,5% (página 124). Sua pergunta, no entanto, poderia ser reformulada como: "qual é o valor do ás, dado que a outra carta não é um dez?". Usando um baralho infinito para simplificar, podemos decompor o número de Wong da seguinte forma: 0,505 = (4/13)*1,5 + (9/13)*x, onde x é o valor que você deseja saber. Fazendo um cálculo algébrico simples, obtemos x = 28,5%.

Sim! Boa pergunta, nem eu sabia disso. Quanto menos baralhos e maior o número de cartas, mais isso se confirma. Para testar o cenário mais provável de favorecer o acerto, com 8 baralhos e apenas 3 cartas, executei todas as situações possíveis no meu programa combinatório. A tabela a seguir mostra os resultados.

Os dois números à direita na linha inferior mostram que o valor esperado geral para pedir carta é -0,540355 e para ficar é -0,540293. Portanto, ficar é a jogada marginalmente melhor. Seguir essa regra resultará em uma unidade extra a cada 1.117.910 mãos. Levaria cerca de 5 anos jogando blackjack 40 horas por semana para que essa dica economizasse uma unidade ao jogador.

De acordo com o apêndice 9H do meu livro sobre blackjack, o retorno esperado de ficar parado é de -0,476476 e o de pedir carta é de -0,408624, assumindo que o 16 seja composto por um 10 e um 6. Portanto, ao pedir carta, você economizará 6,79 centavos para cada dólar apostado. Esta não é nem mesmo uma jogada marginal. Não há uma resposta simples para explicar por que você deveria pedir carta. Esses valores esperados consideram todas as inúmeras maneiras pelas quais a mão pode se desenrolar. A melhor jogada para um bilhão de mãos é a melhor jogada para uma mão específica. Se você quiser se desviar da estratégia básica, aqui estão algumas jogadas limítrofes: 12 contra 3, 12 contra 4, 13 contra 2, 16 contra 10. Desviar-se nessas mãos lhe custará muito menos.

(1) Depende do que acontece se o dealer tiver um blackjack. Se o jogador tiver a garantia de não perder mais do que a aposta inicial, então não importa se o dealer pedir uma segunda carta ou não. Se o jogador corre o risco de perder o valor total apostado após dobrar ou dividir e o dealer conseguir um blackjack, então isso favorece o dealer. (2) Não preciso simular isso porque o número de jogadores não faz diferença.

Depende do número de baralhos. Se o número de baralhos for n, então a probabilidade é 2*pr(ás)*pr(10) = 2*(1/13)*(16*n/(52*n-1)), que é convenientemente aproximadamente 1 em 21. Aqui está a resposta exata para vários números de baralhos.

Se a probabilidade de um blackjack é p, então a probabilidade de não obter nenhum blackjack em 10 mãos é 1 - (1 - p) ¹⁰ . Por exemplo, em um jogo com seis baralhos, a resposta seria 1 - 0,952511 ¹⁰ = 0,385251.

Vou assumir que nunca há embaralhamento entre as mãos. Os outros três jogadores não importam. A resposta seria ^2³ * (16/52) * (4/51) * (15/50) * (3/49) * (14/48) * (2/47) = 0,00004401, ou cerca de 1 em 22722. Se houvesse embaralhamento entre as mãos, a probabilidade aumentaria substancialmente.

O número de mãos não importa. A probabilidade é 2*(4/13)*(8/103) = 0,0478.

Depende se houver embaralhamento entre os blackjacks. Supondo que não haja, a probabilidade seria 8*(16/52)*(4/51)*(15/50)*(3/49)*(14/48)*(2/47) = 0,000044011058. O número de outros jogadores não importa, exceto se eles causarem um embaralhamento.

Conforme o apêndice 7 do meu livro sobre blackjack, vemos que cada 9 removido de um jogo com um único baralho aumenta a vantagem da casa em 0,20%. No entanto, se você fosse trapacear, seria muito melhor remover um ás, o que aumenta a vantagem da casa em 0,58%. Se você fosse adicionar uma carta como dealer, deveria adicionar um 5, o que aumenta a vantagem da casa em 0,80%. Portanto, a melhor carta para o jogador é o ás e a melhor para o dealer é o 5.

Não tenho problema nenhum em aumentar sua aposta quando você se sente com sorte. O importante é jogar bem as suas cartas. A menos que você esteja contando cartas, você tem a liberdade de apostar o quanto quiser. Como sempre digo, todos os sistemas de apostas são igualmente inúteis, então jogar por instinto é tão bom quanto apostar sempre o mesmo valor a longo prazo. Quando eu disse que a probabilidade de perder 8 mãos seguidas é de 1 em 173, quis dizer que, a partir da próxima mão, a probabilidade de perder 8 seguidas é de 1 em 173. As chances de 8 derrotas seguidas em uma sessão são maiores quanto mais longa for a sessão. Espero que isso responda à sua pergunta.

A probabilidade de isso ocorrer, com suas outras duas cartas sendo quaisquer duas cartas de valor 10, é 4*COMBIN(6,4)*COMBIN(6*16,2)*(4/6)*(3/5)*(1/2)/combin(312,6), ou seja, 1 em 22.307.231. No entanto, existem outras maneiras de se obter quatro ases na mesma mão; por exemplo, a última carta pode ser um 8 ou um 9. Eu precisaria fazer uma simulação computacional para considerar todas as outras combinações. Contudo, para fazer uma estimativa aproximada, diria que 7 milhões parece um valor razoável.

Levei anos para acertar os cálculos de divisão de pares. A Cindy, da Gambling Tools, foi muito prestativa. Peter Griffin também aborda esse tópico no capítulo 11 de "The Theory of Blackjack". Digamos que eu queira determinar o valor esperado de dividir um par de oitos contra um 2 do dealer. É permitido dividir novamente até quatro mãos. Veja como eu fiz.

1. Retire um 2 e dois 8 do sapato.
2. Determine a probabilidade de o jogador não obter um terceiro oito em nenhuma das mãos.
3. Analise todas as cartas, exceto o 8, subtraia essa carta do baralho, jogue uma mão com essa carta e um 8, determine o valor esperado e multiplique por 2. Para cada carta, determine a probabilidade dessa carta, dado que a probabilidade de outro 8 é zero. Calcule o produto escalar da probabilidade pelo valor esperado para cada carta.
4. Multiplique esse produto escalar pela probabilidade obtida na etapa 2.
5. Determine a probabilidade de o jogador dividir as cartas em 3 mãos.
6. Retire mais um 8 do baralho.
7. Repita o passo 3, mas multiplique por 3 em vez de 2.
8. Multiplique o produto escalar da etapa 7 pela probabilidade da etapa 5.
9. Determine a probabilidade de o jogador dividir as cartas em 4 mãos.
10. Retire mais dois números 8 do sapato.
11. Repita o passo 3, mas multiplique por 4 em vez de 2 e, desta vez, considere obter um 8 como terceira carta, correspondendo à situação em que o jogador é forçado a parar de dividir novamente.
12. Multiplique o produto escalar da etapa 11 pela probabilidade da etapa 9.
13. Some os valores das etapas 4, 8 e 12.

A parte mais difícil de tudo isso é o passo 3. Tenho uma sub-rotina muito complexa, cheia de fórmulas longas que determino usando árvores de probabilidade. Fica especialmente complicada quando o crupiê tem um 10 ou um ás à mostra.

Vamos supor seis baralhos de cartas e que o jogador sempre pega uma terceira carta (seja pedindo carta ou dividindo). O número de maneiras de tirar 3 setes do mesmo naipe é o número de naipes (4) vezes o número de maneiras de escolher 3 dentre os 6 setes desse naipe no sapato. Em outras palavras, 4 × combin (6,3) = 4 × 20 = 80. O número de maneiras de tirar 3 setes coloridos, incluindo 3 setes do mesmo naipe, é o número de cores vezes o número de maneiras de escolher 3 dentre os 12 setes dessa cor no sapato, ou 2 × combin(12,3) = 2 × 220 = 440. O número de maneiras de tirar quaisquer 3 setes, incluindo 3 setes coloridos e do mesmo naipe, é o número de maneiras de escolher 3 cartas dentre os 24 setes no sapato, ou combin(24,3) = 2024. O número total de combinações possíveis para quaisquer 3 cartas dentre 312 é combin(312,3)=5013320. Portanto, a probabilidade de 3 setes do mesmo naipe é 80/5013320=0,000015957. A probabilidade de três setes de cores diferentes, mas não do mesmo naipe, é (440-80)/5013320=0,0000718. A probabilidade de três setes de cores misturadas é (2024-440)/5013320= 0,00031596.

Sim, eu calculo as probabilidades do blackjack usando uma abordagem combinatória, analisando todas as maneiras possíveis de as cartas do jogador e do dealer saírem, considerando o maior valor esperado em cada ponto de decisão. Isso é mais difícil de programar do que uma simulação, mas acho mais elegante e um bom desafio em programação recursiva. No entanto, ainda respeito meus colegas que fazem simulações. Com os computadores de hoje, não leva muito tempo para executar um bilhão de apostas, o que se aproxima bastante do retorno da estratégia ideal.

Não são muitos os lugares que permitem dividir ases novamente, então fique feliz por estar jogando em um lugar que permite. Sua posição no baralho não importa. A probabilidade disso é a probabilidade de que as primeiras quatro cartas retiradas do baralho sejam ases e as quatro seguintes sejam dez, ou (combin(24,4)/combin(312,4))*(combin(96,4)/combin(308,4)) = 1 em 4.034.213.

Parece que recebo uma variação dessa pergunta pelo menos uma vez por mês. Vamos assumir, por enquanto, que o baralho é embaralhado após cada mão, para facilitar os cálculos. Se a probabilidade de algo acontecer é p, então a probabilidade de acontecer n vezes seguidas é ^pⁿ . A probabilidade de um blackjack em um jogo com um único baralho é 4*16/combin(52,2) = 64/1326. Portanto, a probabilidade de quatro em sequência é (64/1326) ^⁴ = 16777216/3091534492176 = 1 em 184270. No entanto, a probabilidade real é muito menor, porque à medida que o jogador consegue cada blackjack, a proporção de ases em relação às cartas restantes no baralho diminui. Sem saber quais cartas o crupiê recebeu, não posso dar a resposta exata.

De nada, obrigado pelos elogios. A probabilidade de receber 3 curingas seguidos de um sapato com seis baralhos (mais os 3 curingas) é 1/combin(315,3) = 1 em 5.159.805. Outra solução é (3/315)*(2/314)*(1/313).

Todo especialista legítimo em blackjack concorda que a vantagem da casa diminui à medida que o número de baralhos diminui, mantendo-se todas as outras regras iguais. No entanto, é difícil explicar o porquê. Primeiro, é verdade que você tem mais probabilidade de receber uma carta baixa e uma carta alta em um jogo com um único baralho do que em um jogo com vários baralhos. Por exemplo, se definirmos uma carta baixa como sendo de 2 a 6, e uma carta alta como qualquer carta de valor 10 ou um ás, então a probabilidade de receber uma de cada em um único baralho é 2*(20/52)*(20/51) = 30,17%. A probabilidade em um jogo com 8 baralhos é 2*(160/416)*(160/415) = 29,66%. Embora os jogadores com pouca carta possam cortar para ambos os lados, o jogador tem a liberdade de parar, enquanto o dealer é obrigado a sempre pedir carta.

Seguem as probabilidades:

Jogador 1 0,048265
Jogador 2 0,036735
Jogador 3 0,024823
Revendedor 0,012560

O produto tem uma probabilidade de 1 em 1.808.986.

Obrigado pelo elogio. Infelizmente, não conheço nenhuma fonte, nem mesmo eu, que mostre código para análise de jogos. Levei anos para fazer meu motor de blackjack funcionar perfeitamente (dividir as cartas quando o dealer tinha um 10 ou um ás à mostra era muito complicado). Uma maneira mais fácil de obter a vantagem da casa no blackjack é escrever uma simulação aleatória. Um dia desses, gostaria de escrever um livro sobre como analisei os jogos, mas receio que só você o compraria.

2*(4/13)*(4n/(52n-1))

A probabilidade é (4/52)*(3/51)*(2/50)*(1/49)*(4/48) = 1 em 3.248.700.

Obrigado pelo elogio.

Considerando um jogo com seis baralhos, onde o dealer para no 17 suave e o jogador joga com estratégia básica, aqui estão os resultados aproximados com base em uma simulação de 100 milhões de mãos.

Se você tivesse um jogo sem vantagem da casa, a probabilidade de ganhar $200 com $5000 para arriscar, usando qualquer sistema, seria de 5000/(5000+200) = 96,15%. A fórmula geral para ganhar w com uma banca de b é b/(b+w). Portanto, quanto maior a banca, maiores as chances. A vantagem da casa reduzirá a probabilidade de sucesso em uma quantidade difícil de quantificar. Para um jogo com baixa vantagem da casa, como o blackjack, a redução na probabilidade de sucesso será pequena. Seria necessária uma simulação aleatória para saber com certeza. Peço desculpas se não me der ao trabalho de fazer isso. O VegasClick fez uma pequena simulação sobre a probabilidade de sucesso com o Martingale .

Isso não é verdade. O baralho restante precisa apresentar um certo grau de assimetria para que as probabilidades se inclinem a favor do jogador. Considere um lado hipotético que paga 3 para 1 por qualquer par do mesmo naipe em um jogo com um único baralho. Do topo do baralho, a probabilidade de ganhar é 4* combin (13,2)/combin(52,2) = 23,53%. No entanto, se você descartar duas cartas de naipes diferentes, a probabilidade de ganhar cai para 2*(combin(13,2)+combin(12,2))/combin(50,2) = 23,51%. Se você descartar duas cartas do mesmo naipe, a probabilidade de ganhar aumenta para (3*combin(13,2)+combin(11,2))/combin(52,2) = 23,59%. Se uma carta de cada valor fosse removida, a probabilidade de ganhar diminuiria para 4*combin(12,2)/combin(48,2) = 23,40%. Isso demonstra que, se as cartas forem removidas de forma uniforme, as chances de ganhar diminuem; no entanto, com uma distribuição muito assimétrica, as chances aumentam. À medida que o baralho é jogado, às vezes as chances melhoram e às vezes pioram, mas, a longo prazo, a média se equilibra e permanece em 23,53% de probabilidade de ganhar.

Sob as regras típicas de Las Vegas (6 baralhos, o dealer pede carta com 17 suave), a vantagem da casa ao sempre parar é de 15,7%. No curto prazo, ainda é possível superar essa vantagem, mas no longo prazo, as perdas serão significativas.

No Cryptologic, eles usam 8 baralhos e o dealer para no 17 suave. De acordo com meu apêndice 2 sobre blackjack , a probabilidade do dealer estourar com um 6 é de 0,422922. Portanto, a probabilidade de não estourar é 1 - 0,422922 = 0,577078. A probabilidade de não estourar 7 vezes em 7 é (0,577078) ⁷ = 2,13%.

Uau! A probabilidade disso é (combin(24,6)/combin(312,6)) * (24/306) * (combin(18,5)/combin(305,5)) = 1 em 287.209.346.813.617.

Essa probabilidade seria 52/ combin (260,5) = 5/9525431552 = 1 em 1.905.086.310.

Considerando as regras liberais da Las Vegas Strip (seis baralhos, o dealer para no 17 suave, dobrar após dividir permitido, desistência tardia permitida, dividir ases novamente permitido), as probabilidades a seguir são os resultados possíveis ao dobrar com as duas cartas iniciais. Isso não inclui dobrar após dividir.

Do meu apêndice 4 sobre blackjack, vemos as seguintes probabilidades para cada mão inicial.

• Vitória de 42,43%
• Perda de 49,09%
• Empate de 8,48%

Portanto, a probabilidade de sofrer exatamente 19 derrotas consecutivas é de 0,4909^19*(1-0,4909) = 1 em 1.459.921. A título de comparação, a probabilidade de receber um royal flush no vídeo pôquer é de 1 em 649.740, ou seja, 2,25 vezes maior. Jogadores assíduos de vídeo pôquer são conhecidos por receberem vários royal flushes, então, se você joga muito blackjack, provavelmente enfrentará uma sequência de derrotas desse tipo eventualmente.

A razão pela qual a estratégia muda, de acordo com o número de cartas na sua mão, como mostrado no apêndice 18, é que cada carta que sai do baralho altera as probabilidades de todas as cartas restantes serem jogadas. Um bom exemplo é a estratégia básica com um baralho, que diz para desistir com 7,7 contra um 10; mas para qualquer outro 14, você deve pedir carta. O motivo para desistir é que metade dos setes já foram removidos do baralho. Você precisa de mais um sete para fazer 21, a única mão que vence um 20 do dealer. Portanto, a escassez de setes reduz o valor esperado de pedir carta para menos da metade da aposta, tornando a desistência a melhor jogada.

Em um sapato com oito baralhos, há 416 cartas. Isso pode parecer muito, mas um 16 contra um 10 é uma mão tão instável que remover apenas uma carta pode tornar a decisão de parar mais vantajosa. A regra é que, para oito baralhos ou menos, se o seu 16 for composto por três ou mais cartas e o crupiê tiver um 10, você deve parar. Em um 16 com duas cartas, a média de pontos por carta é 8, enquanto em um 16 com três cartas, a média é 5,33. Com mais cartas baixas removidas do baralho em uma mão de três cartas, o baralho restante fica com mais cartas altas, tornando pedir mais arriscado e inclinando as probabilidades a favor de parar.

Demonstro que essa regra vale 0,026% para o jogador. Apesar do incentivo para pedir carta com 7,7 contra um dealer com 2-7, o jogador ainda deve seguir a estratégia básica e dividir.

Meu apêndice 14 sobre blackjack mostra que, se sua primeira carta for um seis, seu valor esperado já é de cerca de -21%. Por exemplo, se ele apostou $100, um preço justo para vender a mão e a aposta seria de cerca de $79. Talvez você possa se aproveitar das reclamações dele oferecendo-se para comprar a mão por menos do que os 79 centavos por dólar. Eu sugiro 75 centavos por dólar, para lhe dar uma vantagem, sem abusar dela.

Para benefício dos demais leitores, segue o conjunto completo de regras:

• Um único convés.
• O revendedor está em cima da linha macia de 17.
• Ganhar no blackjack paga o mesmo valor apostado.
• O jogador pode dobrar quaisquer duas primeiras cartas.
• Sem duplicação após split.
• O jogador pode dividir novamente até obter quatro mãos, incluindo ases.
• Não há empate para dividir ases.
• Sem rendição.
• Charlie de seis cartas (o jogador que tiver seis cartas sem estourar ganha automaticamente).
• As cartas são embaralhadas após cada mão.
• Se o jogo ficar sem cartas, todos os jogadores com mãos válidas vencem automaticamente.

A vantagem da casa usando a estratégia básica dependente do total é de 2,13%. Realizei uma simulação com 7 jogadores, usando a estratégia básica dependente do total, e o número médio de cartas usadas por rodada foi de 21,65, com um desvio padrão de 2,72. Em quase 190 milhões de rodadas jogadas, o maior número de cartas usadas foi 42, o que aconteceu 7 vezes.

Na minha opinião, mesmo com uma estratégia perfeita baseada na composição do tabuleiro, o jogador, realisticamente, nunca veria a última carta. Você poderia reduzir bastante a vantagem da casa usando uma estratégia que dependa da composição do tabuleiro, levando em consideração todas as cartas vistas ao longo do jogo. No entanto, considerando uma vantagem da casa inicial de 2,13%, você nunca chegará perto do ponto de equilíbrio, independentemente do seu esforço.

De acordo com minha comparação de jogos , os jogadores de blackjack jogam cerca de 70 mãos por hora. A probabilidade de um blackjack em um jogo com seis baralhos é de 24*96/combin(312,2)=4,75%. Suponho que um empate no blackjack ainda receba um carimbo. Portanto, seriam necessárias cerca de 30/0,0475=632 mãos para completar a cartela, ou 9,02 horas.

A probabilidade de preencher o cartão em 4 horas, considerando 280 mãos, é de 1 em 30.000 jogando uma mão de cada vez. Suspeito que qualquer jogador que tenha alcançado o objetivo em quatro horas estava jogando pelo menos duas mãos simultaneamente.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

A probabilidade de o dealer obter exatamente um 21 com 9 cartas sob essas regras é de 1 em 32.178.035. Aqui está a probabilidade para vários números de baralhos e se o dealer pede carta ou para no 17 suave.

Para minha resposta, assumirei seis baralhos de cartas.

Se o dealer paga apenas 6 para 5 em um blackjack vencedor, então o "pagamento igual" geralmente não é permitido. No entanto, acredito na sua palavra de que eles oferecem essa opção no Resorts World.

Com uma vantagem de 6 para 5, um blackjack contra um ás vale 83% do valor da aposta. Portanto, obter 100% é um ótimo negócio. Essa situação ocorre com uma probabilidade de 0,352%. No geral, isso representa 0,00352 × (1 - 0,83) = 0,0006 para o jogador. Em outras palavras, diminui a vantagem da casa em 0,06%.

Devo lembrar aos meus leitores que, se o blackjack pagar 3 para 2, o jogador deve recusá-lo. Nesse caso, um blackjack contra um ás vale 1,037 vezes o valor da aposta, portanto, aceitar apenas uma unidade seria uma má decisão.