Dados - Dados e Rolagem

Altere então o dado de forma que um tenha um seis em cada face, e o outro tenha apenas uns e cincos.

Obrigado pelas palavras gentis. Não, não acho que ter esperança ajude no cassino, considerando todas as outras coisas iguais.

A questão da influência dos dados é um tema muito debatido. Pessoalmente, sou bastante cético. Ao revisar esta resposta em 2013, ainda não encontrei nenhuma evidência convincente de que alguém possa influenciá-los o suficiente para obter vantagem.

Sou muito cético quanto a isso. Analiso alguns dos experimentos sobre o assunto no meu apêndice 3 sobre craps .

Eu não acredito nisso. Até agora, não vi nenhum nome que eu respeite endossar o método, nem qualquer evidência de que funcione. Embora eu não descarte completamente a possibilidade, sou extremamente cético. Posso morar em Nevada, mas quando se trata de coisas como manipulação de dados, sou do Missouri: "mostre-me" que funciona.

Com dados comuns, como os de jogos de tabuleiro, isso é verdade. No entanto, os dados de cassino têm pontos embutidos. Na fábrica, eles fazem furos para os pontos e inserem pontos brancos nesses furos, com a mesma densidade do próprio dado. Assim, o dado é essencialmente um cubo perfeito. Mesmo que usassem dados comuns de jogos de tabuleiro, duvido que a diferença fosse suficiente para superar a vantagem da casa.

Acredito que não existe um jogador de dados naturalmente ruim. Com a possível exceção de alguns profissionais, todos os lançamentos de dados podem ser considerados verdadeiramente aleatórios. Existem seminários sobre como superar a vantagem da casa no craps através de lançamentos precisos, mas não faço nenhuma afirmação a favor ou contra eles. Ainda não vi evidências suficientes em nenhum dos sentidos.

Perdi os US$ 1.800 para outro jornalista especializado em jogos de azar, não para Stanford. Eu teria preferido mais lançamentos, mas havia uma óbvia limitação de tempo. Supondo um lançamento por minuto, levaria 34,7 dias para lançar os dados 50.000 vezes. Não fui eu quem decidiu por 500, mas pareceu um compromisso razoável entre uma amostra grande e o tempo disponível. Você tem razão ao dizer que 500 é um número muito pequeno para se chegar a uma conclusão definitiva a favor ou contra a influência nos dados, mas 500 lançamentos são melhores do que nenhum.

Para um grande número de lançamentos, podemos usar a aproximação da Curva Gaussiana. O número esperado de setes em 655 lançamentos é 655 × (1/6) = 109,1667. A variância é 655 × (1/6) × (5/6) = 90,9722. O desvio padrão é sqr(90,9722) = 9,5379. Seus 78 setes representam 109,1667 − 78 = 31,1667 a menos do que o esperado. Isso é (31,1667 - 0,5)/9,5379 = 3,22 desvios padrão abaixo do esperado. A probabilidade de ficar 3,22 ou mais desvios padrão abaixo do esperado é 0,000641, ou 1 em 1.560. Obtive esse valor no Excel, usando a fórmula DIST.NORMAS(-3,22).

Obrigado pelas gentis palavras. Você não deveria afirmar que a probabilidade de os lançamentos não serem aleatórios é p. A forma correta de dizer é que a probabilidade de um jogo aleatório produzir tal resultado é p. Ninguém esperava que 500 lançamentos provassem ou refutassem algo. Não fui eu quem definiu a linha em 79,5 setes, mas duvido que tenha sido escolhida por ser estatisticamente significativa; suspeito que tenha sido um ponto em que ambas as partes concordariam com a aposta.

O nível de significância de 2,5% corresponde a 1,96 desvios padrão abaixo do esperado. Isso pode ser calculado com a fórmula =normsinv(0,025) no Excel. O desvio padrão de 500 lançamentos é sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8,333. Portanto, 1,96 desvios padrão correspondem a 1,96 * 8,333 = 16,333 lançamentos abaixo do esperado. O número esperado de setes em 500 lançamentos é 500*(1/6) = 83,333. Assim, 1,96 desvios padrão abaixo desse valor correspondem a 83,333 − 16,333 = 67. Verificando isso usando a distribuição binomial, a probabilidade exata de 67 ou menos setes é de 2,627%.

Não existe um ponto definitivo em que se conquista a confiança. É uma questão de grau. Primeiro, eu perguntaria o que está sendo testado e o que o atirador estima que acontecerá. Em qualquer teste, existem dois erros possíveis. Um atirador habilidoso pode falhar por azar, ou um atirador aleatório pode passar por sorte. Entre os dois, eu preferiria evitar um falso positivo. Acho que um teste razoável definiria a probabilidade de um falso negativo em cerca de 5% e a de um falso positivo em cerca de 1%.

Por exemplo, suponha que o requerente diga que consegue, em média, um total de sete a cada sete lançamentos de dados. Um lançador aleatório obteria um sete a cada seis lançamentos, em média. Por tentativa e erro, descobri que um teste que atendesse a ambos os critérios seria lançar os dados 3.600 vezes e exigir 547 ou menos setes para aprovação, ou um sete a cada 6,58 lançamentos.

Um atirador com uma probabilidade de 1 em 7 deveria acertar em média 514,3 setes, com um desvio padrão de 21,00. Usando a aproximação gaussiana, a probabilidade de um atirador habilidoso acertar 548 ou mais setes (um falso negativo) é de 5,7%. Um atirador aleatório deveria acertar em média 600 setes, com um desvio padrão de 22,36. A probabilidade de um atirador aleatório passar no teste (um falso positivo) é de 0,94%. O gráfico abaixo mostra os possíveis resultados para atiradores habilidosos e aleatórios. Se os resultados estiverem à esquerda da linha verde, eu consideraria que o atirador passou no teste e apostaria nele.

O dilema prático é que, se assumirmos dois lançamentos por minuto, levaria 30 horas para realizar o teste. Talvez eu pudesse ser mais flexível quanto ao nível de significância, para reduzir o tempo necessário, mas os resultados não seriam tão convincentes. Acho que chegou a hora de um teste maior do que o experimento de Wong com 500 lançamentos.

Primeiramente, ela lançou os dados um total de 154 vezes, sendo que o 154º lançamento resultou em um sete ( Fonte: NJ.com ). No entanto, isso não significa que ela nunca tenha tirado um sete nos primeiros 153 lançamentos. Ela poderia ter tirado muitos deles nos lançamentos iniciais. Como mostrei em minha coluna de 3 de maio de 2003 , a probabilidade de chegar ao 154º lançamento é de 1 em 5,6 bilhões. As chances de ganhar na Mega Millions são de 1 em combin (56,5)*46 = 175.711.536. Portanto, chegar a 154 lançamentos ou mais é cerca de 32 vezes mais difícil. Dado tempo suficiente e tabelas, que acredito existirem, algo assim acabaria acontecendo mais cedo ou mais tarde. Então, eu não suspeitaria de trapaça. Estimo que a probabilidade de isso acontecer em qualquer ano seja de aproximadamente 1%.

Veja também minha solução, expressa em matrizes, em mathproblems.info , problema 204.

7,7%.

O teste qui-quadrado é perfeitamente adequado para esse tipo de questão. Para usar o teste, calcule (ae) ^² /e para cada categoria, onde a é o resultado real e e é o resultado esperado. Por exemplo, o número esperado de lançamentos que totalizam 2 em 244 lançamentos é 244 × (1/36) = 6,777778. Se você não entende por que a probabilidade de rolar um 2 é 1/36, leia minha página sobre os fundamentos da probabilidade em dados . Para o valor qui-quadrado para um total de 2, a = 6 e e = 6,777778, então (ae) ^² /e = (6 - 6,777778) ^² /6,777778 = 0,089253802.

Em seguida, some os valores da coluna qui-quadrado. Neste exemplo, a soma é 16,889344. Esse valor é chamado de estatística qui-quadrado. O número de "graus de liberdade" é um a menos que o número de categorias nos dados, neste caso 11 - 1 = 10. Por fim, você pode consultar uma tabela estatística para encontrar um valor de qui-quadrado de 10,52 com 10 graus de liberdade ou usar a fórmula =DIST.QUI(16,889344;10) no Excel. Qualquer uma das opções resultará em 7,7%. Isso significa que a probabilidade de dados honestos produzirem resultados tão assimétricos ou mais é de 7,7%. Em resumo, embora esses resultados sejam mais assimétricos do que o esperado, a assimetria não é suficiente para causar preocupação. Se você continuar este teste, sugiro coletar o resultado individual de cada dado, em vez da soma. Deve-se notar também que o teste qui-quadrado não é apropriado se o número esperado de resultados de uma categoria for baixo. Uma expectativa mínima de 5 é um valor comumente mencionado.

O fato de uma rolagem ser considerada válida ou não depende do local. O regulamento de jogos de Nova Jersey 19:47-1.9(a) afirma:

Um lançamento de dados será inválido sempre que um ou ambos os dados saírem da mesa ou sempre que um dado parar sobre o outro. -- NJ 19:47-1.9(a)

A Pensilvânia possui exatamente a mesma regulamentação, Seção 537.9(a) :

Um lançamento de dados será inválido sempre que um ou ambos os dados saírem da mesa ou sempre que um dado parar sobre o outro. -- PA 537.9(a)

Perguntei a um crupiê de dados de Las Vegas, que me disse que lá seria considerado um lançamento válido, desde que fosse um lançamento correto. Embora ele nunca tenha visto isso acontecer, disse que, se acontecesse, os crupiês simplesmente moveriam o dado de cima para ver em que número o dado de baixo pararia. No entanto, é possível determinar o resultado do dado de baixo sem tocar ou olhar através do dado de cima. Veja como fazer. Primeiro, observando os quatro lados, você pode reduzir as possibilidades do dado de cima a duas. Veja como determinar o resultado com base nessas três possibilidades.

• 1 ou 6: Procure o 3. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 5, o 1 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 2, o 6 está em cima.
• 2 ou 5: Procure o 3. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 6, o 2 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 1, o 5 está em cima.
• 3 ou 4: Procure o 2. Se o ponto mais alto estiver adjacente ao 6, o 3 está em cima. Caso contrário, se estiver adjacente ao 1, o 4 está em cima.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Esta pergunta foi feita no TwoPlusTwo.com e respondida corretamente por BruceZ . A solução a seguir utiliza o mesmo método que BruceZ, a quem todo o crédito é devido. É uma resposta complexa, portanto, preste atenção.

1. Primeiro, considere o número esperado de lançamentos para obter um total de dois. A probabilidade de sair um dois é de 1/36, então seriam necessários, em média, 36 lançamentos para obter os primeiros 2.

2. Em seguida, considere o número esperado de lançamentos para obter um dois e um três. Já sabemos que serão necessários, em média, 36 lançamentos para obter o dois. Se o três for obtido enquanto se espera pelo dois, não serão necessários lançamentos adicionais para obtê-lo. No entanto, caso contrário, os dados precisarão ser lançados mais vezes para se obter o três.

   A probabilidade de sair um três é 1/18, então seriam necessárias, em média, 18 jogadas adicionais para obter o três, caso o dois saísse primeiro. Dado que há 1 maneira de sair o dois e 2 maneiras de sair o três, a probabilidade de o dois sair primeiro é 1/(1+2) = 1/3.

   Portanto, há 1/3 de chance de precisarmos das 18 jogadas extras para conseguirmos o três. Assim, o número esperado de jogadas para conseguirmos um dois e um três é 36 + (1/3) × 18 = 42.

3. Em seguida, considere quantas jogadas a mais você precisará para tirar um quatro. Se, ao jogar o dois e o três, você ainda não tiver tirado um quatro, precisará jogar os dados mais 12 vezes, em média, para conseguir um. Isso ocorre porque a probabilidade de sair um quatro é de 1/12.

   Qual é a probabilidade de obter o quatro antes de obter o dois e o três? Primeiro, vamos revisar uma regra comum de probabilidade para quando A e B não são mutuamente exclusivos:

   pr(A ou B) = pr(A) + pr(B) - pr(A e B)

   Você subtrai pr(A e B) porque essa contingência é contada duas vezes em pr(A) + pr(B). Portanto,

   pr(4 antes de 2 ou 3) = pr(4 antes de 2) + pr(4 antes de 3) - pr(4 antes de 2 e 3) = (3/4)+(3/5)-(3/6) = 0,85.

   A probabilidade de não obter o quatro no caminho para o dois e o três é 1,0 - 0,85 = 0,15. Portanto, há 15% de chance de precisar das 12 jogadas extras. Assim, o número esperado de jogadas para obter um dois, um três e um quatro é 42 + 0,15 * 12 = 43,8.

4. Em seguida, considere quantas jogadas a mais você precisará para tirar um cinco. Se, ao jogar os dados de dois a quatro, você ainda não tiver tirado um cinco, precisará jogar os dados mais 9 vezes, em média, para conseguir um, pois a probabilidade de sair um cinco é 4/36 = 1/9.

   Qual a probabilidade de se obter o cinco antes de se obter o dois, o três ou o quatro? A regra geral é:

   pr(A ou B ou C) = pr(A) + pr(B) + pr(C) - pr(A e B) - pr(A e C) - pr(B e C) + pr(A, B e C)

   Portanto, pr(5 antes de 2 ou 3 ou 4) = pr(5 antes de 2) + pr(5 antes de 3) + pr(5 antes de 4) - pr(5 antes de 2 e 3) - pr(5 antes de 2 e 4) - pr(5 antes de 3 e 4) + pr(5 antes de 2, 3 e 4) = (4/5) + (4/6) + (4/7) - (4/7) - (4/8) - (4/9) + (4/10) = 83/90. A probabilidade de não obter o quatro no caminho para o dois até o quatro é 1 - 83/90 = 7/90. Assim, há uma chance de 7,78% de precisar das 7,2 jogadas extras. Portanto, o número esperado de jogadas para obter um dois, três, quatro e cinco é 43,8 + (7/90)*9 = 44,5.

5. Continue com a mesma lógica para totais de seis a doze. O número de cálculos necessários para encontrar a probabilidade de obter o próximo número antes que ele seja necessário como o último número dobra aproximadamente a cada vez. Quando você chegar ao doze, terá que fazer 1.023 cálculos.

   Eis a regra geral para pr(A ou B ou C ou ... ou Z)

   pr(A ou B ou C ou ... ou Z) =
   pr(A) + pr(B) + ... + pr(Z)
   - pr(A e B) - pr(A e C) - ... - pr(Y e Z) Subtraia a probabilidade de cada combinação de dois eventos
   + pr(A e B e C) + pr(A e B e D) + ... + pr(X e Y e Z) Some a probabilidade de cada combinação de três eventos
   - pr(A e B e C e D) - pr(A e B e C e E) - ... - pr(W e X e Y e Z) Subtraia a probabilidade de cada combinação de quatro eventos

   Em seguida, continue repetindo o processo, lembrando-se de somar a probabilidade para eventos com número ímpar de eventos e subtrair a probabilidade para eventos com número par de eventos. Obviamente, isso se torna tedioso para um grande número de eventos possíveis, praticamente exigindo uma planilha ou um programa de computador.

A tabela a seguir mostra o número esperado para cada etapa do processo. Por exemplo, 36 para obter um dois, 42 para obter um dois e um três. A célula inferior direita mostra que o número esperado de lançamentos para obter todos os 11 totais é 61,217385.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

O Wizard diz que aquele site parece um amontoado de reclamações e desvarios sem qualquer evidência credível para justificar a acusação. Eu ficaria feliz em expor qualquer cassino por usar dados viciados, se tivesse qualquer prova disso.

Se alguém tiver provas legítimas de dados viciados, terei todo o prazer em analisá-las e publicar as minhas conclusões. As provas que gostaria de ver são registos de lançamentos ou, melhor ainda, alguns dados alegadamente viciados.

Além disso, se os cassinos realmente estivessem usando dados que produziam mais setes do que o esperado, por que esses detetives não têm conhecimento da conspiração que envolve apostar no "não passe" e manipular as probabilidades?

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