Probabilidade - Dados

A resposta é 6*(1/6) ⁶ = 6/46.656 = 1/7.776 =~ 0,0001286 .

O número médio de lançamentos por jogador é 8,525510. Para a probabilidade de ocorrer exatamente 2 a 200 lançamentos, consulte minha página sobre probabilidade de sobrevivência no craps .

Meu apêndice sobre craps mostra como calcular as probabilidades para qualquer aposta. Lá você verá que a probabilidade de perder a aposta "don't pass" é 2928/5940. A probabilidade de perder n apostas seguidas é (2928/5940) ⁿ . A frequência em 100.000 de perder exatamente n pode ser aproximada por 100.000 * (2928/5940) ⁿ⁺² .

A probabilidade de obter seis números iguais com seis dados é 6*(1/6) ⁶ =1/7776 ≈ 0,01286%.

Obrigado pelo elogio. Imagino que você esteja perguntando qual a probabilidade de rolar um par de dados 28 vezes sem obter um 7. A probabilidade de não obter um 7 em uma única rolagem é 5/6. A probabilidade de não obter um 7 em 28 rolagem é (5/6) ²⁸ = 0,006066, ou aproximadamente 1 em 165.

A probabilidade de três acertos é 1/216. A probabilidade de dois acertos é 3*5/216. A probabilidade de um acerto é 25*5/216. A probabilidade de nenhum acerto é 5*5*5/216. Portanto, o retorno esperado é 3*(1/216)+2*(15/216)+1*(75/216)-1*(125/216)=-17/216=-7,87%. Não existe um número ideal de apostas; você perderá, independentemente da sua estratégia, 7,87% do valor total apostado.

Essas apostas podem ser feitas tanto no sic bo quanto no chuck a luck .

Existem combin(6,2)=15 conjuntos diferentes de pares possíveis. Existem combin (4,2)=6 maneiras de os dados rolarem qualquer par específico de dois dados. Existem 6^4=1296 maneiras de rolar quatro dados. Portanto, a probabilidade é 90/1296=6,9444%.

Se você rolar x dados, a probabilidade de obter pelo menos um 6 é 1-(5/6) ² . No caso de dois dados, essa probabilidade é de 30,56%.

Primeiro, existem combin (6,3) = 20 maneiras de escolher três dados dentre 6 para obter os três números 1. Depois, cada um dos outros três dados pode ser qualquer um de cinco números. Portanto, o total de maneiras é 20 × ^5³ = 2500. O número total de maneiras de lançar todos os dados é ^6³ = 46.656, então a probabilidade de rolar exatamente três números 1 é 2500/46656 = 0,0536. Para obter ajuda com a função combin, consulte minha seção sobre probabilidades no pôquer .

A probabilidade de rolar exatamente um um com três dados é 3*(5/6) ² *(1/6) = 75/216 = 34,72%.

O par pode ser qualquer um dos 6 números. Os outros dois números isolados podem estar entre os outros cinco. Portanto, já existem 6*combin(5,2)=60 combinações. Existem combin(4,2)=6 combinações de dados nas quais o par pode aparecer. Os dois números isolados podem ser organizados de duas maneiras. Assim, existem 60*12=720 maneiras de se obter um par. O número total de maneiras de lançar os dados é ^6⁴ = 1296. Portanto, a probabilidade é 720/1296 ≈ 55,56%.

A probabilidade de que, ao lançar 10 dados, exatamente 8 números sejam iguais é 6*combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² = 1/8957,952. A probabilidade de acertar pelo menos 8 números é 6*[combin(10,8)*(1/6) ⁸ *(5/6) ² + combin(10,9)*(1/6) ⁹ *(5/6) + (1/6) ¹⁰ ] = 1/8569,469.

A cada novo lançamento, a probabilidade de os próximos quatro lançamentos serem todos de dois seis é (1/36) ⁴ = 1 em 1679616.

Existem dois intervalos possíveis: de 1 a 5 e de 2 a 6. Cada um desses intervalos pode ser ordenado de 5! = 120 maneiras. Existem ^6⁵ = 7776 maneiras de rolar cinco dados. Portanto, a probabilidade é 2 * 120 / 7776 = 3,09%. A probabilidade disso parece ser muito maior logo após eu marcar 0 para uma sequência grande durante um jogo de Yahtzee.

O número esperado de uns é 30*(1/6) = 5. A probabilidade de haver exatamente 5 uns é combin(30,5)*(1/6) ⁵ *(5/6) ²⁵ = 19,21%.

A probabilidade de que todos os dados não mostrem o número 1 é (5/6) ⁿ . Portanto, a probabilidade de pelo menos um dado mostrar 1 é 1-(5/6) ⁿ . Vamos considerar um exemplo com cinco dados. A resposta seria 1-(5/6) ⁵ = 59,81%.

1-(5/6) ³⁶ = 99,86%

A expectativa é que, a cada lançamento, 5/6 dos dados permaneçam. Portanto, o número esperado de dados restantes após n lançamentos seria 36*(5/6) ⁿ . Por exemplo, após 10 lançamentos, você teria, em média, 5,81 dados restantes.

A probabilidade de todos os números serem diferentes é (5/6)*(4/6)=20/36. Portanto, a probabilidade de pelo menos dois números serem iguais é 1-(20/36) = 16/36 = 44,44%.

Sim. Basta percorrer todos os totais de 2 a 12 e determinar a probabilidade de rolar cada um duas vezes. Portanto, a resposta seria (1/36) ^² + (2/36) ^² + (3/36) ^² + (4/36) ^² + (5/36) ^² + (6/36) ^² + (5/36) ^² + (4/36) ^² + (3/36) ^² + (2/36) ^² + (1/36) ^² = 11,27%.

A probabilidade de tirar sete seis com sete dados é (1/6) ⁷ = 1 em 279.936. Portanto, o carro teria que valer £279.936 ou mais para que essa fosse uma boa aposta. Mesmo um Rolls Royce comum não vale tanto, então eu diria que foi uma aposta péssima.

[Bluejay acrescenta: Ah, sim, mas acho que a questão era que era para caridade. O que é mais divertido: doar 1 libra para caridade e não receber nada em troca além da boa sensação de ajudar, ou doar 1 libra e ter a boa sensação mais a remota chance de ganhar um carro?]

• Cinco de um mesmo tipo: 6/6 ⁵ = 0,08% (óbvio)
• Quadra: 5*6*5 = 1,93% (cinco posições possíveis para o singleton * 6 posições para a quadra * 5 posições para o singleton).
• Full house: combin(5,3)*6*5/6 ⁵ = 3,86% (combin(5,3) posições para a trinca * 6 posições para a trinca * 2 posições para o par).
• Trinca: COMBIN(5,3)*COMBIN(2,1)*6*COMBIN(5,2) / 6 ⁵ = 15,43%. (combin(5,3) posições para a trinca * combin(2,1) posições para o maior dos singletons * 6 posições da trinca * combin(5,2) posições para os dois singletons).
• Dois pares: COMBIN(5,2)*COMBIN(3,2)*COMBIN(6,2)*4 / 6 ⁵ = 23,15% (combin(5,2) posições para o par superior * combin(3,2) posições para o par inferior * combin(6,4) posições para o par duplo * 4 posições para o singleton.
• Par: COMBIN(5,2)*fact(3)*6*combin(5,3) / 6 ⁵ = 46,30% (combin(5,2) posições para o par * fact(3) posições para os três singletons * 6 ranks para o par * combin(5,3) ranks para os singletons.
• Direto: 2*fact(5) / 6 ⁵ = 3,09% (2 intervalos para as maneiras diretas {1-5 ou 2-6} * fact(5) de organizar a ordem).
• Nada: ((COMBIN(6,5)-2)*FACT(5)) / 6 ⁵ = 6,17% (combin(6,5) maneiras de escolher 5 posições entre seis, menos 2 para as sequências, * fact(5) maneiras de organizar a ordem.

Claro, isso é fácil. A probabilidade de rolar pelo menos um 12 em 24 lançamentos é 1 - (35/36) ²⁴ = 49,14%. Portanto, as probabilidades favorecem apostar contra um 12. Esta é uma aposta inteligente porque o número esperado de doze em 24 lançamentos é 2/3. No entanto, isso não significa que a probabilidade de um 12 seja 2/3, porque às vezes haverá mais de um 12, e o jogador que aposta no 12 não ganha mais por doze adicionais após o primeiro. Se a probabilidade de ganhar em qualquer tentativa for p, o número de tentativas for n e a probabilidade de pelo menos uma vitória for w, então resolvendo para n em termos de p e w, obtemos...

w=1-(1-p) ⁿ
1-w = (1-p) ⁿ
log(1-w) = log((1-p) ⁿ )
log(1-w) = n*log(1-p)
n = log(1-w)/log(1-p)

Então, no seu exemplo, n = log(1-0,5) / log(1-(1/36)) = log(0,5) / log(35/36) = 24,6051. Portanto, se a probabilidade de sucesso é de 50% em 24,6 lançamentos, ela deve ser ligeiramente menor em 24 lançamentos.

A probabilidade de rolar 123456 com seis dados em um único lançamento pode ser expressa como prob(segundo dado não corresponde ao primeiro dado) * prob(terceiro dado não corresponde ao primeiro ou ao segundo dado) * ... = 1*(5/6)*(4/6)*(3/6)*(2/6)*(1/6) = 0,015432. Portanto, a probabilidade de fazer isso seis vezes seguidas é ^0,015432⁶ = 1 em 74.037.208.411.

Combine(6,2)*(1/6) ⁴ *(5/6) ² = 0,008037551.

Eis as probabilidades:

3 dados: 25,93%
4 dados: 48,77%
5 dados: 66,13%.

A probabilidade de A dado B é a probabilidade de A e B dividida pela probabilidade de B. Neste caso, a probabilidade de tirar um 4 no primeiro dado e um total de 8 nos outros dois é (1/6)*(5/36) = 5/216. A probabilidade de tirar qualquer total de 12 com 3 dados é 25/216, como mostrado na minha seção de sic bo . Portanto, a resposta é (5/216)/(25/216) = 5/25 = 20%.

As duas maneiras que você mencionou são as únicas formas de se obter um total de 100 em 17 lançamentos. A probabilidade de se obter 16 seis e um quatro é 17 * (1/6) ^¹⁷ . Existem 17 posições possíveis para o 4 e cada sequência tem uma probabilidade de (1/6) * (1/6) * ... * (1/6), com 17 termos. O número de maneiras de se obter 15 seis e 2 cincos é combinando (17, 2) = 136. Portanto, a probabilidade de 15 seis e 2 cincos é 136 * (1/6) ^¹⁷ . Assim, a probabilidade total é (17 + 136) * (1/6) ^¹⁷ = 1 em 110.631.761.077.

Seja A = Escolhendo o dado normal
Seja B = Obter um 6 ao rolar um dado escolhido aleatoriamente.
Resposta = Pr(A dado B) = Pr(A e B)/pr(B) = ((2/3)*(1/6))/((2/3)*(1/6)+(1/3)*1) = (2/18)/((2/18)+(6/18)) = 1/4.

Existem 6!/(4!*1!*1!) = 30 maneiras de organizar esses números em qualquer ordem. Outra forma de ver isso é que existem 6 posições para colocar o 1 e 5 posições restantes para colocar o 4, então 6*5=30. A probabilidade de obter 666614 exatamente nessa ordem é 1 em ^6⁶ = 1 em 46656. Multiplicando isso por 30, que representa as 30 ordens possíveis, a resposta é 30/46656 = 0,0643%, ou 1 em 1552,2.

É verdade que, para eventos únicos, se a probabilidade for p, o tempo médio de espera será 1/p. No entanto, a situação se complica com eventos consecutivos. Seja x o estado em que o último lançamento não resultou em dois. Este também é o estado inicial. Seja y o estado em que o último lançamento resultou em dois. Após o primeiro lançamento, há uma probabilidade de 5/6 de ainda estarmos no estado x e 1/6 de estarmos no estado y. Seja Ex(x) o número esperado de lançamentos a partir do estado x e Ex(y) o número esperado a partir do estado y. Então...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*ex(y), e
Ex(y) = 1 + (5/6)*ex(x)

Resolvendo essas duas equações...

Ex(x) = 1 + (5/6)*ex(x) + (1/6)*( 1 + (5/6)*Ex(x))
Ex(x) = 7/6 + (35/36)*Ex(x)
(1/36)*Ex(x) = 7/6
Ex(x) = 36*(7/6) = 42

Assim, o tempo médio de espera para dois números dois consecutivos é de 42 lançamentos.

Eu tenho o mesmo tipo de problema, só que com os lançamentos esperados para se obter duas caras, no meu site de problemas de matemática , veja o problema 128.

Aqui está a probabilidade de obter pelo menos um número mais de uma vez, de acordo com o número de lançamentos:

Comecei a usar a aproximação Normal para resolver isso, mas a probabilidade de obter mais de 100 pontos é muito baixa para que esse método seja preciso. Então, fiz uma simulação aleatória com 8,25 milhões de tentativas e o número de tentativas com 101 pontos ou mais foi 127. Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 1 em 65.000.

Seja n a sua resposta. A probabilidade de rolar um 7 ou um 11 é 8/36. Para calcular n:

(8/36) ⁿ = 1/41.400.000

log((8/36) ⁿ ) = log(1/41.400.000)

n × log(8/36) = log(1/41.400.000)

n = log(1/41.400.000)/log(8/36)

n = -7,617 / -0,65321

n = 11,6608

Então, pronto, a probabilidade de ganhar na SuperLotto é a mesma que tirar um sete ou um onze 11,66 vezes seguidas. Para quem não entende o conceito de lançamento parcial, eu reformularia dizendo que a probabilidade fica entre 11 e 12 lançamentos consecutivos.

A probabilidade de obter uma quina em um lançamento é 6 * (1/6) ^⁵ = 1/1.296. Isso ocorre porque existem seis quinas diferentes (de um a seis) e a probabilidade de cada dado mostrar esse número é (1/6). A probabilidade de não obter uma quina é 1 - (1/1.296) = 1.295/1.296. A probabilidade de não obter uma quina em três tentativas é (1.295/1.296) ^³ = 99,77%. Portanto, a probabilidade de obter pelo menos uma quina em três tentativas é 100% - 99,77% = 0,23%.

Se a probabilidade de algo acontecer é p, então, em média, serão necessárias 1/p tentativas para que isso ocorra pela primeira vez. Obviamente, na primeira jogada, você eliminará um número. A probabilidade de rolar um dos outros cinco números em seguida é 5/6. Portanto, serão necessárias, em média, 1/(5/6) = 6/5 = 1,2 jogadas para que isso aconteça. Seguindo esse raciocínio até o fim, o número esperado de jogadas é (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14,7.

Espero que esteja contente, acabei de adicionar uma nova seção respondendo a perguntas como esta para dados de 1 a 25. Como mostra a tabela de cinco dados, a probabilidade de rolar um total de 12 é 0,039223251028807.

Receio que você tenha ficado com a parte "quadrada" desta aposta. A probabilidade de rolar dois setes antes de um seis e um oito é de 45,44%. Aqui estão todos os resultados possíveis. A primeira coluna mostra a ordem dos lançamentos potenciais até o resultado da aposta, ignorando todos os outros.

Basicamente, a vantagem do 6 e do 8 reside no fato de que você pode acertar esses números em qualquer ordem: 6 e depois 8, ou 8 e depois 6. Com dois setes, só existe uma ordem possível: um 7 e depois outro 7.

A probabilidade de sair seis seis é (1/6) ⁶ = 1 em 46656. A probabilidade de rolar 1, 2, 3, 4, 5, 6 com seis dados é 6 ! /6 ⁶ = 1 em 64,8

1-(5/6) ¹⁰ -10 × (1/6) × (5/6) ⁹ = 51,55%.

A probabilidade de sair 7, 11 ou 12 é (6+2+1)/36 = 9/36 = 1/4. Veja minha seção sobre os fundamentos da probabilidade em dados para saber como cheguei a esse valor. A probabilidade de rolar qualquer outro número é 3/4. A probabilidade de passar cinco lançamentos sem sair 7, 11 ou 12 é (3/4) ⁵ = 23,73%.

Embora você não tenha perguntado, deixe-me abordar a média primeiro. Para um dado de seis lados, o número esperado de lançamentos para obter cada face pelo menos uma vez é (6/6) + (6/5) + (6/4) + (6/3) + (6/2) + (6/1) = 14,7. Para um dado de n lados, o número esperado de lançamentos é (n/n) + (n/(n-1)) + (n/(n-2)) + ... + n. A mediana do número de lançamentos necessários é 13. A probabilidade de se obter 13 lançamentos ou menos é de 51,4%, e de se obter 13 lançamentos ou mais é de 56,21%.

Para um grande número de lançamentos, podemos usar a aproximação da Curva Gaussiana. O número esperado de setes em 655 lançamentos é 655 × (1/6) = 109,1667. A variância é 655 × (1/6) × (5/6) = 90,9722. O desvio padrão é sqr(90,9722) = 9,5379. Seus 78 setes representam 109,1667 − 78 = 31,1667 a menos do que o esperado. Isso é (31,1667 - 0,5)/9,5379 = 3,22 desvios padrão abaixo do esperado. A probabilidade de ficar 3,22 ou mais desvios padrão abaixo do esperado é 0,000641, ou 1 em 1.560. Obtive esse valor no Excel, usando a fórmula DIST.NORMAS(-3,22).

Obrigado pelas gentis palavras. Você não deveria afirmar que a probabilidade de os lançamentos não serem aleatórios é p. A forma correta de dizer é que a probabilidade de um jogo aleatório produzir tal resultado é p. Ninguém esperava que 500 lançamentos provassem ou refutassem algo. Não fui eu quem definiu a linha em 79,5 setes, mas duvido que tenha sido escolhida por ser estatisticamente significativa; suspeito que tenha sido um ponto em que ambas as partes concordariam com a aposta.

O nível de significância de 2,5% corresponde a 1,96 desvios padrão abaixo do esperado. Isso pode ser calculado com a fórmula =normsinv(0,025) no Excel. O desvio padrão de 500 lançamentos é sqr(500*(1/6)*(5/6)) = 8,333. Portanto, 1,96 desvios padrão correspondem a 1,96 * 8,333 = 16,333 lançamentos abaixo do esperado. O número esperado de setes em 500 lançamentos é 500*(1/6) = 83,333. Assim, 1,96 desvios padrão abaixo desse valor correspondem a 83,333 − 16,333 = 67. Verificando isso usando a distribuição binomial, a probabilidade exata de 67 ou menos setes é de 2,627%.

Supondo que o jogador sempre tenha o número mais representado, a média é 11,09. Aqui está uma tabela mostrando a distribuição do número de lançamentos de dados em uma simulação aleatória de 82,6 milhões de tentativas.

Considerando apenas a maximização do valor esperado, o jogador deveria jogar para sempre. Embora a probabilidade de o jogador eventualmente perder seja 1, em qualquer ponto de decisão, o valor esperado sempre favorece continuar jogando. Parece um paradoxo. A resposta reside no fato de que alguns eventos têm probabilidade 1, mas ainda assim podem não ocorrer. Por exemplo, se você jogar um dardo em uma reta numérica de 0 a 10, a probabilidade de não acertar exatamente o número pi é 1, mas ainda assim isso pode acontecer.

No entanto, para fins práticos, existe um limite. Isso porque a felicidade que o dinheiro traz não é proporcional à quantidade. Embora seja geralmente aceito que mais dinheiro traz mais felicidade, quanto mais rico você fica, menos felicidade cada dólar adicional lhe proporciona.

Acredito que uma boa maneira de responder a essa pergunta seja aplicar o Critério de Kelly ao problema. Segundo Kelly, o jogador deve tomar todas as decisões com o objetivo de maximizar o logaritmo esperado de sua banca após a aposta. Resumindo (omitindo muitos cálculos), o jogador deve continuar dobrando a aposta até que o valor total ultrapasse 96,5948% de sua riqueza total. Riqueza deve ser definida como a soma do valor ganho mais o dinheiro que o jogador possuía antes da primeira aposta. Por exemplo, se o jogador tinha US$ 100.000 inicialmente, ele deve continuar dobrando a aposta até 23 vezes, até um ganho de US$ 4.194.304. Nesse ponto, a riqueza total do jogador será de US$ 4.294.304. Será solicitado a ele que aposte 4.194.304/4.294.304 = 96,67% de sua riqueza total, o que é maior que o ponto de parada de 96,5948%, portanto ele deve desistir.

Vamos chamar a resposta para esta pergunta de p. A probabilidade de rolar um total de seis é 5/36, e a probabilidade de rolar um total de sete é 6/36. Se você não entendeu o porquê, consulte minha seção sobre os fundamentos da probabilidade em dados . Podemos definir p como:

p = Prob(6 no primeiro lançamento) + Prob(nenhum 6 no primeiro lançamento)*Prob(nenhum 7 no segundo lançamento)*p.

Isso ocorre porque, se nenhum dos jogadores vencer após as duas primeiras rodadas, o jogo retorna ao estado original e a probabilidade de o jogador A vencer permanece a mesma.

Então, temos:

p = (5/36) + (31/36)×(30/36)×p
p = 5/36 + (930/1296)×p
p * (1-(930/1296)) = 5/36.
p * (366/1296) = 5/36
p = (5/36)×(1296/366) = 30/61.

A resposta pode ser expressa como combin(n+5,n) = (n+5)!/(120×n!). Aqui está a resposta para 1 a 20 dados.

Créditos a Alan Tucker, autor de Combinatória Aplicada .

Claro. Isso seria Pr(2) ² + Pr(3) ² + ... + Pr(12) ² = (1/36) ² + (2/36) ² + (3/36) ² + (4/36) ² + (5/36) ² + (6/36) ² + (5/36) ² + (4/36) ² + (3/36) ² + (2/36) ² + (1/36) ² = 11,27%.

Não consigo pensar em nenhum motivo útil para saber essa informação, mas me fazem esse tipo de pergunta com frequência, então vou te dar a resposta.

É um pouco mais fácil obter uma sequência específica de setes começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, porque a sequência é limitada de um lado. Especificamente, a probabilidade de obter uma sequência de s setes, começando com o primeiro lançamento ou terminando com o último, é (1/6) ^s × (5/6). O termo 5/6 se deve ao fato de que você precisa obter um número diferente de 7 na extremidade aberta da sequência.

A probabilidade de iniciar uma sequência de s setes em qualquer ponto no meio da sequência é (1/6) ^s × (5/6) ² . Elevamos o termo 5/6 ao quadrado, porque o jogador deve obter um número diferente de 7 em ambas as extremidades da sequência.

Se houver r lançamentos, haverá 2 posições para uma sequência interna e rn-1 posições para uma sequência de n setes. Colocando essas equações em uma tabela, temos o número esperado de sequências de setes, de 1 a 10. A coluna "interna" é 2*(5/6)*(1/6) ^r , e a coluna "externa" é (179-r)*(5/6) ² *(1/6) ^r , onde r é o número de setes na sequência. Portanto, podemos esperar 3,46 sequências de dois setes, 0,57 sequências de três setes e 0,10 sequências de quatro setes.

A resposta e a solução podem ser encontradas no meu site complementar, mathproblems.info , problema 201.

Se você se limitar aos polígonos regulares e quiser que cada face tenha a mesma probabilidade, então estará limitado aos sólidos platônicos. No entanto, se puder eliminar a restrição dos polígonos regulares, poderá adicionar também os 13 sólidos catalães .

Para responder à sua outra pergunta, não, nunca vi um jogo em um cassino que usasse dados que não fossem cubos. Há uns dez anos, vi uma demonstração de um jogo em uma feira de jogos em Atlantic City que, se não me engano, usava um triacontaedro rômbico , um dos sólidos catalães, mas acho que ele nunca chegou a ser usado em um cassino. Há um jogo que vejo ano após ano na Global Gaming Expo que usa um pião (como um dreidel), mas, infelizmente, também nunca o vi em um cassino.

Existem ^6³ = 216 maneiras de lançar três dados. Seis dessas combinações resultarão em uma trinca (de 1-1-1 a 6-6-6). Portanto, a probabilidade de uma trinca é 6/216 = 1/36. Existem quatro possíveis sequências para uma reta (de 1-2-3 a 4-5-6). Existem também 3! = 6 maneiras de organizar os três dados em uma reta. Assim, existem 4 * 6 = 24 combinações de retas. Portanto, a probabilidade de uma reta é 24/216 = 1/9.

A tabela a seguir mostra o número de combinações para todos os totais possíveis de 3 a 18.

O resultado médio é 12,2446 e o desvio padrão é 2,8468.

A probabilidade de rolar um 7 é 1/6, e a probabilidade de rolar um 12 é 1/36. A probabilidade de rolar um 7, dado que um lançamento resulta em 7 ou 12, é (1/6)/((1/6)+(1/36)) = 6/7. Portanto, a probabilidade de que nas primeiras seis vezes que um 6 ou 12 for rolado, seja sempre um 6 é (6/7) ⁶ = 39,66%.

Se reformularmos a pergunta para qual a probabilidade de rolar cinco 6 antes de um 12, então a resposta é (6/7) ⁵ = 46,27%. Com quatro lançamentos, a probabilidade é (6/7) ⁴ = 53,98%. Portanto, não existe um número de 7 antes de um 12 que seja exatamente 50/50. Se você está procurando uma boa aposta para enganar os outros, sugira que você pode rolar quatro 7 antes de um 12, ou um 12 antes de cinco 7.

Essa questão foi levantada e discutida no fórum do meu site complementar, Wizard of Vegas .

Aqui vai uma dica útil, cortesia de Robert Goodhand, de Somerset, Reino Unido. Primeiro, coloque em uma linha seis números 1 cercados por cinco números 0 de cada lado, como segue:

Isso representa o número de combinações possíveis para rolar de 1 a 6 com um dado. Eu sei, é bem óbvio. Mas continue comigo. Para dois dados, adicione mais uma linha na parte inferior e, para cada célula, some a linha acima com as cinco células à esquerda. Em seguida, adicione mais cinco zeros fictícios à direita, se desejar continuar. Isso representa as combinações possíveis para rolar um total de 2 a 12.

Para três dados, basta repetir. Isso representará o número de combinações de 3 a 18.

Para obter a probabilidade de qualquer total dado, divida o número de combinações desse total pelo número total de combinações. No caso de três dados, a soma é 216, que também pode ser facilmente calculada como ^6³ . Por exemplo, a probabilidade de rolar um total de 13 com três dados é 21/216 = 9,72%.

Portanto, para dados d, você precisará calcular a quantidade de dados de 1 a d-1. Isso pode ser feito facilmente em qualquer planilha.

Esse é um problema clássico na história do campo da probabilidade. Muitas pessoas pensam erroneamente que a resposta é 18, porque a probabilidade de sair um 12 é 1 em 36, e 18 × (1/36) = 50%. No entanto, por essa lógica, a probabilidade de se obter um 12 em 36 lançamentos seria de 100%, o que claramente não é o caso. Aqui está a solução correta. Seja r o número de lançamentos. A probabilidade de um lançamento não ser um 12 é 35/36. A probabilidade de haver 0 12s em r lançamentos é (35/36) ^r . Portanto, precisamos resolver para r na seguinte equação:

(35/36) ^r = 0,5
log(35/36) ^r = log(0,5)
r × log(35/36) = log(0,5)
r = log(0,5)/log(35/36)
r = 24,6051

Portanto, não há uma resposta arredondada. A probabilidade de tirar um 12 em 24 lançamentos é 1 - (35/36) ²⁴ = 49,14%. A probabilidade de tirar um 12 em 25 lançamentos é 1 - (35/36) ²⁵ = 50,55%.

Se você quiser apostar nisso, imagine que você consegue tirar um 12 em 25 lançamentos de dado, ou que outra pessoa não consegue em 24 lançamentos. De qualquer forma, você terá uma vantagem com odds de 1 para 1.

Para quem não conhece o jogo, tanto o atacante quanto o defensor rolam de 1 a 8 dados, de acordo com o número de exércitos que cada um possui naquele momento da batalha. Quem obtiver o maior total vence. Em caso de empate, a vitória é do defensor. Se o atacante perder, ele ainda manterá um exército no território onde iniciou o ataque. Por essa razão, ele precisa ter pelo menos dois exércitos para atacar, para que, se vencer, um possa ocupar o território conquistado e o outro possa permanecer no local original.

A tabela a seguir mostra a probabilidade de vitória do atacante de acordo com todas as 64 combinações possíveis de valores nos dados.

A próxima tabela mostra o ganho esperado do atacante, definido como pr(vitórias do atacante)*(dados do defensor)+pr(vitórias do defensor)*(dados do atacante -1). Ela mostra que o maior ganho esperado é atacar com 8 contra um oponente com 5.

Para benefício dos demais leitores, um Yahtzee é uma combinação de cinco dados iguais. No jogo de Yahtzee, o jogador pode segurar qualquer dado que desejar e rolar os restantes novamente. Ele pode fazer isso até três vezes.

O jogador pode rolar novamente os dados que já havia obtido, se desejar. Por exemplo, se o primeiro lançamento do jogador for 3-3-4-5-6 e ele mantiver os três, e depois obtiver 3-3-5-5-5 após o segundo lançamento, ele pode manter os cincos e rolar novamente os três no terceiro lançamento.

A tabela a seguir mostra o número máximo de dados com a mesma face em 1 a 20 lançamentos. A tabela mostra que a probabilidade de obter um Yahtzee em três lançamentos é de aproximadamente 4,6%.

A resposta é 50/50. Isso será verdade para qualquer número de dados lançados, não apenas para dois.

Um pouco fora do assunto, mas sempre achei que um conjunto de apostas par/ímpar seria uma boa maneira de substituir as temidas apostas altas de 6/8 no craps. Para dar vantagem à casa, aqui estão minhas tabelas de pagamento e análises propostas.

O número médio de lançamentos é o inverso do evento que encerra o bônus, que tem uma probabilidade de 1/6, portanto o jogador lançará os dados seis vezes em média. No entanto, o último lançamento será o sétimo, resultando em uma média de cinco lançamentos vencedores por bônus.

A seguir, apresentamos a probabilidade de cada total, assumindo que não haja sete:

• 2 ou 12: 1/30
• 3 ou 11: 2/30
• 4 ou 10: 3/30
• 5 ou 9: 4/30
• 6 ou 8: 5/30

Eis a pergunta original postada na coluna nº 179: Se dois dados forem lançados repetidamente até que um dos seguintes eventos ocorra, qual deles tem maior probabilidade de acontecer primeiro:

• É possível rolar um total de seis ou oito dados, em qualquer ordem, sendo permitidas duplicatas.
• O resultado de sete é obtido ao rolar o dado duas vezes.

A sua peculiaridade é que o mesmo dado não pode beneficiar ambos os jogadores. Em vez disso, eles se revezam rolando os dados e apenas quem estiver rolando pode usar o resultado.

A resposta depende de quem joga primeiro. Se o jogador que precisa de um seis e um oito jogar primeiro, ele tem uma probabilidade de ganhar de 57,487294%. Se o jogador que precisa de dois setes jogar primeiro, a probabilidade de o jogador que precisa do seis e do oito ganhar é de 52,671614%. Resolvi o problema usando um processo simples de Cadeia de Markov.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Existem 58 tipos diferentes de sequências na jogada inicial. A forma como identifico cada uma é pelo número da face majoritária, seguido pelo número total de dados com a mesma face em segundo lugar, e assim por diante. Por exemplo, uma jogada de 3,3,3,3,6,6,6,5,5,2 seria representada como 4-3-2-1. A tabela a seguir mostra o número de combinações de cada sequência, a probabilidade de obtê-la, a probabilidade de completar uma 12 de um mesmo tipo na segunda jogada e o produto das duas probabilidades. Para a probabilidade na segunda jogada, considero que o jogador possui os dados que têm o maior total na jogada inicial. A célula inferior direita mostra uma probabilidade geral de 0,0000037953, que equivale a 1 em 263.486.

Clique no botão abaixo para ver a resposta.

Aqui está minha solução . (PDF)

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Clique no botão abaixo para ver algumas fórmulas de séries infinitas que podem ser úteis.

Clique no botão abaixo para ver a resposta.

Clique no botão abaixo para ver a solução.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

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Para responder a esta pergunta como eu fiz, usando cálculo, recomendo uma calculadora de integrais como a do site integral-calculator.com/ .

Aqui está minha solução (PDF).

Este problema é apresentado (com palavras ligeiramente diferentes) e discutido no meu fórum no Wizard of Vegas .

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

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Aqui está minha solução (PDF).

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Aqui está minha solução (PDF).

> [spoiler=Solução]

Deixar:

• p = Probabilidade de o 12 ser rolado primeiro a partir do estado inicial ou sempre que a rolagem anterior não foi um 7.
• q = Probabilidade de sair o 12 primeiro quando o resultado do lançamento anterior foi 7.

Isso é o que se conhece como um problema de Cadeia de Markov.

Antes de prosseguirmos, lembre-se de que a probabilidade de rolar um total de 7 é 1/6 e a de um 12 é 1/36.

Podemos definir p e q em função um do outro, da seguinte forma:

• (1) p = (1/36) + (6/36)q + (29/36)p
• (2) q = (1/36) + (29/36)p

Vamos multiplicar a equação (1) por 36:

36p = 1 + 6q + 29p
(3) 7p = 1 + 6q

Vamos substituir o valor de q em (2) em (3):

7p = 1 + 6*((1/36) + (29/36)p)
7p = 1 + (1/6) + (29/6)p
42p = 6 + 1 + 29p
13p = 7
q = 7/13

Assim, a probabilidade de tirar o 12 primeiro é 7/13 ≈ 53,85%.

A probabilidade de rolar dois 7 consecutivos primeiro é, portanto, de 46,15%.

Assim, é mais provável que o total de 12 seja obtido primeiro.