Probabilidade - Perguntas gerais

Com exceção de raras oportunidades de expectativa positiva no blackjack e no vídeo pôquer, sim, é isso que estou dizendo.

Dizer que a probabilidade de algo acontecer é de x para y significa que o evento em questão ocorrerá x vezes para cada y vezes que não ocorrer. Para fazer a conversão, seja p a probabilidade de algum evento. A probabilidade também pode ser expressa como (1/p)⁻¹ para 1. Vejamos um exemplo. A probabilidade de tirar um full house no jogo de cinco cartas é 0,00144058. Isso também pode ser representado como 693,165 para 1.

Supondo que as células na grade sejam escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de ganhar qualquer trimestre seria de 1/100. Supondo que cada trimestre fosse um evento independente, o que não é o caso, a probabilidade de ganhar todos os quatro trimestres seria de (1/100) ^⁴ = 1 em 100 milhões.

Eu não gosto de usar probabilidades dessa forma, mas elas geralmente são usadas com essa sintaxe: "As chances de não conseguir um royal flush são de 649.739 para 1". Isso significa que existem 649.739 maneiras de você não conseguir um royal flush e apenas 1 maneira de conseguir. Nos seus exemplos, 12 para 1 é uma probabilidade de 1/13, ou 7,69%, e 3 para 2 é 2/5, ou 40,00%, então a probabilidade de 3 para 2 é a melhor.

Você tem razão, aquele artigo está incorreto. A probabilidade de uma inundação que ocorre a cada 500 anos em um período de x anos é 1 - e^ ^(-x/500) . Portanto, a probabilidade de ocorrer pelo menos uma inundação que ocorre a cada 500 anos em 50 anos é de 9,52% e em 100 anos é de 18,13%.

Seja p a probabilidade de o favorito vencer. Se -160 for uma linha justa, então:

100*p - 160*(1-p) = 0
260p = 160
p = 160/260 = 8/13 = 61,54%.

Assim, o retorno esperado de uma aposta de $145 em uma linha de -145 seria (8/13)*100 + (5/13)*-145 = 75/13 = $5,77. Portanto, a vantagem do jogador seria de $5,77/$145 = 3,98%.

Vamos definir t como a linha de dinheiro verdadeira, sem vantagem da casa, e a como a linha de dinheiro real. A seguir, as fórmulas para o retorno esperado do jogador:

A é negativo, t é negativo: (100*(ta) / (a*(100-t))
A é positivo, t é positivo: (at)/(100+t)
A é positivo, t é negativo: (a*t + 10000)/((t-100)*100)

Portanto, no seu caso, o retorno esperado é 100*(-160 -(-145))/(-145*(100-(-160))) = 3,98%.

Primeiramente, estou publicando isso porque o autor autorizou, conforme indicado no final. Este é um bom exemplo de que correlação não implica necessariamente causalidade. É fácil olhar para o passado e encontrar muitas coincidências. Para fundamentar qualquer argumento, uma hipótese deve ser formulada antes de qualquer coleta de evidências.

Atualização (13 de novembro de 2004): Outro leitor apontou que este mapa começou como uma piada, mas se transformou em uma lenda urbana . Como este link demonstra, as trajetórias dos furacões no gráfico simplesmente não eram precisas e os furacões reais atingiram muitos condados de Gore. Isso só mostra que não se deve acreditar em tudo que se lê, especialmente na internet.

Obrigado pelas palavras gentis. Para ser honesto, ninguém se importa muito com taxas de cliques hoje em dia. Então, não se sinta obrigado a clicar nos banners se for apenas para exibição. Respondendo à sua pergunta, nos Estados Unidos, as probabilidades são muito próximas de 50,5% menino e 49,5% menina. Supondo que nenhuma outra informação seja conhecida pela comunidade de apostadores, a vantagem do jogador na aposta em menino seria de 0,505 * 1,05 - 0,495 = 3,53%. Pode ser que alguém com informações privilegiadas esteja apostando em menina. Outra teoria é que algumas pessoas acreditam erroneamente que é possível determinar o sexo do bebê pelo formato da barriga da mãe, e essas pessoas estão apostando em menina. Pessoalmente, vou deixar essa teoria de lado.

Não. Usando esta tabela atuarial do CDC (Centros de Controle e Prevenção de Doenças), a probabilidade de um homem branco de 72 anos chegar aos 76 anos é de 85,63%. Isso equivale a cerca de 1 chance em 7 de morte. A taxa de sobrevivência pode ser encontrada dividindo-se a coorte de nascimento aos 76 anos (57.985) pela coorte de nascimento aos 72 anos (67.719), conforme a tabela para homens brancos na página 14. A tabela utilizada é chamada de "tabela de vida de período", que pressupõe que as taxas de mortalidade de 2003 não mudarão no futuro, e é o tipo de tabela atuarial mais comumente usado. Um perfeccionista poderia preferir usar uma tabela de vida de coorte de 1936, mas não creio que faria muita diferença.

P.S.: Depois de publicar esta resposta, recebi vários comentários dizendo que minha resposta não levou em consideração a situação de saúde individual de John McCain. O fato de ele ser um sobrevivente de câncer pesa contra ele. Por outro lado, ele tem acesso aos melhores cuidados médicos disponíveis, está obviamente em boa forma física e mental para um homem de 72 anos e tem uma longa expectativa de vida, como evidenciado pelo fato de sua mãe ainda estar viva. No entanto, eu nunca tive a intenção de levar essa informação em consideração. Foi Matt Damon quem citou as tabelas atuariais, e era a isso que eu me referia. O que estou dizendo é que, para um homem branco de 72 anos, a probabilidade média de sobreviver mais quatro anos é de 86%. Se fosse obrigado a escolher, eu diria que as chances de John McCain são ainda melhores.

Consulte o problema número 210 no meu site complementar MathProblems.info para obter a resposta e a solução.

Sem contar os empates, a probabilidade de acertar pelo menos 88 palpites em 139 tentativas é de 0,00107355, ou 1 em 931. Isso é bem decepcionante. Tenho certeza de que existem outros 930 animais por aí que se saíram pior e sobre os quais ninguém escreve. Para mais informações sobre a Princesa, leia o artigo " Camelo de Nova Jersey prevê vitória dos Giants sobre os Patriots" no ESPN.com.

Espero que você esteja feliz; passei horas nisso.

Para responder à pergunta, é importante quantificar o comportamento sob a hipótese da ruiva Chelsea Handler. Aqui estão minhas suposições.

1. Uma pessoa ruiva nunca irá acasalar com outra pessoa ruiva.
2. A fêmea sempre escolherá o macho para acasalar.
3. Todos irão acasalar e cada acasalamento produzirá o mesmo número de filhos.
4. As fêmeas ruivas terão prioridade na escolha do parceiro, selecionando-o aleatoriamente entre os que não são ruivos.
5. As mulheres portadoras (com um gene para cabelo ruivo) escolherão um parceiro aleatoriamente entre os homens que sobrarem das ruivas.
6. As mulheres negativas (que não possuem o gene do cabelo ruivo) escolherão aleatoriamente entre os homens que sobrarem, tanto das ruivas quanto das portadoras.

Primeiro, vamos analisar as estruturas dos chips.

Espero que você esteja feliz. Para responder a essa pergunta, comprei um rolo grande de bilhetes na Office Depot. Depois, coloquei 500 deles em um saco de papel, metade dobrado ao meio, em um ângulo de aproximadamente 90 graus, e a outra metade desdobrada. Em seguida, pedi a seis voluntários que sorteassem de 40 a 60 bilhetes cada, com reposição, enquanto eu anotava os resultados. Aqui estão os resultados.

Ótima pergunta! Aqui está minha resposta e uma solução resumida. Veja também minha solução em formato PDF .

Isso é conhecido como o Paradoxo de São Petersburgo .

É verdade que o ganho esperado no jogo é infinito, enquanto a probabilidade de a moeda eventualmente cair em coroa, resultando em uma quantia finita de dinheiro, é de que isso aconteça. O cálculo do ganho esperado é:

Ganho esperado = pr(1 lançamento)×2 + pr(2 lançamentos)×4 + pr(3 lançamentos)×8 + pr(4 lançamentos)×16 + pr(5 lançamentos)×32 + pr(6 lançamentos)×64 + ... =

(1/2) ¹ × 2 ¹ + (1/2) ² × 2 ² + (1/2) ³ × 2 ³ + (1/2) ⁴ × 2 ⁴ + (1/2) ⁵ × 2 ⁵ + (1/2) ⁶ × 2 ⁶ + ...

= ((1/2)*(2/1)) ¹ + ((1/2)*(2/1)) ² + ((1/2)*(2/1)) ³ + ((1/2)*(2/1)) ⁴ + ((1/2)*(2/1)) ⁵ + ((1/2)*(2/1)) ⁶ + ...

= 1 ¹ + 1 ² + 1 ³ + 1 ⁴ + 1 ⁵ + 1 ⁶ + ...

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... = ∞

O paradoxo reside no fato de que o jogador precisa ganhar uma quantia finita de dinheiro, mas o ganho esperado é infinito. Como isso é possível?

Esta provavelmente não é uma resposta muito satisfatória, mas existem muitos paradoxos quando se trata do infinito. Isso pode me render alguns e-mails raivosos, mas o que me permite dormir em paz, apesar de tais paradoxos do infinito, é que acredito que o infinito é um conceito matemático ou filosófico cuja existência no universo físico real ainda não foi comprovada. Esse conceito ou teoria do infinito carrega consigo paradoxos inerentes.

Para aqueles que discordam disso, por favor, me digam algo que comprovadamente possua quantidade ou medida infinita. Por favor, não digam que um buraco negro tem densidade infinita a menos que tenham evidências de seu tamanho.

Para responder à pergunta inicial sobre quanto se deve pagar para jogar este jogo, devemos ter em mente que a felicidade não é proporcional à quantidade de dinheiro. Pessoalmente, aprendi nas aulas de economia e acredito que a utilidade, ou felicidade, proveniente do dinheiro é proporcional ao logaritmo da quantia. Sob essa premissa, se você aumentar ou diminuir a riqueza de duas pessoas na mesma porcentagem, exceto partindo de uma riqueza inicial de zero, ambas experimentarão a mesma variação na felicidade. Por exemplo, se a riqueza de Jim aumentar repentinamente de US$ 1.000 para US$ 1.100 e a de John aumentar repentinamente de US$ 10.000.000 para US$ 11.000.000, ambos experimentarão o mesmo aumento na felicidade, porque em ambos os casos suas riquezas aumentaram em 10%. Supondo que a felicidade proveniente do dinheiro seja de fato proporcional ao logaritmo da quantia, a tabela a seguir mostra o valor máximo que alguém estaria disposto a pagar, de acordo com sua riqueza, para jogar.

Primeiro, não há vantagem posicional em ser o último a jogar. Como os jogadores ficam em uma cabine à prova de som enquanto os jogadores anteriores tocam, a ordem não importa.

Em segundo lugar, deve haver um equilíbrio de Nash no jogo, onde uma estratégia para manter uma pontuação de pelo menos x pontos seja superior a qualquer outra estratégia. A questão é encontrar x.

O que eu fiz foi me perguntar qual seria a estratégia se, em vez de um cartão numerado de 1 a 100, cada jogador recebesse um número aleatório distribuído uniformemente entre 0 e 1, e procurar o ponto x onde um lógico perfeito seria indiferente entre permanecer no mesmo lugar e trocar de carta. Com essa resposta, é fácil aplicá-la a uma distribuição discreta de 1 a 100.

Vou parar de falar por aqui e deixar que meus leitores apreciem o problema. Veja os links abaixo para a resposta e a solução.

Resposta para uma distribuição contínua de 0 a 1 .

Resposta para uma distribuição discreta de 1 a 100.

Para ver minha solução, clique aqui (PDF) .

Essa questão foi levantada e discutida no meu fórum no Wizard of Vegas .

Isso equivale a perguntar qual a probabilidade de que 14 cartas aleatórias contenham todas as 10 cartas pretas. Existem combin (10,4) = 210 maneiras de escolher 4 cartas vermelhas dentre as 10 do baralho. Obviamente, existe apenas uma maneira de escolher todas as dez cartas pretas. Existem combin(20,14) = 38.760 maneiras de escolher 14 cartas dentre as 20. Portanto, a resposta é 210/38.760 = 0,005418, ou 1 em 184,57.

Para responder à sua pergunta, vamos analisar o padrão ouro do vídeo pôquer, o 9-6 Jacks or Better .

O primeiro passo é modificar minha calculadora para incluir uma linha para cada uma das 13 quadras. Aqui está a tabela de retorno modificada:

Para uma pergunta tão fácil de fazer, a solução é bastante complexa. Da forma como eu a resolvi, você precisará saber esta integral .

Aqui está a resposta e minha solução (PDF) .

Na verdade, foi bem fácil, especialmente para um curso de matemática combinatória no MIT. Eis o enunciado do problema:

"Desenhe todas as árvores homeomorficamente irredutíveis de tamanho n=10."

Aqui está minha tentativa de explicar isso em inglês simples e direto.

Usando apenas linhas retas, desenhe todas as figuras onde a soma das interseções e dos becos sem saída seja igual a 10. Não pode haver nenhum laço fechado. Também não pode haver duas figuras equivalentes. Qualquer interseção deve ter pelo menos três caminhos partindo dela.

O que quero dizer com "equivalente", você pode perguntar? Significa que você pode mover as peças, deixando as interseções intactas, da maneira que quiser, e isso não criará nenhuma figura nova.

Aqui está um exemplo:



Vou dar uma dica. Ao contrário da resposta do filme, são dez. Will acertou apenas oito. Veja se você consegue igualar ou superar Will Hunting.

[spoiler]

Apresento a minha lógica para chegar aos dez resultados no meu site MathProblems.info , problema 220.

• MATEMÁTICA EM GÊNIO INDOMÁVEL II: PROBLEMAS DA PERSPECTIVA DOS ALUNOS -- Artigo acadêmico sobre o problema.
• O PROBLEMA MATEMÁTICO DE "GÊNIO INDOMÁVEL" -- Discussão sobre o problema no meu fórum.

A resposta e a solução podem ser encontradas na minha página de Problemas de Matemática , problema 225.

Como ex-atuário, você perguntou à pessoa certa. Espero que a Sociedade de Atuários não considere minha resposta um abuso da profissão. Dito isso, para responder à sua pergunta, consultei uma Tabela de Mortalidade Periódica de 2014 do meu antigo local de trabalho, o Gabinete do Atuário-Chefe da Administração da Previdência Social.

Uma tábua de mortalidade periódica mostra, entre outras coisas, a probabilidade de morte para uma pessoa de qualquer idade e sexo em 2014. Usando essa informação, criei a seguinte tabela, que mostra tanto a probabilidade de morte quanto a expectativa de vida para todas as idades de 0 a 100 anos e ambos os sexos.

A tabela mostra que a pontuação máxima esperada é de 1,645220 para um homem de 90 anos.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum não relacionado a jogos de azar, Diversity Tomorrow .

Boa pergunta! Eu estava pensando exatamente isso quando vi umas latas de refrigerante fininhas numa feira de jogos, que tinham os mesmos 355 mililitros das latas de tamanho padrão. Com certeza as duas coisas não podem estar certas (e não me chame de Shirley).

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Concordo que se ouve falar mais da variância de um jogo do que do seu desvio padrão, o que sempre me incomodou um pouco. Acredito que os jogadores deveriam se preocupar com a volatilidade de um jogo para associar uma vitória ou derrota a uma probabilidade em uma sessão de jogo. Por exemplo, o que seria uma perda de 1% após 200 mãos de blackjack? Para responder a essa pergunta, usaríamos o desvio padrão do blackjack, que é de cerca de 1,15, dependendo das regras.

A resposta específica para essa pergunta é 1,15 × 200^0,5 × -2,32635 (que é o ponto de 1% na curva gaussiana) = -37,83 unidades abaixo do esperado. Não se esqueça de que, devido à vantagem da casa, você pode esperar perder alguma coisa. Se assumirmos uma vantagem da casa de 0,3%, então, após 200 mãos, você poderia esperar perder 0,003 * 200 = 0,6 mãos. Portanto, uma perda ruim de 1% seria 0,6 + 37,83 = 38,43 mãos.

Se a população e a distribuição etária fossem estáveis, e se a probabilidade de divórcio fosse realmente de 50%, esperaríamos observar uma proporção de um divórcio para cada dois casamentos em qualquer período de tempo, considerando uma amostra de grande porte.

No entanto, a população não é estável. De acordo com este gráfico, parece que a população dos EUA está crescendo 10,71% por década. Isso equivale a 1,02% ao ano. Vamos arredondar para 1% para simplificar.

Fonte do mapa: Censo dos EUA

Segundo o site fatherly.com , a duração média de um casamento fracassado é de 8 anos.

Se você observasse uma proporção de 1 para 2 entre divórcios e casamentos atualmente, qual seria a probabilidade média de um casamento terminar em divórcio?

Os divórcios que vemos hoje são de casamentos ocorridos há 8 anos, quando a população era 92,35% da atual. Um cálculo simples sugere que a probabilidade real de divórcio é de 54,14%.

Vamos verificar isso.

Primeiro, de acordo com o CDC, há 6,9 casamentos para cada 1000 habitantes por ano. Esse dado não é relevante para a questão em pauta, mas acho que ajuda a visualizar os números envolvidos.

Suponha que a população há 8 anos era de 300.000.000. Isso representaria 0,69% * 300 milhões = 2.070.000 casamentos naquele ano.

Se 54,14% deles terminam em divórcio oito anos depois, então estaríamos vendo 2.070.000 * 54,14% = 1.120.698 divórcios atualmente.

1.120.698 / 2.070.000 = 50% da proporção observada de divórcios para casamentos na atualidade.

Para que ninguém diga nada, sim, eu sei que nem todos os divórcios terminam exatamente em oito anos. No entanto, considerando tudo, eu diria que o resultado final não ficará muito longe da minha taxa real de divórcio de 54,14%.

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Considere que cada pessoa está escolhendo uma opção por vez. À medida que cada pessoa escolhe, haverá dois tipos de situações:

1. O nome de quem escolher já foi escolhido.
2. O nome de quem escolheu ainda está na caixa de nomes.

Para qualquer pessoa que esteja selecionando, digamos que restem n pessoas para selecionar.

Se o nome de quem está escolhendo já tiver sido escolhido, há uma chance de 1/n de que a pessoa que está escolhendo feche um ciclo envolvendo seu nome. Por exemplo, digamos que Amy esteja escolhendo. O nome de Amy já pertence a Bob, o nome de Bob já pertence a Charlie e o nome de Charlie ainda está no recipiente. Com n nomes ainda no recipiente, há uma chance de 1/n de que Amy escolha o nome de Charlie, fechando um ciclo.

Se o nome de quem está escolhendo ainda não tiver sido escolhido, há uma chance de 1/n de Amy escolher o próprio nome, fechando o ciclo.

De qualquer forma, se a pessoa que recolhe os itens não fechar um ciclo, ela estará entrando em outra cadeia, que eventualmente será fechada por outra pessoa. Cada cadeia deve ser contada apenas uma vez, quando for fechada.

Assim, a resposta é 1/100 + 1/99 + 1/98 + ... + 1/1 = ~ 5,187377518.

Uma estimativa para qualquer número suficientemente grande de jogadores, n, é ln(n).

A questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

É fácil escolher estes dois, provavelmente os dois mais famosos:

• 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ... = π/4
• 1/1 ^ 2 + 1/2 ^ 2 + 1/3 ^ 2 + 1/4 ^ 2 + ... = π ^ 2/6

É verdade, com 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos um par de pessoas ter aniversário no mesmo dia é de 50,73%. Isso ignora o dia bissexto e assume que todos têm a mesma chance de nascer em cada um dos outros 365 dias (o que não é o caso na realidade, já que aniversários na primavera e no outono são ligeiramente mais comuns).

As tabelas em resposta à sua pergunta são bastante extensas, então vou colocá-las em spoilers. Clique nos botões para ver as respostas.

Existem 42 maneiras pelas quais o vendedor pode dividir US$ 10. Aqui estão elas:

Os matemáticos chamam isso de partições. Aqui está o número de partições para quantidades iniciais até 405, que é o máximo que meu computador consegue calcular (2^64).

Essa questão é levantada e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

Vamos começar observando um gráfico de n (eixo x) por f(n) (eixo y).

Como você pode ver, o limite tende a ∞ pela esquerda e a -∞ pela direita. Como a reta não converge para o mesmo lugar por ambos os lados, não há limite.

No entanto, vamos responder à pergunta sem usar um gráfico. A regra de L'Hôpital diz que se o limite de f(x)/g(x) = 0/0, então lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x). Portanto, vamos resolver para f'(x) e g'(x).

f'(n) = ((ln(1-n) - sin(n)) d/dn = -1/(1-n) - cos(n)
g'(n) = (1 - ^cos² (n)) d/dn = ^sin² (n) d/dn

Vamos usar a regra do produto para resolver ^sin² (n) d/dn

pecado ² (n) d/dn = pecado (n) × pecado (n) d/dn =
sen(n) × cos(n) + cos(n) × sen(n) =
2sen(n)cos(n).

Em seguida, vamos resolver para f'(n) e g'(n) em n = 0.

f'(0) = -1/(1-0) - cos(0) = -2.
g'(0) = 2sen(0)cos(0) = 0

Portanto, f'(0)/g'(0) = -2/0 = -∞. Assim, o limite da função original não existe.

Gostaria de parabenizar os roteiristas de Meninas Malvadas por terem acertado em cheio na matemática do filme. Até mesmo filmes que abordam matemática de forma séria, como Gênio Indomável, muitas vezes erram feio nos cálculos.

Primeiro, vou analisar o número de permutações. Isso significa que não apenas os números importam, mas também a ordem deles na cartela. Existem permut(15,5) = 15!/(15-5)! = 15*14*13*12*11 = 360.360 permutações possíveis para as colunas B, I, G e O. Para a coluna N, o número de permutações é permut(14,4) = 15!/(15-4)! = 15*14*13*12 = 32.760. Portanto, o número total de permutações de cartelas de bingo é 360.360 ^{× 4} × 32.760 = 552.446.474.061.128.648.601.600.000.

Em segundo lugar, vou analisar o número de combinações. Isso significa que os números importam, mas não a ordem deles na cartela. Existem combin(15,5) = 15!/(5!*(15-5)!) = (15*14*13*12*11)/(1*2*3*4*5) = 3.003 combinações possíveis para as colunas B, I, G e O. Para a coluna N, o número de permutações é combin(14,4) = 15!/(4!*(15-4)!) = (15*14*13*12)/(1*2*3*4) = 1.365. Portanto, o número total de permutações de cartelas de bingo é 3.003 ^{× 4} × 1.365 = 111007923832370565.

No episódio, Sheldon se pergunta quantas cartelas de bingo ÚNICAS podem existir. Com base nas fórmulas incorretas que ele usa posteriormente, presumo que ele esteja se referindo a permutações. Em outras palavras, duas cartelas com os mesmos números, mas em posições diferentes, seriam ambas únicas.

A imagem acima mostra a fórmula de Sheldon para as colunas B, I, G e O. Inicialmente, ele acerta a fórmula com 5! × combin(15,5). No entanto, ele a simplifica incorretamente para 15!/(15!-5)!. O segundo ponto de exclamação não deveria estar lá. Deveria ser 15!/(15-10)!. Contudo, ele retorna à resposta correta em 360,360.

Temos exatamente o mesmo problema com a coluna N. A fórmula deveria ser 15!/(15-4)!, e não 15!/(15!-4)!. O segundo ponto de exclamação estraga tudo.

O irônico é que, mais tarde no episódio, Sheldon fica obcecado com os erros na cronologia de O Senhor dos Anéis, assim como eu estou obcecado com isso.

Vamos começar definindo algumas variáveis:

• s = kg de sal no tanque
• t = minutos desde que o sal foi adicionado ao tanque

Sabemos que 10% do sal é drenado por minuto. Em termos matemáticos:

ds/dt = (-10/100) × s

Vamos reorganizar isso para:

ds = (-10/100) × s dt

-10/s ds = dt

Integrando ambos os lados:

(1) -10×ln(s) = t + c

Em seguida, vamos encontrar a temida constante de integração. Para isso, sabemos que s = 10 quando t = 0. Substituindo esse valor na fórmula (1) acima, obtemos:

-10 × ln(10) = 0 + c

Então c = -10×ln(10)

Substituindo isso na equação (1), obtemos:

(2) -10×ln(s) = t -10×ln(10)

A questão em análise é a quantidade de sal no tanque em t=30. Resolvendo para s quando t=30:

-10×ln(s) = 30 -10×ln(10). Em seguida, divida ambos os lados por -10...

ln(s) = -3 + ln(10)

s = exp(-3 + ln(10))

s = exp(-3) × exp(ln(10))

s = exp(-3) × 10

s =~ 0,4979 kg de sal.

Essa pergunta é feita e discutida no meu fórum, Wizard of Vegas .

A chave para problemas como este está na sua formulação. Recomendo tentar simplificar o problema ao máximo possível, reduzindo-o ao mínimo de incógnitas. Neste caso, podemos expressar as distâncias desconhecidas no quadrado em apenas três, da seguinte forma:

É mais fácil lidar com retângulos do que com triângulos. Dado que sabemos a área de três triângulos, podemos dobrar o tamanho e dobrar as áreas. Isso nos dá:

• ab=10
• ac=16
• (ab)(ac)=14

Vamos fatorar (ab)(ac):

^a² - ab - ac + bc = 14

a ² - 10 - 16 + bc = 14

(1) ^a² + bc = 40

Vamos expressar b e c em termos de a, para reduzir isso a uma única variável:

b = 10/a

c = 16/a

Substituindo esses valores para b e c na equação (1):

^a² + (10/a)*(16/a) = 40

^a² + 160/ ^a² = 18

Em seguida, vamos eliminar esse ² do denominador multiplicando tudo por ² .

^a⁴ + 160 = 40* ^a²

^a₄ - 40* ^a₂ + 160 = 0

Vamos definir uma nova variável y = a ²

^y² - 18y + 32 = 0

Em seguida, vamos resolver para y usando a fórmula quadrática:

y = (40 +/- sqrt(1600-640))/2

y = (40 +/- sqrt(960))/2

y = (40 +/- 8*sqrt(15))/2

y = 20 +/- 4*sqrt(15)

A área do quadrado inteiro é a ² , que convenientemente é igual a y. Da equação acima, se o +/- for negativo, então y = apx 4,5081, o que está obviamente errado, já que sabemos que a área é pelo menos 20, sem nem mesmo incluir x. Portanto, a área do quadrado deve ser 20 + 4*sqrt(15).

Os três triângulos que nos foram dados têm uma área de 5+7+8=20. Subtraindo isso da área total do quadrado, obtemos a área de x: 20 + 4*sqrt(15) - 20 = 4*sqrt(15) = aproximadamente 15,4919.

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Reparem na minha camiseta nesta foto. A caixa do cinema elogiou-a quando fui ver "Uncut Gems" . Agradeci-lhe torturando-a com este problema, só que com triângulos de áreas 2, 3 e 4. Depois do filme, fui ver como ela estava e ela ainda não tinha resolvido, mas parecia estar a tentar. Então, escrevi a seguinte solução para ela no bar Suncoast. Ela pareceu gostar bastante. Acho que essa jovem vai longe na vida.

Será muito útil conhecer a série infinita na dica a seguir.

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Agradecimento: Obtive uma variação deste problema de Presh Talwalkar, da Mind Your Decisions .

Este problema foi adaptado de um problema semelhante criado por Presh Talwalkar, do Mind Your Decisions .

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