Probabilidade - Números aleatórios

Vamos tentar reformular a pergunta. Supondo que a loteria tenha 10 milhões de combinações e que todos os jogadores escolham seus números aleatoriamente (permitindo números repetidos), quantos bilhetes a loteria precisaria vender para que a probabilidade de pelo menos uma pessoa ganhar seja de 90%? Seja p a probabilidade de ganhar e n o número de bilhetes vendidos. A probabilidade de uma pessoa perder é 1 - p. A probabilidade de todas as n pessoas perderem é (1 - p) ⁿ . A probabilidade de haver pelo menos um vencedor é 1 - (1 - p) ⁿ . Portanto, precisamos igualar isso a 0,9 e resolver para n.

0,9 = 1 - (1-p) ⁿ
.1 = (1-p) ⁿ
ln(0,1) = ln((1-p) ⁿ )
ln(0,1) = n*ln(1-p)
n = ln(.1)/ln(1-p)
n = ln(0,1)/ln(0,9999999)
n = 23.025.850.

Portanto, a loteria precisaria vender 23.025.850 bilhetes para que a probabilidade de haver pelo menos um vencedor fosse de 90%. Caso você esteja se perguntando, se a loteria vendesse exatamente dez milhões de bilhetes, a probabilidade de haver pelo menos um vencedor seria de 63,2%, o que é muito próximo de 1-(1/e).

Um fator na resposta é o número total de bilhetes vendidos a outros jogadores. Caso mais de um jogador ganhe o prêmio principal, ele terá que ser dividido. Vamos chamar o número de combinações possíveis de n, o número total de outros bilhetes vendidos de t, a taxa de retorno dos prêmios menores de r (no caso do Big Game, r = 0,179612) e j o valor do prêmio principal. Para que este empreendimento seja economicamente viável, j*n/(n+t) + r*n - n = 0. Isso resulta em j = (1 - r)*(n+t).

Ao usar o Visual C++, a semente é sempre a mesma. Se eu fornecer a mesma entrada ao programa, a saída será sempre a mesma após uma simulação aleatória. Entendo que essa era a intenção da Microsoft, para que os experimentos pudessem ser replicados exatamente. O Visual J++ é evidentemente diferente, com base nos meus jogos; caso contrário, as mesmas mãos ocorreriam sempre na mesma ordem.

Pós-escrito : Desde que escrevi este texto, desenvolvi um método mais lento, porém muito melhor, para gerar números aleatórios. Clique aqui para mais informações.

A probabilidade de 20 pessoas diferentes terem aniversários diferentes (ignorando o dia bissexto) é (364/365)*(363/365)*(362/365)*...*(346/365) = 58,8562%. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos uma coincidência de aniversário é de 41,1438%. Além disso, 23 é o número mínimo de pessoas necessário para que a probabilidade de uma coincidência seja maior que 50%.

A probabilidade de obter 6 de 94 acertos é 1 em combin(94,6) = 1 em 814.216.767.

Obrigado pelo elogio. Qualquer livro introdutório de probabilidade e estatística deve abordar bem a distribuição binomial. Resumidamente, a distribuição binomial é a probabilidade de que um determinado número de eventos ocorra, dada uma probabilidade específica para cada evento e um número específico de tentativas. Especificamente, se a probabilidade de cada sucesso for p, o número de sucessos for s e o número de tentativas for n, então a probabilidade de s sucessos é p ^s * (1-p) ^ns * combin(n,s). A função combin é explicada no meu glossário . Por exemplo, suponha que você queira saber a probabilidade de que, em 100 giros de uma roleta, o número de vermelhos seja exatamente 60. De acordo com a distribuição binomial, a probabilidade é (18/38) ⁶⁰ * (20/38) ⁴⁰ * combin(100,60) = 0,003291.

O Excel também possui uma função para a distribuição binomial. É =DIST.BINOM(x,n,p,0), onde:

x = número de tentativas positivas. n = número total de tentativas. p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa.

Use 0 na quarta posição da função para a probabilidade exata de x vitórias. Para a probabilidade de x vitórias ou menos, use 1.

No exemplo da roleta acima, a função seria =DIST.BINOM(60,100,18/38,0)

Acho que o que você está mencionando é, na verdade, a "Lei dos Grandes Números". Ela afirma que, para uma amostra aleatória de n variáveis aleatórias com média x, a média amostral _xⁿ converge para x à medida que o tamanho da amostra tende ao infinito. Podemos pensar no resultado de uma aposta como uma variável aleatória. Essa lei nos diz que, conforme o número de apostas se torna muito grande, o resultado médio se aproximará da vantagem da casa.

Eu não gosto de usar probabilidades dessa forma, mas elas geralmente são usadas com essa sintaxe: "As chances de não conseguir um royal flush são de 649.739 para 1". Isso significa que existem 649.739 maneiras de você não conseguir um royal flush e apenas 1 maneira de conseguir. Nos seus exemplos, 12 para 1 é uma probabilidade de 1/13, ou 7,69%, e 3 para 2 é 2/5, ou 40,00%, então a probabilidade de 3 para 2 é a melhor.

A probabilidade de obter exatamente x no seu exemplo é combin(100,x)*(1/5) ^x *(4/5) ^(100-x) . Para obter a resposta exata, você precisa calcular isso para todos os valores de x de 0 a 24, somá-los e subtrair de 1. A resposta é 13,14%.

Você deveria ter me perguntado isso quando eu ainda era atuário na Administração da Previdência Social. Eu poderia facilmente ter feito uma pesquisa nacional sobre registros de óbitos. Eu diria que a resposta é próxima de 1 em 365. Provavelmente é um pouco menor, porque as taxas de mortalidade infantil são desproporcionalmente altas após o nascimento. Para nascimentos no ano 2000, a probabilidade de morte no primeiro ano é de 0,71% para bebês do sexo masculino e 0,59% para bebês do sexo feminino. Em outras palavras, é improvável que essas mortes infantis ocorram no aniversário, porque, uma vez que a criança completa um ano, ela já está fora do período de perigo. Além disso, e eu não sei se isso é um fato, mas no seriado "Six Feet Under" eles disseram que o movimento para funerárias aumenta em janeiro, evidentemente porque as pessoas tentam adiar a morte para mais um Natal e depois se desapegam. Essa mesma lógica pode se aplicar ao aniversário. Considere George Burns, que morreu 48 dias após seu centésimo aniversário.

A probabilidade de seu número aparecer exatamente x vezes é combin(1000,x)*(1/38) ^x *(37/38) ^1000-x . A tabela a seguir mostra a probabilidade de todos os números de acertos de 0 a 6 e o total.

Portanto, a resposta é 0,00000177564555, ou 1 em 563175. Espero que isso não tenha acontecido em um cassino online.

Você pode estar se perguntando por que eu não usei a aproximação normal, como fiz no problema do lançamento de moeda acima. Isso ocorre porque ela não funciona bem com probabilidades muito altas ou muito baixas.

Sua resposta estaria correta se você removesse os copos após uma escolha incorreta. Como você deixa os copos na mesa, cada escolha tem 1/322 de chance de estar certa, ou 321/322 de estar errada. A probabilidade de 75 escolhas estarem erradas é (321/322) ÷ ⁷⁵ = 79,193%. Portanto, a probabilidade de acertar pelo menos uma em 75 escolhas é 100% - 79,193% = 20,807%.

Isso seria combin (34,18)*.19^18*(1-.19)^(34-18) = 0.000007880052468.

A probabilidade de A é obviamente 25%. A probabilidade de não acertar nenhum dos cinco arremessos é 0,95 ^/5 = 77,378%. Portanto, a probabilidade de acertar pelo menos um dos cinco arremessos é 100% - 77,378% = 22,622%. Logo, A tem a maior probabilidade.

Não faz diferença quais foram as rodadas anteriores. A probabilidade de sair vermelho 23 três vezes seguidas é (1/38) ³ = 1 em 1 em 54.872.

Portanto, existem 30 números pretos, 30 vermelhos e 4 verdes. Isso tornaria a probabilidade de sair um preto 30/64, um vermelho 30/64 e um verde 4/64. Se a probabilidade de um evento é p, então a probabilidade justa é de (1-p)/p para 1. Assim, a probabilidade justa para qualquer vermelho seria (34/64)/(30/64) = 34 para 30 = 17 para 15. O mesmo vale para o preto. A probabilidade justa para o verde é (60/64)/(4/64) = 60 para 4 = 15 para 1. Para um número específico, a probabilidade justa é de (63/64)/(1/64) para 63 para 1.

Sugiro pagar 1 para 1 no vermelho e no preto, 14 para 1 no verde e 60 para 1 em qualquer número individual. Uma fórmula para a vantagem da casa é (ta)/(t+1), onde t é a probabilidade real e a é a probabilidade verdadeira. Nesse caso, a vantagem da casa na aposta em vermelho ou preto é (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%. Na aposta em verde, a vantagem da casa é (15-14)/(15+1) = 1/16 = 6,25%. Em números individuais, a vantagem da casa é (63-60)/(63+1) = 3/64 = 4,69%.

A probabilidade de exatamente 6 acertos é combin(10,6)×0,2 ⁶ ×0,8 ⁴ = 0,00550502.

A probabilidade de exatamente 7 acertos é combin (10,7)×0,2 ⁷ ×0,8 ³ = 0,00078643.

A probabilidade de exatamente 8 acertos é combin(10,8)×0,2 ⁸ ×0,8 ² = 0,00007373.

A probabilidade de acertar exatamente 9 é combin(10,9)×0,2 ⁹ ×0,8 ¹ = 0,00000410.

A probabilidade de acertar exatamente 10 é 0,2 ^{× 10} = 0,00000010.

Somando as probabilidades de 6 a 10 acertos, a probabilidade de pelo menos seis acertos é 0,00636938.

Se a probabilidade de ganhar é 1/n, e você joga n vezes, conforme n tende ao infinito, a probabilidade de ganhar pelo menos uma vez se aproxima de 1-(1/e), onde e = 2,7182818..., ou cerca de 63,21%. A resposta exata pode ser expressa como 1-(999.999/1.000.000) ^1.000.000 = 0,63212074. Minha estimativa é 1-(1/e) = 0,63212056, que concorda com seis casas decimais.

Assumindo que nenhum número seja pulado, a probabilidade depende muito pouco do número de participantes, desde que esse número seja razoavelmente grande. Quanto maior o número de participantes, mais a probabilidade de haver pelo menos uma correspondência se aproximará de 1-(1/e) = 63,21%.

O número esperado de vezes que qualquer número aparecerá exatamente n vezes em 12 jogos é combin (12,n)×(6/45) ⁿ ×(39/45) ^n-12 . A tabela a seguir mostra o número esperado de ocorrências de 0 a 12.

Portanto, para responder à sua pergunta, você verá o mesmo número exatamente seis vezes aproximadamente 0,099 vezes por conjunto de cartas, ou cerca de uma vez a cada 10,1 vezes. O mesmo número aparecer exatamente sete vezes ocorrerá 0,0131 vezes por conjunto de cartas, ou uma vez a cada 76,6 vezes.

Você tem razão. A probabilidade de a mesma sequência de números ser escolhida duas noites seguidas é de 1 em 1000. A pergunta que o autor estava respondendo é qual a probabilidade de 1-9-6 ser sorteado duas vezes seguidas, que de fato é de uma em um milhão. No entanto, como você observou, a questão pertinente é qual a probabilidade de qualquer sequência se repetir. A resposta para essa pergunta é (1/10) ^³ = 1 em 1000.

Para uma pergunta tão fácil de fazer, a solução é bastante complexa. Da forma como eu a resolvi, você precisará saber esta integral .

Aqui está a resposta e minha solução (PDF) .