Texas Hold'em - Probabilidade - Pares

Supondo que você compre cinco cartas e conte todas as mãos com exatamente dois valetes, então a probabilidade seria combin(4,2)*combin(48,3)/combin(52,5) = 6*17296/2598960 = 3,99%.

Para questões de probabilidade, gosto de dividir o número de combinações possíveis para o evento de seu interesse pelo número total de combinações. Primeiro, revise a função `combin` na minha seção sobre probabilidades no pôquer . O número de maneiras de se obter uma quadra é simplesmente o número de cartas únicas no baralho, ou seja, 48. O número de maneiras de se obter uma trinca (sem incluir um full house) é o produto do número de maneiras de se obter a terceira carta, 2, e o número de maneiras de se obter duas outras cartas únicas, 2 * `combin(12,2)` * ⁴ = 2.112. O número total de maneiras pelas quais as cartas podem aparecer no flop é `combin(50,3)` = 19.600. Portanto, a probabilidade de uma quadra é 48/19.600 = 0,0024, e a probabilidade de uma trinca é 2.112/19.600 = 0,1078.

Existem 52 * 51/2 = 1326 maneiras de organizar 2 cartas dentre 52. Existem 4 * 3/2 = 6 maneiras de organizar 2 ases dentre 4. Portanto, a resposta é 6/1326 = 1/221. A probabilidade de isso acontecer duas vezes seguidas é (1/221) ^² = 1 em 48.841.

Primeiro, existem 10*9/2=45 maneiras de escolher 2 jogadores dentre 10. A probabilidade de dois jogadores específicos conseguirem quatro ases é 1/combin(52,4)=1/270725. Portanto, a probabilidade de quaisquer dois jogadores conseguirem um par de ases é 45/270725=0,0001662.

Para quem não está familiarizado com a terminologia, cada jogador recebe duas cartas e as três cartas do flop são compartilhadas entre todos os jogadores. Isso equivale a perguntar: se você recebesse três cartas comunitárias, todas de valores diferentes, e dez mãos de duas cartas, qual seria a probabilidade de três dessas mãos formarem pares que correspondam a uma das três cartas comunitárias?

A probabilidade de o jogador 1 ter um conjunto é 3 * combin (3,2) / combin(49,2). A probabilidade de o jogador 2 ter um conjunto é 2 * combin(3,2) / combin(47,2). A probabilidade de o jogador 3 ter um conjunto é combin(3,2) / combin(45,2). No entanto, quaisquer três jogadores podem ter os três conjuntos, não necessariamente os três primeiros. Existem combin(10,3) maneiras de escolher os 3 jogadores dentre os 10 que têm conjuntos. Portanto, a resposta é combin(10,3) * (3 * combin(3,2) / combin(49,2)) * (2 * combin(3,2) / combin(47,2)) * (combin(3,2) / combin(45,2)) = 0,00000154464 = 1 em 64.740.

Para qualquer jogador, a probabilidade de ter AA é combin (4,2)/combin(50,2) = 6/1.225 = 0,0049, pois existem 6 maneiras de escolher 2 ases dentre 4 cartas e 1.225 maneiras de escolher quaisquer 2 cartas dentre as 50 restantes no baralho. A probabilidade é a mesma para um par de reis. Para AK, a probabilidade é 4*4/1.225 = 0,0131, pois existem 4 maneiras de obter um ás e 4 maneiras de obter um rei. Para AQ, a probabilidade é 4*2/1.225 = 0,0065, pois existem 4 ases, mas apenas 2 damas restantes no baralho. Portanto, a probabilidade de qualquer jogador ter uma dessas mãos é (6+6+16+8)/1.225 = 0,0294. Agora, o próximo passo claramente não é perfeito, porque se um jogador não tiver uma dessas mãos, a probabilidade de o próximo jogador ter é um pouco maior. Ignorando isso por uma questão de simplicidade, a probabilidade de nenhum jogador ter uma dessas mãos é (1-0,0294) ⁸ = 78,77%. Portanto, a probabilidade de pelo menos um jogador ter uma dessas mãos é de 21,23%.

Vamos supor que você tenha um par de ases. Antes de considerar que o outro jogador tenha outro par, a probabilidade de acertar uma trinca no flop é [nc(um ás)*nc(dois valores entre 12)*nc(um naipe entre 4) ^² + nc(qualquer outra trinca)]/nc(quaisquer três cartas), onde nc(x) = número de combinações de x. Isso é igual a [2* combin (12,2)* ^4² + 12*combin(4,3)]/combin(50,3) = (2112+48)/19600 = 11,020%. Agora, vamos supor que o outro jogador tenha qualquer outro par, mas não o mesmo que o seu. Então a probabilidade se torna [2*(combin(11,2)* ^4² + 11*2*4 + 11*combin(4,3)]/combin(48,3) = 11,4477%.

A probabilidade para qualquer mão dada é ( combin (4,2)/combin(52,2))*(1/combin(50,2)) = 1/270725. Portanto, a probabilidade de isso acontecer duas vezes seguidas é 1 em 270.725 ² = 1 em 73.292.025.625.

13*12* combinação (4,2)*4/combin(52,3) = 3744/22100 = 16,941%.

A tabela a seguir mostra as probabilidades estimadas de um par ser derrotado por pelo menos um par superior, de acordo com o número de jogadores (incluindo você). Essas probabilidades não são exatas porque as mãos não são independentes. No entanto, encontrar as probabilidades exatas seria complicado e acredito que estas sejam bastante próximas. Minha fórmula é 1 - (1 - r * combin (4,2) / combin(50,2)) ^{(n - 1)} , onde r = número de pares de valor superior ao seu par e n = número total de jogadores. A tabela mostra que a probabilidade de outro jogador ter um par de ases, quando você tem um par de reis, em um jogo com 10 jogadores, é de 4,323%.

Vamos chamar os jogadores de A, B e C. A probabilidade de A ter um par de ases é combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326. A probabilidade de B ter um par de reis é combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225. A probabilidade de C ter um par de damas é combin(4,2)/combin(48,2) = 6/1128. No entanto, existem 3! = 1*2*3 = 6 maneiras de organizar três pares entre três jogadores. Portanto, a resposta é 6*(6/1326)*(6/1225)*(6/1128) = 0,000000707321.

Obrigado pelas gentis palavras. A probabilidade de você receber um par de ases em uma mão é de 6/1326, ou uma vez a cada 221 mãos. De acordo com a minha seção sobre Texas Hold'em para 10 jogadores (/games/texas-hold-em/10players.html), a probabilidade de ganhar com um par de ases é de 31,36%, assumindo que todos os jogadores permaneçam na partida até o final. No entanto, isso é uma grande incógnita. Se eu tivesse que dar um palpite, estimaria que a probabilidade de ganhar com ases em um jogo real de 10 jogadores seja de cerca de 70%. Portanto, a probabilidade de receber um par de ases e perder é de 0,3 * (1/221) = 0,1357%. Assim, a US$ 100 por ocorrência, isso equivale a 13,57 centavos por mão. Para dez pessoas, isso custa à sala de pôquer US$ 1,36 por mão em média, o que reduz bastante o rake. Eu tendo a concordar com sua estratégia de pagar, o que manterá mais jogadores na mão e aumentará sua chance de perder.

A probabilidade de um jogador específico ter ases é combin (4,2)/combin(52,2) = 6/1326. A probabilidade do próximo jogador ter um par de reis é combin(4,2)/combin(50,2) = 6/1225. No entanto, em um jogo com dez jogadores, há 10 jogadores possíveis que podem ter ases e 9 jogadores possíveis que podem ter reis. Portanto, uma boa aproximação seria 10*9*(6/1326)*(6/1225) = 0,001995, ou 1 em 501. Essa resposta é ligeiramente alta demais, porque contabiliza duas vezes a situação em que dois jogadores têm ases, ou dois têm reis, ou ambos.

Os cálculos ficam bastante complexos devido à possibilidade de mais de um jogador ter um par superior, incluindo pares do mesmo tipo. Por exemplo, se você tiver um par de reis, dois jogadores podem ter um par de ases. No entanto, é fácil mostrar o número esperado de jogadores que irão te vencer. Isso seria n*r*(6/1225), onde n é o número de oponentes e r é o número de jogadores com par superior. A tabela a seguir mostra o número médio de jogadores que terão um par superior, de acordo com o seu par (coluna da esquerda), dividido pelo número de oponentes (linha superior).

Para obter a probabilidade de pelo menos um jogador vencer você, farei a suposição, não totalmente correta, de que o número de jogadores com um par de cartas maior segue uma variável aleatória de Poisson com média na tabela acima. Considerando essa suposição, a probabilidade de pelo menos um jogador vencer você é 1 - e ^{^(-µ)} , onde µ é a média. Por exemplo, se você tiver um par de damas e houver 9 outros jogadores, o número esperado de jogadores com um par de cartas maior é 0,0882, então a probabilidade de pelo menos um jogador ter um par de cartas maior é 1 - e ^{^(-0,0882)} = 8,44%. A tabela abaixo mostra essas probabilidades.

Portanto, minha aproximação da probabilidade de pelo menos um par de bolsos superior é 1-e ^{-n*r*(6/1225)} .

PS: Depois da publicação desta coluna, um dos meus fãs, Larry B., escreveu um programa combinatório de força bruta para resolver este problema. Aqui estão os resultados dele.

Mais tarde, Stephen Z. sugeriu uma aproximação simples. Pegue o número de pares maiores, multiplique pelo número de outros jogadores e divida por 2. Essa é a probabilidade percentual de haver pelo menos um par maior. Por exemplo, com um par de valetes em um jogo de 10 jogadores, a probabilidade de um par maior é 3 * 9 / 2 = 13,5%. Usando essa fórmula, você obtém o seguinte para todas as situações.

Para quem não está familiarizado com a terminologia do Hold'em, você está perguntando qual a probabilidade de se obter pelo menos um par com seis cartas, dado que as duas primeiras (as cartas fechadas) são de valores diferentes. Espero que me perdoe se eu calcular apenas a probabilidade de se obter exatamente um par, incluindo mãos que também formam uma sequência ou um flush.

O número de maneiras de formar um par com uma das suas cartas fechadas é seis (2 cartas fechadas * 3 naipes restantes). As outras três cartas devem ser de valores diferentes das 11 restantes. Existem combin (11,3) = 165 maneiras de escolher 3 valores dentre as 11. Para cada uma dessas combinações, existem quatro naipes para escolher. Portanto, o número de maneiras de formar um par com uma das suas cartas fechadas é 6 * 165 * 4 ^{* 3} = 63.360.

Agora, vamos analisar o número de maneiras de formar um par além das duas cartas fechadas. Existem 11 valores para escolher para o par. Uma vez escolhido o par, existem combin(4,2)=6 maneiras de escolher 2 naipes dentre os 4. Para as outras duas cartas, existem combin(10,2)=45 maneiras de escolher 2 valores dentre os 10 valores restantes completamente intactos. Para ambos os valores, existem 4 naipes possíveis. Portanto, o total de combinações para um par, sem incluir as cartas fechadas, é 11*6*45* ^4² = 47.520.

O número total de maneiras de escolher 4 cartas dentre as 50 restantes no baralho é combin(50,4)=230.300. Portanto, a probabilidade de obter exatamente um par em seis cartas é (63.360+47.520)/230.300 = 48,15%.

A probabilidade de três valores diferentes no flop é combin (13,3)× ^4³ /combin(52,3) = 0,828235. Existem combin(10,3) = 120 maneiras de escolher três jogadores dentre dez. Desses três, a probabilidade de o primeiro ter uma trinca é 3×combin(3,2)/combin(49,2) = 0,007653061. A probabilidade de o segundo ter uma trinca é 2×combin(3,2)/combin(47,2) = 0,005550416. A probabilidade de o terceiro ter uma trinca é combin(3,2)/combin(45,2) = 0,003030303. Multiplicando tudo isso, a probabilidade é 0,828235 × 120 × 0,007653061 × 0,005550416 × 0,003030303 = 0,00001279, ou 1 em 78.166.

Para os leitores que talvez não saibam, uma "trinca" é uma sequência de três cartas iguais após o flop, incluindo um par. A probabilidade de não formar uma trinca é (48 + combin(48,3)) / combin(50,3) = 17.344 / 19.600 = 88,49%. Portanto, a probabilidade de formar uma trinca é de 11,51%. Em 2.787 pares, você deveria ter formado uma trinca 320,8 vezes. Assim, você está 47,8 trincas abaixo da expectativa. A variância é n × p × (1 - p), onde n = número de mãos e p = probabilidade de formar a trinca. Neste caso, a variância é 2.787 × 0,1176 × 0,8824 = 283,86. O desvio padrão é a raiz quadrada disso, ou 16,85. Portanto, você está 47,8/16,85 = 2,84 desvios padrão abaixo do esperado. A probabilidade de uma sorte tão ruim ou pior pode ser encontrada em qualquer tabela da distribuição normal padrão ou no Excel como DIST.NOR(-2,84) = 0,002256, ou 1 em 443.

A probabilidade de estar em desvantagem com KK contra AA é ( combin (4,2)/combin(52,2)) × (combin(4,2)/combin(50,2)) = 0,000022162, para cada oponente na mesa. Isso ocorre uma vez a cada 45.121 mãos, então seus cálculos estavam corretos. O número esperado de vezes que isso aconteceria em 400 mãos é 400 × 0,000022162 = 0,008865084, por oponente. A tabela a seguir mostra a probabilidade de ocorrerem 3 ou mais vezes KK contra AA em 400 mãos, pelo número de oponentes.

Sim, eu diria que isso parece suspeito. Quanto menos jogadores, mais suspeito parece. Gostaria de saber onde esse jogo aconteceu.

Obrigado. Restam 50 cartas no baralho, e 42 delas não são ases nem reis. A probabilidade de não haver nenhum ás ou rei nas cinco cartas comunitárias é combin (42,5)/combin(50,5) = 850.668/2.118.760 = 40,15%. Portanto, a probabilidade de haver pelo menos um ás ou rei é 100% - 40,15% = 59,85%.

A probabilidade de um jogador específico ter um par de ases, dado que você também tem, é (2/50) × (1/49) = 1 em 1.225. Considerando outros 9 jogadores, a probabilidade é 9 vezes maior, ou 1 em 136. Isso pode parecer um abuso da soma de probabilidades. No entanto, é aceitável se apenas um jogador puder ter dois ases. Para responder à sua pergunta, a probabilidade de outro jogador ter um par de ases três vezes em que você teve um par de ases é (9 × (2/50) × (1/49)) ^³ = 1 em 2.521.626.