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Variância no Keno com Múltiplas Cartas

Introdução

Este artigo analisa a variância no keno com múltiplas cartas. Muitos jogos de keno em vídeo permitem que o jogador jogue com quatro cartas simultaneamente, e outros com até 20 cartas. O jogador pode controlar a variância do jogo pela quantidade de números em comum que suas cartas possuem. Quanto mais cartas compartilharem os mesmos números, maior será a variância.

keno de quatro cartas

Revisão de Matemática

Deixar:

E(x) = Valor esperado da variável aleatória X.
Cov(x) = A covariância entre quaisquer duas cartas.

A variância de uma única carta pode ser expressa como:

Var(x)=E(x^2)-(E(x)) 2

Quando duas cartas compartilham números iguais, os resultados em cada jogo serão correlacionados. Normalmente, essa correlação é medida pela covariância. A fórmula geral para a covariância entre duas variáveis aleatórias x e y é:

Cov(x,y) = E(xy) - E(x)*E(y)

Se o número de cartas em comum for o mesmo entre quaisquer duas cartas, então, para n cartas, a variância total será:

Covariância total = n*Var(x) + n*(n-1)*Cov(x,y)

Escolha 6 números com 3 números em comum.

Primeiro, vamos calcular a variância de uma única carta na tabela de pagamentos típica de 3, 4, 68 e 1500. A tabela a seguir mostra o ganho esperado e o quadrado do ganho para todos os resultados possíveis.

Tabela de retorno do Keno Pick Six

Pegar Paga Probabilidade Esperado
Ganhar		 Esperado
Ganhar^2
0 0 0,166602 0,000000 0,000000
1 0 0,363495 0,000000 0,000000
2 0 0,308321 0,000000 0,000000
3 3 0,129820 0,389459 1,168376
4 4 0,028538 0,114152 0,456607
5 68 0,003096 0,210503 14.314233
6 1500 0,000129 0,193477 290.216113
Total 1.000000 0,907591 306.155328

A última linha mostra que o retorno esperado é 0,907591 e o quadrado esperado do ganho é 306,155328. Isso faz com que a variância seja 306,155328 - 0,907591² = 305,331607.

A seguir, vamos analisar detalhadamente o caso em que o jogador escolhe 6 números, sendo 3 em comum em todas as cartas e os outros 3 com números únicos em cada carta. Por exemplo, em um jogo com 4 cartas, eu poderia escolher:

  • Cartão A: 1,2,3,5,10,15
  • Cartão B: 1,2,3,20,25,30
  • Cartão C: 1,2,3,35,40,45
  • Cartão D: 1,2,3,50,55,60

A tabela a seguir mostra a probabilidade de todas as 49 combinações possíveis do número de capturas entre duas cartas, A e B, que compartilham três dos seis números. Na coluna da esquerda está o número de capturas na carta A e na linha superior está o número de capturas na carta B.

Tabela de Probabilidade Combinada -- Escolha 6 números com 3 números em comum

Capturas Catch 0 Catch 1 Catch 2 Catch 3 Catch 4 Catch 5 Catch 6 Total
0 0,063748 0,073555 0,026369 0,002930 0,000000 0,000000 0,000000 0,166602
1 0,073555 0,152662 0,105475 0,029086 0,002717 0,000000 0,000000 0,363495
2 0,026369 0,105475 0,113626 0,051596 0,010479 0,000776 0,000000 0,308321
3 0,002930 0,029086 0,051596 0,034435 0,010316 0,001389 0,000068 0,129820
4 0,000000 0,002717 0,010479 0,010316 0,004216 0,000761 0,000049 0,028538
5 0,000000 0,000000 0,000776 0,001389 0,000761 0,000159 0,000011 0,003096
6 0,000000 0,000000 0,000000 0,000068 0,000049 0,000011 0,000001 0,000129
Total 0,166602 0,363495 0,308321 0,129820 0,028538 0,003096 0,000129 1.000000

A próxima tabela mostra o produto das vitórias entre as duas cartas.

Mesa de Produtos Vencedores -- Escolha 6

Capturas Catch 0 Catch 1 Catch 2 Catch 3 Catch 4 Catch 5 Catch 6
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 9 12 204 4500
4 0 0 0 12 16 272 6000
5 0 0 0 204 272 4624 102000
6 0 0 0 4500 6000 102000 2.250.000

A próxima tabela é o produto das duas tabelas acima, para obter o produto esperado das vitórias entre ambas as cartas. A célula inferior direita mostra que o produto esperado das vitórias é 7,390131.

Tabela de ganhos esperados -- Escolha 6 com 3 números comuns

Capturas Catch 0 Catch 1 Catch 2 Catch 3 Catch 4 Catch 5 Catch 6 Total
0 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
2 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
3 0,000000 0,000000 0,000000 0,309916 0,123788 0,283363 0,306405 1,023472
4 0,000000 0,000000 0,000000 0,123788 0,067463 0,206918 0,295839 0,694008
5 0,000000 0,000000 0,000000 0,283363 0,206918 0,734216 1,108143 2,332641
6 0,000000 0,000000 0,000000 0,306405 0,295839 1,108143 1,629623 3.340010
Total 0,000000 0,000000 0,000000 1,023472 0,694008 2,332641 3.340010 7.390131

A covariância entre os dois cartões é, portanto, 7,390131 - 0,907591 2 = 6,566409.

A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão para jogar de 1 a 20 cartas, tanto para todas as cartas combinadas quanto para cada carta individualmente.

Escolha 6 com 3 números em comum -- Resumo da variância

Cartas Total
Variância		 Variância
por cartão		 Total
Desvio padrão		 Desvio padrão
por cartão
1 305,33 305,33 17,47 17,47
2 623,80 311,90 24,98 17,66
3 955,39 318,46 30,91 17,85
4 1300,12 325,03 36.06 18.03
5 1657,99 331,60 40,72 18.21
6 2028,98 338,16 45,04 18,39
7 2413.11 344,73 49.12 18,57
8 2810,37 351,30 53.01 18,74
9 3220,77 357,86 56,75 18,92
10 3644,29 364,43 60,37 19.09
11 4080,95 371,00 63,88 19.26
12 4530,75 377,56 67,31 19,43
13 4993,67 384,13 70,67 19,60
14 5469,73 390,69 73,96 19,77
15 5958,92 397,26 77,19 19,93
16 6461,24 403,83 80,38 20.10
17 6976,70 410,39 83,53 20.26
18 7505,29 416,96 86,63 20,42
19 8047.01 423,53 89,71 20,58
20 8601,87 430,09 92,75 20,74

Escolha 10 com 5 números em comum

A tabela a seguir mostra o ganho esperado e o quadrado esperado do ganho para o keno pick-10 na tabela de pagamento 3-4-68-1500.

Tabela de Retorno do Keno Pick Ten

Pegar Paga Probabilidade Esperado
Ganhar		 Esperado
Ganhar^2
0 0 0,045791 0,000000 0,000000
1 0 0,179571 0,000000 0,000000
2 0 0,295257 0,000000 0,000000
3 0 0,267402 0,000000 0,000000
4 0 0,147319 0,000000 0,000000
5 5 0,051428 0,257138 1,285692
6 23 0,011479 0,264026 6,072600
7 132 0,001611 0,212671 28.072557
8 1000 0,000135 0,135419 135,419355
9 4500 0,000006 0,027543 123,943139
10 10000 0,000000 0,001122 11.221190
Total 1.000000 0,897920 306.014533

A última linha mostra que o retorno esperado é de 0,897920 e o quadrado esperado do ganho é de 306,014533. Isso resulta em uma variância de 306,014533 - 0,897920^2 = 305,208273.

Após muitos cálculos, que irei omitir, a covariância é 9,998613.

A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão para jogar de 1 a 9 cartas, tanto para todas as cartas combinadas quanto para cada carta individualmente.

Variância total e desvio padrão -- Escolha 10 com 5 números em comum

Cartas Total
Variância		 Variância
por cartão		 Total
Desvio padrão		 Desvio padrão
por cartão
1 305.21 305.21 17,47 17,47
2 630,41 315,21 25.11 17,75
3 975,62 325,21 31.23 18.03
4 1340,82 335,20 36,62 18.31
5 1726.01 345,20 41,55 18,58
6 2131,21 355,20 46,17 18,85
7 2556,40 365,20 50,56 19.11
8 3001,59 375,20 54,79 19,37
9 3466,77 385,20 58,88 19,63
10 3951,96 395,20 62,86 19,88
11 4457,14 405,19 66,76 20.13
12 4982,32 415,19 70,59 20,38
13 5527,49 425,19 74,35 20,62
14 6092,66 435,19 78,06 20,86
15 6677,83 445,19 81,72 21.10

Escolha 9 números com 3 números em comum

A tabela a seguir mostra o ganho esperado e o quadrado esperado do ganho para o keno pick-9 na tabela de pagamento 1-6-44-300-4700-10000.

Tabela de retorno do Keno Pick Ten

Pegar Paga Probabilidade Esperado
Ganhar		 Esperado
Ganhar^2
0 0 0,063748 0,000000 0,000000
1 0 0,220666 0,000000 0,000000
2 0 0,316426 0,000000 0,000000
3 0 0,246109 0,000000 0,000000
4 1 0,114105 0,114105 0,114105
5 6 0,032601 0,195609 1,173653
6 44 0,005720 0,251661 11.073064
7 300 0,000592 0,177504 53,251057
8 4700 0,000033 0,153185 719,967331
9 10000 0,000001 0,007243 72,427678
Total 1.000000 0,899305 858.006889

A última linha mostra que o retorno esperado é 0,899305 e o quadrado esperado do ganho é 858,006889. Isso faz com que a variância seja 858,006889 - 0,899305² = 857,198138.

Após muitos cálculos, que irei omitir, a covariância é 3,401478.

A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão para jogar de 1 a 12 cartas, tanto para todas as cartas combinadas quanto para cada carta individualmente.

Variância total e desvio padrão -- Escolha 9 com 3 números em comum

Cartas Total
Variância		 Variância
por cartão		 Total
Desvio padrão		 Desvio padrão
por cartão
1 857,20 857,20 29,28 29,28
2 1721,20 860,60 41,49 29,34
3 2592,00 864,00 50,91 29,39
4 3469,61 867,40 58,90 29h45
5 4354.02 870,80 65,99 29,51
6 5245,23 874,21 72,42 29,57
7 6143,25 877,61 78,38 29,62
8 7048.07 881,01 83,95 29,68
9 7959,69 884,41 89,22 29,74
10 8878.11 887,81 94,22 29,80
11 9803,34 891,21 99,01 29,85
12 10735,37 894,61 103,61 29,91

Escolha 9 com 6 números em comum

A tabela de retorno esperado para um único cartão é mostrada acima para o caso de escolha de 9 com 3 números comuns. Como lembrete, a variância é de 857,198138.

Após muitos cálculos, que omitirei, a covariância para duas cartas de pick-9 com seis números em comum é 57,283444.

A tabela a seguir mostra a variância e o desvio padrão para jogar de 1 a 20 cartas, tanto para todas as cartas combinadas quanto para cada carta individualmente.

Variância total e desvio padrão -- Escolha 9 com 6 números em comum

Cartas Total
Variância		 Variância
por cartão		 Total
Desvio padrão		 Desvio padrão
por cartão
1 857,20 857,20 29,28 29,28
2 1828,96 914,48 42,77 30,24
3 2915,30 971,77 53,99 31.17
4 4116.19 1029,05 64,16 32.08
5 5431,66 1086,33 73,70 32,96
6 6861,69 1143,62 82,84 33,82
7 8406,29 1200,90 91,69 34,65
8 10065,46 1258,18 100,33 35,47
9 11839,19 1315,47 108,81 36,27
10 13727,49 1372,75 117,16 37,05
11 15730,36 1430.03 125,42 37,82
12 17847,79 1487,32 133,60 38,57
13 20079,79 1544,60 141,70 39,30
14 22426,36 1601,88 149,75 40,02
15 24887,50 1659,17 157,76 40,73
16 27463,20 1716,45 165,72 41,43
17 30153,47 1773,73 173,65 42.12
18 32958,30 1831.02 181,54 42,79
19 35877,70 1888,30 189,41 43,45
20 38911,67 1945,58 197,26 44.11

Resumo

A tabela a seguir mostra as estatísticas pertinentes para todos os casos acima, bem como para cada número de escolhas de 2 a 10, sem sobreposição de números.

Resumo

Escolhas Tabela de Pagamento Sobreposição
Números		 Variância Covariância
2 14 0 0,841772 11.076230 -0,108155
3 2,45 0 0,901899 27,839208 -0,205128
4 2,5,85 0 0,901899 23.251327 -0,183044
5 3.11.804 0 0,901899 418.292207 -0,441581
6 3,4,68,1500 0 0,903340 305.331607 -0,376538
7 1,2,20,390,7000 0 0,908473 1310.087945 -0,518283
8 2.12.98.1550.10000 0 0,906738 844,928926 -0,603251
9 1,6,44,300,4700,10000 0 0,899305 857.198138 -0,609176
10 5,23,132,1000,4500,10000 0 0,897920 305.208273 -0,631869
6 3,4,68,1500 3 0,903340 305.331607 6,566409
9 1,6,44,300,4700,10000 3 0,899305 857.198138 3,401478
9 1,6,44,300,4700,10000 6 0,899305 857.198138 57,283444
10 5,23,132,1000,4500,10000 5 0,897920 305.208273 9,998613

Exemplo

Como tudo isso pode ser útil? Aqui está um exemplo de problema de matemática onde as informações acima serão úteis.

Joe joga 10.000 partidas de keno de quatro cartas. Em cada partida, ele escolhe três números comuns entre as quatro cartas, e os outros três números de cada carta são únicos. Ele aposta $1 por carta. A tabela de pagamento utilizada é a 3-4-68-1500. Qual é o intervalo de confiança de 95% para o seu ganho total esperado?

Clique no botão abaixo para ver a resposta.

A resposta é uma perda de $10.763,44 para um ganho de $3.370,73.

Clique no botão abaixo para uma solução resumida.

O ganho esperado é 10.000 × 4 × $1 × (0,907591-1) = -3.696,35.

A tabela acima mostra que a variação por cartão é de 325,0308343. Com um total de 40.000 cartões, a variação total é de 40.000 × 325,0308343 = $ 13.001.233.

A raiz quadrada da variância é o desvio padrão, que é igual a sqrt($13.001.233) = $3.605,72.

Um intervalo de confiança de 95% abrange 1,959964 desvios padrão em ambas as direções. Isso significa que, em 95% das vezes, o ganho real estará dentro de 1,959964 × US$ 3.605,72 = US$ 7.067,09 das expectativas.

Assim, o limite inferior do intervalo de confiança de 95% é -$3.696,35 - $7.067,09 = -$10.763,44.

O limite superior do intervalo de confiança de 95% é -$3.696,35 + $7.067,09 = $3.370,73.

Links internos

Escrito por: Michael Shackleford