Somas de Keno

Introdução

Esta página mostra a probabilidade de qualquer soma dos números sorteados em 20 bolas de keno. Para quem não conhece o keno , trata-se de um jogo em que o jogador aposta no sorteio de 20 bolas, sem reposição, numeradas de 1 a 80. Criei esta página ao observar as apostas na soma do sorteio no Blitz Keno .

Existem combin(80,20) = 3.535.316.142.212.174.320 maneiras de escolher 20 itens dentre 80. A tabela a seguir mostra o número de combinações para qualquer total possível de 210 a 1.410, a probabilidade desse total e a probabilidade de ser igual ou menor que esse total.

A média das bolas é 40,5, então a soma média é 20 × 40,5 = 810. Como mostra a tabela, a probabilidade de obter exatamente 810, que é a média, a mediana e a moda, é de 0,44%, ou 1 em 227,46.

Dicas de programação

Minha primeira tentativa de obter as combinações para qualquer total dado foi por força bruta, percorrendo todas as 3.535.316.142.212.174.320 maneiras de escolher 20 bolas dentre 80 e somando o resultado de cada uma. Esse programa levaria anos para ser concluído.

Minha segunda tentativa foi procurar um padrão. Talvez uma variante da Sequência de Fibonacci ou uma linha de um Triângulo de Pascal modificado. Foi uma tentativa nobre, mas não levou a nada.

Minha terceira tentativa foi encontrar a função geradora , mas isso teria sido tão tedioso quanto o primeiro método. Aliás, isso pode ser feito facilmente no Mathematica , mas sou muito pão-duro para comprá-lo.

Finalmente, após algumas ótimas dicas de programação dos gênios da matemática e da computação do meu fórum, criei alguns atalhos de programação que reduziram o tempo de cálculo para menos de um segundo. A seguir, apresento a lógica por trás desses atalhos. Essa lógica foi inspirada no código escrito por ZPP nesta postagem do meu fórum.

Como exemplo dessa lógica simplificada, a distribuição dos totais possíveis seria a mesma se as três primeiras bolas sorteadas fossem 1, 5 e 6, assim como se fossem 2, 3 e 6. Não há necessidade de percorrer as outras 18 bolas duas vezes. Da mesma forma, o programa nunca entra em loop se o total das bolas restantes, dado o mesmo número de bolas restantes e a menor bola possível, já tiver sido calculado. Isso economiza uma quantidade ENORME de tempo de processamento.

Sei que essa última afirmação é um tanto complexa, então deixe-me mostrar a linha crucial do meu programa:

a[k][nível][m+t]+=a[m+1][nível+1][t];

Aqui estão as definições das variáveis:

Aqui está o circuito completo, após preencher manualmente os totais da 20ª bola.

	para (nível=19; nível>=1; nível--) 
	{
		para (k=nível; k<=60+nível; k++) // bola mais baixa disponível
		{
			para (m=k; m<=60+nível; m++) // nível-ésimo bola
			{
				para (t=0; t<=1410; t++)
				{
					a[k][nível][m+t]+=a[m+1][nível+1][t];
				}
			}
		}
	}

Espero que não tenha sido muito confuso.

Links internos

Somas da Loteria — Esta mesma tabela, mas baseada em uma loteria de 6 a 49.

Links externos

• Considere que as bolas serão sorteadas em ordem crescente de tamanho.
• Crie uma matriz de 81x21x1411. Os primeiros colchetes armazenarão a menor bola que pode ser sorteada. Os segundos, o número da próxima bola a ser sorteada (1 é a primeira, 20 é a última) e os terceiros, o total de todas as bolas não sorteadas. A matriz armazenará a quantidade de maneiras pelas quais esse total pode ser sorteado, dado o menor valor possível da bola e a ordem da próxima bola. A matriz poderia ser 80x20x1410, mas prefiro não ter que subtrair um o tempo todo para que os resultados se ajustem.
• Inicialize todos os elementos desse array com zero.
• Para a 20ª bola, o número de combinações será 1 para qualquer total igual ou maior que a menor bola possível.
• Começando pela 19ª bola e indo até a primeira, percorra todas as bolas possíveis que você ainda pode obter. Para o elemento do array correspondente à menor bola possível, a ordem das bolas e o total possível de todas as bolas restantes, adicione o elemento do array correspondente a um número maior que a menor bola possível, um nível acima, e o total restante desse nível (sem contar o número que acabou de ser sorteado).
  • a = nome do array
  • k = menor bola possível de ser sorteada (lembre-se que elas são sorteadas em ordem)
  • nível = ordem da bola (onde 20 é a última sorteada e 1 é a primeira)
  • m = último número sorteado para o nível em questão
  • t = total de todas as bolas restantes APÓS a bola (m) que acaba de ser retirada, mas não incluindo m.
  • Qual é a vantagem da casa no Keno Exact Score? — Primeira vez que este tópico foi levantado no meu fórum.
  • SOMA DAS 20 BOLAS DE KENO — Segunda vez que este tópico é levantado no meu fórum.
  • Problema da Soma de Subconjuntos — Como resolver este problema com uma função geradora (não recomendo este método)

Escrito por: Michael Shackleford