Matemática do pôquer

Derivações para Five Card Stud

Já me perguntaram tantas vezes como calculei as probabilidades de obter cada mão de pôquer que criei esta seção para explicar o cálculo. Isso pressupõe um certo nível de conhecimento matemático; qualquer pessoa com domínio da matemática do ensino médio deve conseguir acompanhar esta explicação. As habilidades usadas aqui podem ser aplicadas a uma ampla gama de problemas de probabilidade.

A função fatorial

Se você já conhece a função fatorial, pode pular para a próxima página. Se você acha que 5! significa gritar o número cinco, então continue lendo.

As instruções do seu sofá provavelmente recomendam que você reorganize as almofadas regularmente. Vamos supor que seu sofá tenha quatro almofadas. De quantas maneiras você pode organizá-las? A resposta é 4!, ou 24. Obviamente, há 4 posições para colocar a primeira almofada, depois haverá 3 posições para a segunda, 2 posições para a terceira e apenas 1 para a última, ou seja, 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Se você tivesse n almofadas, haveria n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1 = n! maneiras de organizá-las. Qualquer calculadora científica deve ter uma função fatorial, geralmente representada por x!, e a função fact(x) no Excel calculará o fatorial de x. O número total de maneiras de organizar 52 cartas seria 52! = 8,065818 * ^10⁶⁷ .

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A função combinatória

Suponha que você queira formar uma comissão de 4 pessoas a partir de um grupo de 10 pessoas no seu escritório. Quantas combinações diferentes de pessoas você pode escolher? A resposta é 10!/(4!*(10-4)!) = 210. De forma geral, se você precisa formar uma comissão de y pessoas a partir de um grupo de x, então existem x!/(y!*(xy)!) combinações para escolher. Por quê? No exemplo dado, haveria 10! = 3.628.800 maneiras de organizar as 10 pessoas do seu escritório. Você poderia considerar as quatro primeiras como a comissão e as outras seis como as sortudas. No entanto, você não precisa estabelecer uma ordem específica para as pessoas na comissão ou para as que não fazem parte dela. Existem 4! = 24 maneiras de organizar as pessoas na comissão e 6! = 720 maneiras de organizar as outras. Dividindo 10! pelo produto de 4! e 6!, obtemos 210 combinações possíveis. Você dividirá a ordem de entrada e saída das pessoas no comitê e ficará apenas com o número de combinações, especificamente (1*2*3*4*5*6*7*8*9*10)/((1*2*3*4)*(1*2*3*4*5*6)) = 210. A função COMBIN (x,y) no Excel lhe dirá o número de maneiras que você pode organizar um grupo de y pessoas a partir de x.

Agora podemos determinar o número de mãos possíveis de cinco cartas em um baralho de 52 cartas. A resposta é combin(52,5), ou 52!/(5!*47!) = 2.598.960. Se você estiver fazendo isso manualmente porque sua calculadora não tem a função fatorial e você não tem uma cópia do Excel, lembre-se de que todos os fatores de 47! se cancelam com os de 52!, resultando em (52*51*50*49*48)/(1*2*3*4*5). A probabilidade de formar qualquer mão é o número de maneiras de organizá-la dividido pelo número total de combinações, que é 2.598.960. Abaixo estão as combinações possíveis para cada mão. Basta dividir por 2.598.960 para obter a probabilidade.

Matemática do pôquer

A próxima seção mostra como calcular o número de combinações de cada mão de pôquer no jogo de cinco cartas.

Rubor Real

Existem quatro maneiras diferentes de formar um royal flush (uma para cada naipe).

Straight Flush

A carta mais alta em uma sequência de flush pode ser 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama ou Rei. Portanto, existem 9 cartas altas possíveis e 4 naipes possíveis, criando 9 * 4 = 36 sequências de flush diferentes possíveis.

Quatro de um mesmo tipo

Existem 13 combinações possíveis de quatro cartas. A quinta carta pode ser qualquer uma das 48 restantes. Portanto, existem 13 * 48 = 624 combinações diferentes de quatro cartas.

Casa cheia

Existem 13 combinações possíveis para uma trinca e 12 combinações possíveis para uma dupla. Há 4 maneiras de organizar três cartas do mesmo valor (4 cartas diferentes para descartar) e combin(4,2) = 6 maneiras de organizar duas cartas do mesmo valor. Portanto, existem 13 * 12 * 4 * 6 = 3.744 maneiras de formar um full house.

Descarga

Existem 4 naipes para escolher e combin(13,5) = 1.287 maneiras de organizar cinco cartas do mesmo naipe. De 1.287, subtrai-se 10, referente às dez cartas altas que podem iniciar uma sequência, resultando em um straight flush, o que deixa 1.277. Multiplicando-se então por 4, referentes aos quatro naipes, obtém-se 5.108 maneiras de formar um flush.

Direto

A carta mais alta em uma sequência pode ser 5, 6, 7, 8, 9, 10, Valete, Dama, Rei ou Ás. Portanto, existem 10 cartas altas possíveis.Cada carta pode ser de quatro naipes diferentes. O número de maneiras de organizar cinco cartas de quatro naipes diferentes é ^4⁵ = 1024. Em seguida, subtraia 4 de 1024 para obter as quatro maneiras de formar um flush, resultando em um straight flush, o que deixa 1020. O número total de maneiras de formar uma sequência é 10 * 1020 = 10.200.

Três de um mesmo tipo

Existem 13 valores possíveis para formar uma trinca e 4 maneiras de organizar 3 cartas entre esses quatro valores. Há combin(12,2) = 66 maneiras de organizar os outros dois valores possíveis para as outras duas cartas. Em cada um desses dois valores, há quatro cartas para escolher. Portanto, o número de maneiras de organizar uma trinca é 13 * 4 * 66 * ^4² = 54.912.

Dois pares

Existem (13:2) = 78 maneiras de organizar os dois valores representados. Em ambos os valores, existem (4:2) = 6 maneiras de organizar duas cartas. Restam 44 cartas para a quinta carta. Portanto, existem 78 * ^6² * 44 = 123.552 maneiras de organizar um par de duas cartas.

Um par

Existem 13 posições para escolher para o par e combin(4,2) = 6 maneiras de organizar as duas cartas do par. Existem combin(12,3) = 220 maneiras de organizar as outras três posições das cartas individuais, e quatro cartas para escolher em cada posição. Assim, existem 13 * 6 * 220 * ^4³ = 1.098.240 maneiras de organizar um par.

Nada

Primeiro, encontre o número de maneiras de escolher cinco valores diferentes dentre 13, que é combin(13,5) = 1287. Em seguida, subtraia 10, que corresponde às 10 diferentes cartas altas que podem iniciar uma sequência, resultando em 1277. Cada carta pode ser de um dos 4 naipes, então existem ^4⁵ = 1024 maneiras diferentes de organizar os naipes em cada uma das 1277 combinações. No entanto, devemos subtrair 4 de 1024, que corresponde às quatro maneiras de formar um flush, resultando em 1020. Portanto, o número final de maneiras de organizar uma mão de carta alta é 1277 * 1020 = 1.302.540.

Carta Alta Específica

Por exemplo, vamos calcular a probabilidade de tirar um valete como carta mais alta. Deve haver quatro cartas diferentes na mão, todas menores que um valete, das quais existem 9 para escolher. O número de maneiras de organizar 4 valores entre 9 é combin(9,4) = 126. Devemos então subtrair 1 para a combinação 10-9-8-7, que formaria uma sequência, restando 125. Da explicação acima, sabemos que existem 1020 maneiras de organizar os naipes. Multiplicando 125 por 1020, obtemos 127.500, que é o número de maneiras de formar uma mão com valete como carta mais alta. Para um ás como carta mais alta, lembre-se de subtrair 2 em vez de 1 do número total de maneiras de organizar os valores, já que AKQJ-10 e 5-4-3-2-A são ambas sequências válidas.
Aqui está um bom site que também explica como calcular as probabilidades no pôquer .

Ás/Rei Alto

Para benefício daqueles interessados em Caribbean Stud Poker, calcularei a probabilidade de tirar um ás como carta mais alta com um rei como segunda carta mais alta. As outras três cartas devem ser todas diferentes e variar em valor de dama a dois. O número de maneiras de organizar 3 cartas de 11 valores é (11:3) = 165. Subtraindo uma para QJ-10, que formaria uma sequência, restam 164 combinações. Como mencionado acima, existem 1020 maneiras de organizar os naipes e evitar um flush. O número final de maneiras de organizar ás/rei é 164 * 1020 = 167.280.

Links internos

Para conhecer outras probabilidades no pôquer, consulte minha seção sobre Probabilidades no Pôquer .

Escrito por: Michael Shackleford